华师大版八年级(上)数学教案(1)

1 14 1 勾股定理 第一课时 本课目标 1 在探索基础上掌握勾股定理 2 掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系 教学过程 1 情境导入 从观察课本中图 14 1 1 和图 14 1 2 入手引入勾股定理 2 课前热身 观看图 14 1 1 和图 14 1 2 数一数三块面积之间的关系 体验勾股定理的内涵 3 合作探究 1 整体感知 由观察课本中图 14 1 1 和图 14 1 2 入手得出勾股定理 通过在图 14 1 3 中动手操 作证实勾股定理 通过对本课本第 50 页例 1 的探索求解巩固勾股定理 2 四边互动 互动 1 师 你们能数出图 14 1 1 中三块面积 P Q R 的数值吗 数数看 生 根据图形进行操作 由此得出 以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正 2 方形的面积 师生共同归纳 即两直角边的平方和等于斜边的平方 RQP SSS 互动 2 师 你们能数出图 14 1 2 中三块面积 P Q R 的数值吗 数数看 生 根据图形进行操作 由此得出 以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正 方形的面积 师生共同归纳 即两直角边的平方和等于斜边的平方 RQP SSS 互动 3 师 由上述操作你发现了一般规律了吗 生 略 明确 在一个直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 互动 4 师 展示课本中图 14 1 3 师 在上图中画出直角三角形 ABC 用直尺量量斜边是多长好吗 生 每人画出一个三角形 并动手测量后在小组中交流讨论 然后举手回答问题 明确 师生合作通过操作证明勾股定理 222 cba 例题教学 例 1 如图 14 1 4 将长为 5 41 米的梯子 AC 斜靠在墙上 BC 长为 2 16 米 求梯 子上端 A 到墙的底端 B 的距离 AB 精确到 0 01 米 师 你会用勾股定理解这道题吗 试试看 生 操作后相互交流 3 明确 在一个直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 注 在实际问题中往往需要求取近似值 解 略 4 达标反馈 1 在直角 ABC 中 C a 3 b 4 则 c 值是 理由是 0 90 2 在直角 ABC 中 B a 3 b 4 则 c 值是 理由是 0 90 3 在 ABC 中 a 3 b 4 c 5 则 ABC 是 5 学习小结 1 内容总结 直角三角形三边满足勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 注意 应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角 2 方法归纳 让学生经历观察 操作 交流合作 合理猜想等体验吸取知识 6 实践活动 利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用 如测量河宽时可用勾股数 确定直角 再利用直角三角形知识解决实际问题 7 巩固练习 4 第二课时 本课目标 1 通过拼图 用面积的方法说明勾股定理的正确性 2 通过实例应用勾股定理 培养学生的知识应用技能 教学过程 1 情境导入 多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板 2 课前热身 让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形 3 合作探究 1 整体感知 通过相同直角三角形的拼图体验 让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性 通过运用勾股定理解题 训练培养学生应用知识的技能 通过阅读材料让学生体验勾股 定理的妙用 2 四边互动 出示课本中图 14 1 5 和 14 1 6 互动 1 师 你会拼出如图 14 1 6 所示的图形吗 5 生 讨论交流 举手回答问题 师 你能运用面积列出等式说明勾股定理吗 生 讨论交流 举手回答问题 并尝试说理 明确 大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积 大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积 大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积 结论是 222 cba 互动 2 出示课本中图 14 1 7 和 14 1 8 师 你会拼出图 14 1 7 吗 生 动用操作 师 你会用面积等式说明勾股定理吗 生 讨论交流 举手回答并说理 明确 大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积 大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积 大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积 结论是 222 cba 互动 3 师 出示如右图所示的图形 6 你会拼成如图所示的图形吗 它需要几块三角板 生 独立尝试后 在小组之间交流 并举手回答问题 师 你会列出面积等式说明勾股定理吗 生 讨论交流 举手回答问题 并尝试说理 明确 梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积 梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形 梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积 结论是 222 cba 例题教学 例 2 如图 14 1 9 为了求出湖两岸的 A B 两点之间的距离 一个观测者 在点 C 设桩 使三角形 ABC 恰好为直角三角形 通过测量 得到 AC 长 160 米 BC 长 128 米 问从点 A 穿过湖到点 B 有多远 解 在直角三角形 ABC 中 AC 160 BC 128 根据勾股定理可得 22 BCACAB 22 128160 96 米 答 从点 A 穿过湖到点 B 有 96 米 明确 在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 222 ABBCAC 4 达标反馈 配套练习 7 5 学习小结 1 内容总结 可以通过拼图 得到正方形 再根据面积相等列出等式 从而验证 勾股定理 运用勾股定理可以解决许多实际问题 运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理 2 方法归纳 通过动手操作 合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法 逐 步养成优良的学习 6 实践活动 动手制作直角三角形 并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形 研 究它们面积之间的关系 7 巩固练习 课本练习 8 14 1 2 直角三角形的判定 教学内容 华师版 数学 八年级 上 第 53 54 页 第 14 章第 14 1 节中 直角三角 形的判定 部分 教学目标 1 探索并掌握直角三角形判定方法 2 经历勾股定理的逆定理的探究过程 了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性 3 通过对勾股定理逆定理的探究 激发学生学习数学的兴趣和创新精神 4 通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形 培养学生数形结合的思想 设计意图 以上教学目标包括了本课时的三维目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 教学过程 一 创设情境 导入课题 1 直角三角形有哪些性质 从边 角两方面考虑 1 有一个角是直角 2 两个锐角的和为 90 互余 3 两直角边的平方和等于斜边的平方 反之 一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢 2 一个三角形满足什么条件才能是直角三角形 板书课题 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 板书 2 有两个角的和为 90 的三角形是直角三角形 板书 3 如果一个三角形的三边a b c 满足a2 b 2 c2 那么这个三角形是直角三 9 角形 3 史料 古埃及人画直角 据说 古埃及人曾用下面的方法画直角 他们用 13 个等距的 结把一根绳子分成等长的 12 段 一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结 两个助手分别握住第 4 个结和第8 个结 拉紧绳子 就会得到一个直角三角形 其直角在第 4 个结处 你知道这是什么道理吗 设计意图 温故旧知 引入新课 利用史料激发学生探究数学的兴趣 二 动手实践 发现新知 1 试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形 猜想它们是些什么形状的三 角形 按角分类 1 3 4 4 锐角三角形 2 2 3 4 钝角三角形 3 3 4 5 直角三角形 使用 几何画板 演示 拼图 还原 度量 加深学生对拼出三角形形状的认识 2 请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系 1 3 4 4 锐角三角形 32 42 42 2 2 3 4 钝角三角形 22 32 42 3 3 4 5 直角三角形 32 42 52 3 从勾股定理到勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角 形是直角三角形 板书 反过来 10 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 注意 1 勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系 2 勾股定理的逆定理 严格的证明以后会学到 3 勾股定理的逆定理 的用途 4 使用 几何画板 演示 如果三角形的三边长a b c 这里a c b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形不是直角三角形 在 ABC中 设AB是三边中最长边 拖动点C 观察AC2 BC2 AB2的大小关系 与 ACB的度数 结论 设AB是 ABC中三边中最长边 则 AC2 BC2AB2 ACB为锐角 设计意图 1 课本上要求学生根据三条线段的长度先画出三角形再判断三角形的形状 对于未学 过尺规作图的学生来说有一定的难度 故改为先用小塑料棒拼出已知三边长度的三角 形 再让学生度量三角形最大角的度数判断三角形形状 这样设计有利于培养学生的 动手实践能力和合作交流意识 2 将课本上的三条线段的长度尽量改小的目的 便于学生实践操作 11 3 利用几何画板的拼接动感加深学生对勾股定理逆定理的探究过程的印象 三 范例点击 提高认知 例 1 判断由线段a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 7 b 25 c 24 2 a 13 b 11 c 9 解 1 最大边为 25 a2 c2 72 242 49 576 625 b2 252 625 a2 c2 b 2 以 7 25 24 为边长的三角形是直角三角形 2 学生板演 例 2 已知 如图 四边形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形ABCD的面积 师生共同分析 教师板演 设计意图 1 例 1 是本课时的重点 讲练相结合 由于补充了例 2 所以将原课本上的例 1 中的 3 个小题减少为 2 题 2 例 2 属于 勾股定理 与 勾股定理的逆定理 想结合的题目 有助于培养学生综 合解题能力 同时该题将求四边形的面积问题转化为求三角形的面积问题来处理 13 124 3 D C B A 分析 根据勾股定理的逆 定理 判断一个三角形是不是 直角三角形 只要看两条较短 边长的平方和是否等于最长边 长的平方 数形结合思想 12 渗透了数学中的转化思想 四 随堂练习 巩固深化 练习 1 下面以a b c为边长的 ABC是不是直角三角形 如果是请指明哪一个角是 直角 1 a 6 b 8 c 10 2 a 12 b 8 c 15 3 a 8 b 6 c 5 4 a 1 b 2 c 3 设计意图 练习 1 与例 1 配套练习 放在例 1 结束后使用 练习 2 满足下列条件 ABC 不是直角三角形的是 A b2 a2 c2 B a b c 3 4 5 C C A B D A B C 3 4 5 设计意图 练习 2 是检测是否掌握直角三角形判定方法的好题 该题同时渗透了 方程思想 整体思想 特殊化思想 设k法 等数学思想方法 还涉及了解答 选择题 的一些技巧方法 练习 2 放在例 2 结束后使用 练习 3 解释 古埃及人画直角 的理论根据 解 如图 设每两个结的距离为a a 0 则AC 3a BC 4a AB 5a AC2 BC2 3a 2 4a 2 25a2 AB2 5a 2 25a2 AC2 BC2 AB2 ACB 90 A B C 13 14 2 勾股定理的应用 一 单元设计总体分析 一 教材所处的地位 教材分析 华东师大版 数学 七年级下册第 14 章第 2 节是学 习勾股定理及其逆定理的应用 因此教学中可以结合实际情况让学生了解勾股定理及其 逆定理在现实生活以及数学中的各种应用 体会勾股定理的文化价值 二 单元教学目标 1 能熟练 灵活地应用勾股定理及其逆定理 2 会应用勾股定理及其逆定理解简单的实际问题 三 单元教学重难点 勾股定理及其逆定理的应用 四 单元教学策略 利用实物模型及多媒体将实际问题转化为应用勾股定理及其逆定 理解直角三角形的数学问题 二 课时教学设计 一 教学目标 1 知识目标 1 了解勾股定理的作用是 在直角三角形中已知两边求第三边 而勾股逆定理的作用 是由 三角形边的关系得出三角形是直角三角形 2 掌握勾股定理及其逆定理 运用勾股定理进行简单的长度计算 2 过程性目标 1 让学生亲自经历卷折圆柱 2 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形 矩形 14 3 让学生通过观察 实验 归纳等手段 培养其将 实际问题转化为应用勾股定理解 直角三角形的数学问题 的能力 二 教学重点 难点 教学重点 勾股定理的应用 教学难点 将实际问题转化为 应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题 原因分析 1 例 1 中学生因为其空间想像能力有限 很难想到蚂蚁爬行的路径是什么 为此通 过制作圆柱模型解决难题 2 例 2 中学生难找到要计算的具体线段 通过多媒体演示来启发学生的思维 教学突破点 突出重点的教学策略 通过回忆复习 例题 小结等 突出重点 勾股定理及其逆定理的应用 三 教学过程 复习部分 复习练习 引出课题 例 1 在 Rt ABC中 两条直角边分别为 3 4 求斜边 c 的值 答案 c 5 例2 在Rt ABC中 一直角边分别为5 斜边为13 求另一直角边的长是多少 答案 另一直角边的长是 12 小结 在上面两个小题中 我们应用了勾股定理 在Rt ABC中 若 C 90 则 c2 a2 b2 小结 通过简单计算题的练习 帮助学生回顾勾股定理 加深定理的记忆理解 为新 课作好准备 加深定理的记忆理解 突出定理的作用 15 新课讲解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题 因此在现实生活和数学中有着广泛的应 用 例 1 如图 14 2 1 一圆柱体的底面周长为 20cm 高 为 4cm 是上底面的 直径 一只蚂蚁从点 A 出发 沿着圆柱的侧面爬行到点 C 试求出爬行的最短路程 分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行 大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形 状 标出A B C D各点 然后打开 蚂蚁在圆柱上爬行的距离 与在平面纸上的距 离一样 AC之间的最短距离是什么 根据是什么 学生回答 D C B A 根据 两点之间 线段最短 所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线 AC之长 我们可以利用勾股定理计算出AC的长 D C B A 解 如图 在 Rt 中 底面周长的一半 cm 根据勾股定理得 提问 勾股定理 16 AC 22 BCAB 22 104 cm 勾股定理 292 答 最短路程约为 cm 例2一辆装满货物的卡车 其外形高2 5米 小结 通过动手作模型 培养学生的动手 动脑能力 解决 学生空间想像能力有 限 想不到蚂蚁爬行的路径 的难题 从而突破难点 由学生回答 AC之间的最短距离及根据 有利于帮助学生找准新旧知识的连接点 唤起与形成新知识相关的旧知识 从而使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种 召唤力 再次提问 突出勾股定理的作用 加深记忆 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图 14 2 3 的某工厂 问这辆卡车能否通过该工厂的 厂门 图 14 2 3 分析由于厂门宽度足够 所以卡车能否通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高 度是否小于 CH 如图 所示 点 D 在离厂门中线 0 8 米处 且 CD 与地面交于 H 解 OC 1 米 大门宽度一半 17 OD 0 8 米 卡车宽度一半 在 Rt OCD 中 由勾股定理得 米 22 ODOC 22 8 01 C 米 米 小结 因此高度上有 0 4 米的余量 所以卡车能通过厂门 利用多媒体设备演示卡车通过厂门正中间时的过程 在几何画板上画出厂门的形状 用 移动的矩形表示卡车 矩形的高低可调 让学生通过观察 找到需要计算的线段 CH CD及CD 所在的直角三角形OCD 将实际问题转化为应用勾股定理解直角三角 形的数学问题 小结 本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题 在实际当中 长度计算是一 个基本问题 而长度计算中应用最多 最基本的就是解直角三角形 利用勾股定理已知 两边求第三边 我们要掌握好这一有力工具 练习 1 如图 从电杆离地面 5 米处向地面拉一条 7 米长的钢缆 求地面钢缆固定点 A 到电 杆底部 B 的距离 第 题 2 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大 使其仍为直角三角形 两直角边同时扩 大到原来的两倍 问斜边扩大到原来的多少倍 四 作业 18 勾股定理的应用 基础训练 1 五 错题的估计和采集 1 错例 从电杆离地面 5 米处向地面拉一条 7 米长的钢缆 求地面钢缆固定点 A 到电杆 底部 B 的距离 解 1 电杆垂直于地面 根据勾股定理 AB2 72 5 2 74 得 AB 74 答 钢缆固定点 A 到电杆底部 B 的距离是米 74 解 2 电杆垂直于地面 根据勾股定理 AB 72 5 2 24 答 钢缆固定点 A 到电杆底部 B 的距离是 24 米 2 原因分析 第一种错误是将直角边与斜边的位置搞错 或是记错了公式 应该按平方差计算 却 按平方和计算 第二种错误将公式中要计算项的平方遗漏 这两种错误都是常见的 3 策略分析 为防止以上错误的出现 除了讲清楚定理 还应该强调 19 1 定理中基本公式中的项都是平方项 第14章 勾股定理单元复习 本课目标 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 如果三角形的三边长a b c有关系a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形计算 直角边时需要将基本公式移项变形 按平方差计算 3 勾股定理能解决直角三角形的许多问题 因此在现实生活和数学中有着广泛的应 用 最后求边长时 需要进行开平方运算 重点难点 重点 勾股定理的应用 难点 实际问题向数学问题的转化 应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和 疑点 灵活运用勾股定理 教学设想 课型 新授课 教学思路 探索结论应用结论 应用结论解决实际问题 课时安排 1 课时 教学过程 一创设情境引入新课 想一想 20 1 直角三角形有那些特征 2 直角三角形有那些识别方法 3 你能说几组勾股数呢 学生分组探讨 1 一般三角形具有的特征它都有 2 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 学生分组探讨 1 有一个角是直角的三角形 2 两个角互余的三角形 3 如果三角形的三边长 a b c 有关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 学生互相交流 9 40 41 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 探究 1 如图 以 Rt 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 请同学ABC 123 SSS 们想一想之间有何关系呢 123 SSS 联想 1 若以 Rt 的三边为直径作半圆 其面积分别为 请同学们想ABC 123 SSS 一想之间有何关系呢 123 SSS 2 若以 Rt 的三边为边作等边三角形 其面积分别为 请同学们想ABC 123 SSS 一想之间有何关系呢 本题的实质为请同学们回顾勾股定理 123 SSS 探究 2 A B C 3 S 2 S 1 S 21 分析 求梯子的底端 B 距墙角 O 多 如图 一个 3m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上 这时 AO 的距离为 2 5m 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0 5m 那么梯子底端 B 也外移 0 5m 吗 分析 1 求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米 2 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0 5m 至 C 请同学们猜一猜 1 底端也将滑动 0 5 米吗 解 根据勾股定理 在 Rt OAB 中 AB 3m OA 2 5m OB2 AB2 OA2 32 2 52 2 75 OB 1 658m 在 Rt OCD 中 OC OA AC 2m CD AB 3m OD2 CD2 OC2 32 22 5 OD 2 236m BD OD OB 2 236 1 658 0 58m 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0 5m 那么梯子底端 B 也外移 0 58m 探究 3 如图沿 AE 折叠矩形 点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 讨论 1 三个正方形的面积分别与哪三条边有关系 2 如果 那么 S3 1 4S 2 8S 3 如果 则的长为多少呢 1 4S 2 8S AB 等边三角形的面积公式是怎样的呢 2 能否求出 OD 的长 B D C A O B D C A O 22 解 点 F D 关于 AE 对称 AFE AD E AF AD EF ED AFE ADE 四边形 ABCD 是矩形 BC AD AB CD C ADE 900 又 AB 8cm BC 10cm AF 10cm CD 8cm 在 Rt ABF 中 BF FC 4cm 设 EC xcm 则 DE EF 8 x cm 在 CFE 中 EF2 EC2 FC2 8 x 2 x2 42 解得 x 3 答 EC 的长为 3cm 探究 4 有一个水池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池正中央有一根新生的芦苇 它高出 水面 1 尺 如果把这根芦苇拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 请问这个水池的深度 和这根芦苇的长度各是多少 A B F C D E 6810 2222 ABAF 23 讨论 5尺 1尺 x 尺 水池水池 1 如图所示的图形中 所有的四边形都是正方形 所有的三角形 都是直角三角形 其中最大的正方形的边长是 8 厘米 则正方形 A B C D 的面积之和是 平方厘米 2 根据下列条件 分别判断以 a b c 为边的三角形是不是直角三角形 1 a 7 b 24 c 25 2 a m2 n2 b 2mn c m2 n2 m n 是正整数 且 m n ABC 是直 角三角形吗 请说明理由 3 已知 如图 长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与 点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为多少 A B E F D C 24 13 2 第一课时 全等三角形的识别 1 教学目标 1 经历探索三角形全等条件的过程 体会如何探索研究问题 培养学生合作的 精神 让学生体验分类的思想 2 使学生懂得如何提出问题 分类讨论 并为以后研究提出问题 重点难点 1 难点 培养学生探索问题能力 2 重点 掌握探索问题的方法 教学过程 一 复习 1 请一位同学叙述上一节所学的知识 2 如图 ABC AEC 求出 AEC 各内角的度数 30B 85ACB 3 你是如何来识别两个三角形全等的 从学生的回答中 提出 我们能不能找到一些较为简便的方法用来识别三角形 的全等呢 有没有类似于相似三角形的识别方法呢 回想一下 相似三角形有哪些识别方法 本节开始 我们就一起来研究 探讨 24 2 全等三角形的识别 二 新授 要画一个三角形与老师在黑板上画的三角形 ABC 全等 需要几个与边或角的大小 有关的条件呢 一个条件 两个条件 三个条件 1 做一做 1 只给一个条件 一条边 大家画出三角形 小组交流画的三角形全6BCcm 等吗 一个角 大家画出三角形 小组交流画的三角形全等吗 30B D C B A 25 2 给出两个条件画三角形时 有几种可能的情况 这两个三角形一定会全等吗 分别按照下面条件 用刻度尺或量角器画三角形 并和周围的同学比较一下 所画的图形是否全等 三角形的一个内角为 60 一条边为 3 cm 三角形的两个内角分别为 30 和 70 三角形的两条边分别为 3 cm 和 5 cm 你们在画图和同学比较过程中 你能得出什么结论 学生各抒己见后 教师归纳 你们一定会发现 如果只知道两个三角形有一个 或两个对应相等的部分 边或角 那么这两个三角形不一定全等 甚至形状都 不相同 2 议一议 如果给出三个条件画三角形 你能说出有哪几种可能的情况 有四种可能 三条边 三个角 两边一角和两角一边 对于按以上每一种可能画得三角形是否全等 以后我们一起分别逐个探讨研究 现在我们先一起来完成以下几个练习 三 巩固练习 1 如图 点O是平行四边形ABCD的对角线的交点 AOB绕O旋转 180 可 以与 重合 这说明 AOB 这两个三角形的对应边是AO与 OB与 BA与 对应角是 AOB与 OBA 与 BAO与 2 如图 ABC是等腰三角形 AD是底边上的高 ABD和 ACD全等吗 试根 据等腰三角形的有关知识说明理由 四 小结 第 1 题 第 2 题 26 让学生谈收获 体会 疑惑后 教师总结 本节通过画图实践可得 对于两个三角形的 三条对应边 三个对应角中 只有满足其中 一个条件或两个条件相等 两个三角形不一 定全等 至于满足其中的三个条件相等的情 况如何呢 请听下回分解 五 作业 1 如图 AOD BOC 写出其中相等的角 2 如图 ABC A B C25C 6BCcm 4ACcm 3 如图 ABC DEF 且 A 和 D B 和 E 是对应顶点 则相等的边有 相等的角有 4 已知 ADC CBA 且 写出相等的边 角 12 5 如图 ACD ECB A C B 在一条直线上 且 A 和 E 是一对对应顶点 如 果 那么将 ACD 围绕 C 点顺时针旋转多少度与 ECB 重合 130BCE 第 1第 O DC B A FE 第 3第 D C B A 2 1 第 4第 C B A E 第 5第 D C B A 27 13 2 第二课时 全等三角形的识别 2 教学目标 1 使学生理解边边边公理的内容 能运用边边边公理证明三角形全等 为证明 线段相等或角相等创造条件 2 继续培养学生画图 实验 发现新知识的能力 重点难点 1 难点 让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性 2 重点 灵活运用 SSS 识别两个三角形是否全等 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 请问同学 老师在黑板上画得两个三角形 ABC 与 全等吗 你是如何识别的 A B C 同学们各抒己见 如 动手用纸摹下一个三角形 剪下叠到另一个三角形上 是 否完全重合 测量两个三角形的所有边与角 观察是否有三条边对应相等 三 个角对应相等 上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边 角对应相等条件时 两个三角形不一定全 等 满足三个条件时 两个三角形是否全等呢 现在 我们就一起来探讨研究 二 实践探索 总结规律 1 问题 1 如果两个三角形的三条边分别相等 那么这两个三角形会全等吗 做一做 给你三条线段 分别为 你能画出这个三角abc4cm3cm4 8cm 形吗 先请几位同学说说画图思路后 教师指导 同学们动手画 教师演示并叙述书写出 C B A 28 步骤 步骤 1 画一线段 AB 使它的长度等于 c 4 8cm 2 以点 A 为圆心 以线段 b 3cm 的长为半径画圆弧 以点 B 为圆心 以线 段 a 4cm 的长为半径画圆弧 两弧交于点 C 3 连结 AC BC ABC 即为所求 把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起 你们会发现什么 换三条线段 再试试看 是否有同样的结论 请你结合画图 对比 说说你发现了 什么 同学们各抒己见 教师总结 给定三条线段 如果它们能组成三角形 那么所画的 三角形都是全等的 这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法 如果两个三角形的三条边分 别对应相等 那么这两个三角形全等 简写为 边边边 或简记为 S S S 2 问题 2 你能用相似三角形的识别法解释这个 SSS 三角形全等的识别法吗 我们已经知道 三条边对应成比例的两个三角形相似 而相似比为 1 时 三条边 图 15 2 1 29 就分别对应相等了 这两个三角形不但形状相同 而且大小都一样 即为全等三 角形 3 问题 3 你用这个 SSS 三角形全等的识别法解释三角形具有稳定性吗 只要三角形三边的长度确定了 这个三角形的形状和大小就完全确定了 4 范例 例 1 如图 24 2 2 四边形 ABCD 中 AD BC AB DC 试说明 ABC CDA 解 已知 AD BC AB DC 又因为 AC 是公共边 由 S S S 全等识别法 可知 ABC CDA 5 练习 三 加强练习 巩固知识 1 如图 ABC DCB 全等吗 为什么 ABDC ACDB 2 如图 AD 是 ABC 的中线 与相等吗 请说明理由 ABAC 1 2 四 小结 本节课探讨出 可用 SSS 来识别两个三角形全等 并能灵活运用 SSS 来识 别三角形全等 三个角对应相等的两个三角不一定会全等 五 作业 图 15 2 2 D C B A 2 1 D C B A 30 13 2 第四课时 全等三角形的识别 3 教学目标 1 使学生掌握 SAS 的内容 会运用 SAS 来识别两个三角形全等 2 通过识别全等三角形的识别的学习 使学生初步认识事物之间的因果关系与 相互制约关系 学习分析事物本质的方法 3 经历如何总结出全等三角形识别方法 体会如何探讨 实践 总结 培养学 生的合作能力 重点难点 1 难点 三角形全等的识别 SAS 2 重点 对全等三角形的识别的理解和运用 教学过程 一 复习 1 什么叫全等图形 什么叫做全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角 形 2 将全等的 ABC 与 DEF 重合 再沿 BC 方向将 DEF 推移如图位置 问线段 AD 与 BE 数量关系怎样 BC 与 EF 位置关系怎样 为什么 BC EFADBE ABC DEF ABDE ABDBDEDB ADBE 又 ABC DEF F ED C B A 31 ABCDEF BC EF 虽然本教材没有采用 的形式 但根据 课标 的精神 结合其他版本教 材 如北师大的版本 建议可以采用 可以使解题简捷 3 已知 如图 求的大ABAD ACAE BCDE 30EAC DAB 小 ABAD ACAE BCDE ACB AED CABEAD CABEABEADEAB CAEDAB 30DAB 二 新授 1 引入 上一节课 我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和 三个角对应相等的情况 情况如何呢 三条边对应相等两个三角形 三个角对应相等的两个三角形不一定全等 如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等 这两个三角形会全等吗 这就是本节课我们要探讨的课题 2 问题 1 如果已知一个三角形的两边及一角 那么有几种可能的情况呢 应该有两种情况 一种是角夹在两条边的中间 形成两边夹一角 另一情况 是角不夹在两边的中间 形成两边一对角 每一种情况下得到的三角形都 全等吗 3 做一做 E D C B A 32 1 如果 两边及一角 条件中的角是两边的夹角 比如三角形两条边分别为 和它们的夹角为 你能画出这个三角形吗 你画的与同伴画的一3cm4cm45 定全等吗 换两条线段和一个角试试 你发现了什么 同学们各抒己见后总结 发现对于已知的两条线段和一个角 以该角为夹角 所画的三角形都是全等的 这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简写成 边角边 或简记为 S A S 你能用相似三角形的识别法来解释这种 SAS 识别三角形全等的方法吗 一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似 当相似比为 1 时 夹这个角的两边对应相等 这两个三角形的形状 大小都相同 即为全等 三角形 2 如果 两边及一角 条件中的角是其中一边的对角 比如两条边分别为 和 长度为的边所对的角为 情况会怎样呢 请画出这个三角4cm4 5cm4cm60 形 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较 由此你发现了什么 两边及其中一边的对角对应相等 两个三角形不一定全等 4 范例 如图 ABC中 AB AC AD平分 BAC 试说明 ABD ACD 解 已知 AB AC BAD CAD 又AD为公共边 由 S A S 全等识别法 可知 ABD ACD 三 巩固练习 四 小结 五 作业 D CB A 33 13 2 第五课时 全等三角形的识别 4 教学目标 1 使学生理解 ASA 的内容 能运用 ASA 全等识别法来识别三角形全等进而说 明线段或角相等 2 通过画图 实验 发现 应用的过程教学 树立学生知识源于实践用于实践 的观念 使学生体会探索发现问题的过程 经历自己探索出 AAS 的三角形 全等识别及其应用 重点难点 1 难点 三角形全等的识别法 ASA 和 AAS 及应用 2 重点 利用三角形全等的识别法 间接说明角相等或线段相等 重点难点 剪刀 卡纸 教学过程 一 复习 1 什么叫做全等三角形 如何识别两个三角形全等 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 识别两个三角形全等的方法有 SSS SAS 2 叙述 SSS SAS 的内容 3 已知 如图 请问再加上什么条件下 ABC ABA B BCB C 并说明理由 A B C 根据 SSS 根据 SAS ACA C BB 二 新授 1 引入 请问到本节为止 我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况如何 34 呢 如果两个三角形有三条边分别对应相等或两个三角形有两条边及其夹角分别对应 相等 那么这两个三角形就一定全等 如果两个三角形有三个角分别对应相等 或两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等 那么这两个三角形不一定全等 还有哪些情况还没有探讨呢 如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等 这两个三角形一定全等吗 本节我们就来探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等 这两个三角形是否全等 的课题 2 问题 1 如果把已知一个三角形的两角及一边 那么有几种可能的情况呢 一种情况是两个角及两角的夹边 另一种情况是两个角及其中一角的对 边 每一种情况下得到的三角形都全等吗 3 请同学们动手做一个实验 同桌两位同学为一组 1 共同商定画出任意一条线段 AB 与两个角 A B 180AB 2 两位同学各自在硬纸板上画线段的长等于商定的线段 AB 的长 在 A B 的同旁 画等于商定的 画等于商定的 设 A B B A C A A B C B 与相交于 便得 A C B C C A B C 3 用剪刀各自剪出 将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了 A B C 什么 其他各桌的同学是否也有同样的结论呢 同学们各抒己见后 总结 对于已知两个角和一条线段 以该线段为夹边 所画 的三角形都是全等的 由此得到另一个识别全等三角形的简便方法 如果两个 三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 角 边角 或简记为 A S A 35 4 问题 2 试说明 ASA 全等识别法与相似三角形的识别法有什么类似的 两个角对应相等的两个三角形相似 当这两个角的公共边相等时 这两个三角形 的形状 大小都相同 即为全等三角形 5 思考 如图 如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形是否一定全等 动手画一画 比如 你能画这个三角形吗 45A 60C 3ABcm 提示 这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点 你能将它转化为实验中 的条件吗 你画的三角形与同伴画的一定全等吗 现在两组同学按如果 角所对的边为画 另两组同学换两个角和一条线段 试试看 你们45 3cm 得出什么结论 同学们各抒己见后 总结 对于已知两个角和一条线段 以该线段为夹边 所画的三角形都是全等的 由此得到另一个识别全等三 角形的简便方法 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全 等 简写成 角角边 或简记为 A S A 6 问题 3 你能说说 ASA 与 AAS 这两种全等识别法间的关系吗 AAS 识别法可由 ASA 识别法推导出来 如上图中 因为 AD 由于 所以CF 180BAC 180EBD 于是 ABC 与 DEF 具备 ASA 全等 BE 7 范例 如图 ABCDCB ACBDCB 试说明 ABC DCB 图 15 2 11 D C B A 36 13 2 第六课时 全等三角形的识别 5 教学目标 1 帮助学生总结一般三角形全等的识别条件 使他们自觉运用各种全等识别法 进行说理 2 通过一般三角形全等识别条件的归纳 帮助学生认识事物间存在着的因果关 系和制约的关系 重点难点 1 重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小 因而可 用来识别三角形全等 2 难点 灵活应用各种识别法识别全等三角形 教学准备 卡纸剪出的图 1 2 中的六个三角形 I II I III III II 图 1 图 2 教学过程 37 一 复习 1 识别两个三角形全等的条件有哪些 有 SAS ASA AAS SSS 四种 2 一个三角形共有三条边与三个角 你是否想到这样一问题了 除了上述四种识 别法 还有其他的三角形全等识别法吗 比如说 SSA AAA 能成为判定 两个三角形全等的条件吗 二 新授 1 演示 1 演示图 1 中的 I II 三角形 它们间有两边及一对角对应相等 这两个三角 形能完全重合 是全等形 但再取出 III 的三角形与 I 叠在一起后 发现它们 不重合不是全等形 因此我们进一点证实了 有两边和其中一边的对角对应 相等的两个三角形不一定全等 SSA 不是识别三角形全等的方法 2 演示图 2 中的 I II 三角形 它们间有三个角对应相等 这两个三角形能完 全重合 是全等形 但再取出 III 的三角形与 I 叠在一起后 发现它们不重合 不是全等形 因此我们进一步证实了 三个角对应相等的两个三角形不一定 全等 AAA 也不是识别三角形全等的方法 2 填下表 挂出小黑板 让学生思考 讨论 共同填答 两个三角形中 对应相等的元 素 两个三角形是否全 等 依据的识别 法 反例 SSS SSS 38 SAS SAS SSAX 可举反例 ASA ASA AAS AAS AAAX 可举反例 3 范例 例 如图 点 F 是 CD 的中点 吗 试说明ABAE BE BCED AFCD 理由 教学要点 1 分析题目结论假定 可转化为 需证它AFCD AFCAFD 们所在的两个三角形全等 2 观察图形 中 并不在三角形中 为AFC AFD 此添辅助线 AC AD 3 在 ACF 与 ADF 中 已知 AF 是公共边 CF FD 尚缺 一条件 它只能是 AC 与 AD 相等 4 为证 AC 与 AD 相等 又要找它们分别在的 F E DC B A 39 ACB 与 ADE 5 ACB 与 ADE 由已知条件可由 SAS 证它们全等 6 书写范例 解 连结 AC AD 由已知 AB AE BC DEBE 由 SAS 三角形全等识别法可知 ABC AED 根据全等三角形的对应相等可知ACAD 由 公共边 ACAD CFDF AFAF 根据 SSS 可知 ACF ADF 根据全等三角形的对应角相等可知AFCAFD 又由于 F 在直线 CD 上 可得 即 90AFC AFCD 你们可有其他方法吗 练习 1 题 图 三 巩固练习 1 如图 在 ABC 中 ABAC 12 试说明 AED 是等腰三角形 2 如图 AB CD AD BC 与 A C 与相等吗 说明理由 练习 2 题图B D 四 小结 由学生对本节的学习过程进行总结 五 作业 一 填空题 1 有一边对应相等的两个 三角形全等 2 有一边和 对应相等的两个三角形全等