数学建模关于优化问题的论文

暑期数学建模竞赛暑期数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B 中选择一项填写 A 参赛队员 打印并签名 1 2 3 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 教练组 日期 11 年 8 月 12 日 评阅编号 由组委会评阅前进行编号 暑期数学建模竞赛暑期数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 评阅编号 由组委会评阅前进行编号 评阅记录 可供评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 统一编号 评阅编号 1 多因素条件下作物施肥效果分析多因素条件下作物施肥效果分析 摘要 本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题 根据不同目标对施肥量与肥料搭配 比例进行调整 达到各目标的最优 首先 基于一元线性回归模型 以一种肥料作为自变量 另外两种肥料固定在第 七水平 建立了六个一元回归方程 分别研究某一种肥料变化时 该肥料施肥量与产 量的关系 根据散点图趋势 初步选取适当的一元函数 为了使散点图更直观准确 将原数据进行无量纲化处理 得到 0 到 1 间的值 利用 eviews 软件进一步对一元函数 进行拟合 选取显著性最高的拟合结果 求解时 对非线性的回归方程 通过取对数 将其线性化 得到结果后再将其转换成原函数形式 最终得到六个反映施肥量与产量 关系的一元回归模型 为了提高六个回归方程整体的显著性 本文以三种肥料的施肥 量同时作为自变量 建立三元二次回归模型 检验均通过 并具有高度的显著性 拟 合效果较好 其次 基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的 最大值 即产量最大值 比较两个模型的结果 看出 由三元二次回归模型得到的产 量更大 其中土豆与生菜产量的最大值分别为 44 95t ha 23 04t ha 土豆对应的 N P K 肥料的施肥量分别为 293 13kg ha 250 0kg ha 540 0kg ha 生菜对应的 N P K 肥料的施肥量分别为 212 06kg ha 426 91kg ha 665 69kg ha 再次 考虑到施肥的经济性 以产值和施肥费用作为自变量 以总收益作为因变量 建立收益最大化模型 分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回 归模型 进行求解 由一元回归模型得到结果 当生菜 K 肥施肥量无穷大时 收益也 趋近于无穷大 显然不合理 本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合 检 验看出 显著性不高 但基于新的回归方程得到的结果更加合理 更符合实际情况 具有较高的实用性 基于三元二次回归模型进行求解时 通过 0 0 0 0 点的引入 增加了三种肥料交互影响产生的交叉项 避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费 比 较两种模型的结果看出 基于三元二次回归方程得到的收益更大 土豆与生菜的最大 值分别为 102500 元 公顷 52023 元 公顷 再次 引入环保因素时 通过两种方法实现 一是基于收益最大化模型 将污染 指数作为限制条件 以收益最大为目标 建立线性规划收益最大化模型 二是引入目 标偏差变量 以偏差变量之和最小为目标 以污染指数 肥料搭配比例作为约束条件 建立多目标规划模型 以环境指数小于 25 为前提 追求收益尽量大 比较两种模型的 结果看出 多目标规划的的结果更符合本问的要求 土豆与生菜的最大收益值分别为 环境指数为 25 属于轻度污染 K 肥施肥量超过满意值 但 K 肥适当增加能够 增大收益 对土地没有造成污染 收益实际值与满意值相差不大 结果比较合理 符合本问的要求 最后对模型应用效果作量化估计 难点在于如何对优化模型进行改进 得到评价 模型 本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标 的满意度 利用层次分析法得到单目标权重值 根据单目标的权重值与满意度求和可 以得到多目标满意度 根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计 从而建 立基于层次分析法与多目标规划的评价模型 最后对模型的推广作初步讨论 验证了 模型较高的应用价值 2 1 1 问题的重述问题的重述 农作物生长所需的营养素主要是氮 N 磷 P 钾 K 某作物研究所在某地区 对土豆与生菜做了一定数量的实验 实验数据如下列表所示 其中 ha 表示公顷 t 表示吨 kg 表示公斤 当一个营养素的施肥量变化时 总将另两个营养素的施肥量保 持在第七个水平上 如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时 P 与 K 的施肥量分别取 为 196kg ha 与 372kg ha 1 试分析施肥量与产量之间关系 2 试以作物产量最大化为目标 建立作物施肥数量与结构的优化模型 并求解每 公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构 3 作物产量最大化 不一定是最经济的 请考虑施肥的经济性 建立作物施肥数 量与结构的优化模型 并根据主要肥料的营养素含量 市场价格情况 以及农产品的 价格情况等 优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构 4 有研究表明 我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力 除加重 农民负担外 土壤退化 江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重 障碍 由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径 其一是通过肥料中所含有的有毒有害 物质 如重金属 病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染 其二是通过不合理施入大 量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累 导致蔬菜品质和口感较差 鉴于以上情 况 请在问题 3 的优化模型的基础上 进一步改进你的模型 根据实验数据 并进行 合理的数值假定 优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构 5 对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计 2 2 问题的假设问题的假设 1 假设本文搜到的数据是科学准确的 不会在短期内变动 2 假设 N P K 三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素 本文近似认为如果三种 肥料都不施用 农作物没有产量 3 假设生产的农作物可以以标准价格售出 并且其他因素的支出暂时算入收益考虑 4 假设土壤中含有 N P K 元素标准 对模型影响忽略不计 3 3 符号的说明符号的说明 主要符号符号意义 N P K氮 磷 钾肥 N Y 表示施用 N 肥的产量 P Y 表示施用 P 肥的产量 3 K Y 表示施用 K 肥的产量 Y 表示总产量 S表示蔬菜售价 N b P b K b 表示 N P K 肥的售价 npk表示施用 N P K 肥的是施肥量 Q 施肥量 N m P m K m 表示施用 N P K 肥时的收益 M 总体满意度 1 m 2 m 为最满意产量值 最满意效益值 4 4 问题的分析及建模流程图问题的分析及建模流程图 本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题 要解决的问题是如何建立及深 化模型 逐步引入限制因素 达到最优目标 其中如何分配施肥量的数量和结构 达 到多目标最优 是需要解决的核心问题 4 14 1 基本思路基本思路 根据 N P K 肥料施肥量与作物产量的数据 构造函数可以拟合出施肥量与产量 的关系 该拟合函数的最大值即对应产量的最大值 考虑到施肥的经济性时 通过对 产量最大化模型进行改进 以收益最大化为目标 得到收益最大时肥料的使用数量与 结构 引入环保因素时 有两种方法可以考虑实现 第一是在收益最大化模型的基础 上改进 将污染指数作为限制条件 求解最大收益 第二种是将污染程度 收益作为目 标 将污染指数 肥料搭配比例作为约束条件 建立多目标规划模型 得到多目标最 优解 4 24 2 具体分析具体分析 问题一 分析施肥量与产量的关系 选取适当的拟合函数是关键 有两种方法 一是以一个肥料的施肥量作为自变量 将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平 以 产量作为自变量构造六个一元函数 表示三种肥料分别作为自变量时 两种作物施肥 量与产量的关系 二是以三种肥料作为自变量 以产量作为因变量 构造三元函数 拟合施肥量与产量的关系 具体的函数拟合结果的求解通过 eviews Matlab 软件实现 问题二 问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值 基于问题一中的模型 通 过求解其产量最大值 得到产量最大时各肥料的施肥量和结构 问题三 考虑到施肥的经济性 以收益最大化为目标 通过作物产量与售价得到 4 产值 求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数 也可以基于三元二次 函数 通过施肥量与肥料售价得到施肥成本 以产值与施肥成本作为自变量 以施加 肥料产生的收益作为因变量 因其它成本产生的收益为定值 近似忽略不计 构造二 元函数 该函数的最大值即为收益的最大值 由此时自变量的值得到肥料使用数量与 结构 问题四 引入环保因素时 有两种方法可以考虑实现 第一是在收益最大化模型 的基础上改进 将污染指数作为限制条件 求解最大收益 第二种是将污染程度 收益 作为目标 将污染指数 肥料搭配比例作为约束条件 建立多目标规划模型 得到多 目标最优解 问题五 对模型应用效果作量化估计 难点在于如何对优化模型进行改进 得到 评价模型 本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单 目标的满意度 利用层次分析法得到单目标权重值 根据单目标的权重值与满意度求 和可以得到多目标满意度 根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计 从 而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型 最后对模型的推广作初步讨论 验 证了模型较高的应用价值 4 34 3 流程图流程图 作物施肥数量 与结构的优化 产量最大化 三元二次回归模型 施肥量与产量 一元线性回归模型 收益最大化 三元二次回归模型 最大满意度 多目标规划模型 层次分析法 与多目标规划 评价模型 数数 据据 无无 量量 钢钢 化化 曲曲 线线 拟拟 合合 氮氮 磷磷 钾钾 调调 配配 比比 例例 定定 义义 合合 理理 权权 重重 系系数数 引入产量条件 5 5 模型的建立与求解 模型的建立与求解 5 5 15 1 模型的准备模型的准备 在长期的实践中 农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律 并建立了相 应的理论 1 1 公理 1 Nickla 和 Miller 理论 设为达到最高产量时的施肥量 边际产量h 与成正比例关系 即 从而有 dW dx hx dW a hx dx 2 012 Wbb xb x 2 公里 2 米采利希学说 只增加某种养分时 引起产量的增量与该种养分供应充 足时达到的最高产量与现在产量之差正比 即 从而有AW dW c A W dx 1 exp WAcx 5 25 2 问题一问题一 5 2 15 2 1 一元线性回归模型的选择与建立一元线性回归模型的选择与建立 为分析施肥量与产量之间的关系 本文以产量作为因变量 以施肥量作为自yx 变量 建立一元线性回归模型研究两者间的关系 根据散点图的趋势 构造适当的一 元函数进行求解 设与的函数为 yx 1 2 iii fYabxcx 其中 为回归系数 为随机误差 ab 利用最小二乘法求下式成立的函数y 2 2 1 min n i i yy 综上建立如下一元线性回归模型 3 2 2 2 1 1 2 0 min iii ii n i i yabxin ED a b yy 回归系数 未知 5 2 25 2 2 一元线性回归模型的求解一元线性回归模型的求解 为了使散点图更直观 准确 将施肥量的数据进行量纲化处理 得到 0 1 间 的值 利用 Matlab 软件处理数据得到 N P K 的施肥量与土豆和生菜产量的散点图 6 图 1 土豆施肥量与产量的散点图 图 2 生菜施肥量与产量的散点图 根据散点图趋势 利用 eviews 软件进行多次拟合 通过 P F DW 的检验值 2 R 进行判定 选取最优的一元函数 得到如下 N P K 的施肥量与土豆和生菜产量的回 归模型 4 5 2 1 Ni Pi t K Yabncn Yabp Ybk 土豆 2 Ni t P Ki Yabncn Ybp Yabk 生菜 式 4 中的与式 5 中的为一元非线性回归方程 分别对 等式两 Ki Y Pi Y K Y P Y 边取对数 使之线性化 lnlnln K Ybtk 7 lnlnln P Ybtp 8 利用 eviews 软件计算得到 lnln16 61 0 152ln K Yk lnln2 5450 353ln P Yp 将对数形式化为指数形式计算得到土豆的与生菜的结果 Ki Y Pi Y 0 152 16 61 K Yk 0 353 2 545 P Yp 式 4 与式 5 中的其余方程为一元线性回归方程 可直接利用 eviews 软件进 行计算 综上得到如下结果 7 2 1 0 152 14 750 1970 00034 42 388252 6 16 61 N P K Ynn Yp Yk 土豆 2 0 353 10 230 1010 00024 2 545 16 271 0 0047 N P K Ynn Yp Yk 生菜 结果分析 从回归方程可看出 为一元二次方程 二次项系数为负数 方程有 N Y 最大值 随着 N 肥用量的增加 农作物的产量会增加 到一定用量后产量达到最大 然后当 N 肥用量继续增加时 农作物的产量反而会降低 在一定范围内 农作物产量 随着 P 肥和 K 肥的用量的增加一直增加 5 2 3 一元线性回归模型的检验 利用 eviews 软件处理数据 得到六组回归方程的检验值如下 表 1 一元回归方程的检验值 作物肥料 a p x p 2 xp 2 RDW P F N0 00000 00000 00000 9862902 1419650 000000 P0 00000 00010 9114792 7451480 000062 土豆 K0 00000 00050 8380491 2008790 000532 N0 00000 00000 00010 9249071 8496640 000116 P0 0012 0 0000 0 9460200 9516930 000011 生菜 K0 00000 03320 4519542 4561930 033204 其中 分别表示方程常数 a 前系数 前系数 的检验值 a p x p 2 xpxb 2 xc 土豆的与生菜的为非线性方程 对应其线性形式即式 7 式 8 K Y P Y a p x p 中常数 前系数 的检验值 lnbln pt 检验均通过 说明模型的拟合度较高 能够较好地反映施肥量与产量之间关系 利用 Matlab 软件处理原数据与回归方程 得到六组回归方程的实际值与拟合值的 对比图 实际值与拟合值基本一致 进一步验证了模型的准确性 8 图 3 土豆 N 肥对比图 图 4 土豆 P 肥对比图 图 5 土豆 K 肥对比 图 图 6 生菜 N 肥对比图 图 7 生菜 P 肥对比图 图 8 生菜 K 肥对比 图 5 2 45 2 4 模型的改进模型的改进 表 1 中回归方程的检验值均通过 六个回归方程并不都具有高度的显著性 生菜中值为 0 451954 与其它五个方程的检验值有较大差异 生菜中 K Y 2 R P Y 值为 0 951693 与理想值相差较大 二次函数能够较好地反映肥料施肥量与DW 产量的关系 公理 1 为了提高回归方程整体的显著性 本文将三种肥料的施肥 量最为自变量 以 农作物的产量 作为因变量 拟合成三元二次函数 建立多元回 归模型 进一步 分析施肥量与产量之间关系 9 222 112233 Yabnc nb pc pb kc k 利用 eviews 软件处理数据计算得到 土豆与生菜的回归方程结果 及检验值 2252 1 25252 2 12 04230 18760 000320 08050 0001610 07256 76 10 7 45140 09330 000220 04543 41 100 02573 01 10 Ynnppkk Ynnppkk 结果分析 一元回归方程只能反映一种肥料与产量的关系 改进后的模型能够 反映出三种肥料搭配情况的不同对农作物产量造成的影响 避免了多个回归方程 显著性的不一致 由 中一次项前的系数可反映各肥料对产量的影响程度 1 Y 2 Y 此三种肥料的影响程度 0 18760 08050 0725 0 09330 04540 0257 9 NPK 表 2 三元二次回归方程的检验值 作物a n p 2 np p p 2 pp k p 2 kp 2 R DW P F 土豆 0 0050 0000 0000 0010 0180 0000 0010 9121 4790 000 生菜 0 0110 0000 0000 0000 0050 0030 0200 8591 1070 000 其中表示系数的检验值 检验都通过 从检验值看出 两个回归方程均具有p 高度的显著性 拟合效果较好 5 35 3 问题二问题二 模型的建立及求解模型的建立及求解 5 3 15 3 1 基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解 本问只追求高产 则只要求出问题一中拟合出的函数的最大值即可 分别对问题一中拟合的一元二次回归模型和改进后的三元二次回归模型进行求 解 由原数据散点图及得到的拟合曲线知 N 肥用量较少时 随着 N 肥用量增加 农作物产量会增加 到一定用量后达到最大 N 肥继续增加 农作物产量反而会 降低 P 肥和 K 肥用量对农作物产量的影响随着其用量的增加而一直增加 但P 和 K 用量少时 效果显著 当 P 和 K 达到一定值时 产量增加 将不明显 因此基 于一元二次回归方程求解产量最大化 可以简化为P K 肥固定在较高水平 求解 产量最大化时 N 肥的施肥量 本文将 P K 肥固定在第 7 水平 利用问题一中土豆与生菜的一元二次回归方 程进行求解 Ni Y 10 2 Ni Yabxcx 求导 令其为零 有 0 N Y 则 当时 取得最大值 即 N 肥使用量为时 产量最大 2 i b x c Ni Y 2 b c 综上得到如下模型 11 2 0 2 Ni Ni Yabxcx Y xbc 经计算得到 P K 肥固定在第 7 水平时 产量最大化的结果 表 3 P K 肥施肥量固定最大产量与 N 肥施肥量结果 作物N 施肥量P 施肥量K 施肥量最大产量 土豆 289 70 kg ha196 kg ha372 kg ha 43 29 t ha 10 生菜 210 42 kg ha196 kg ha372 kg ha 20 86 t ha 土豆与生菜 N 的施肥量分别为 产量最大 最大值289 70 kg ha210 42 kg ha 分别为 此时 P K 施肥量保持在第七水平 即与43 29 t ha20 86 t ha196 kg ha 372 kg ha 5 3 25 3 2 基于三元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解基于三元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解 根据改进后的反映三种肥料与产量关系 的三元二次函数求解目标最大值 i Y 222 112233 Yabnc nb pc pb kc k 对土豆与生菜的三元二次 分别求解其产量最大值与对应的 1i Y 2i Y 123 iii xxx 三种肥料的施肥量 2252 1 25252 2 12 04230 18760 000320 08050 0001610 07256 76 10 7 45140 09330 000220 04543 41 100 02573 01 10 i i Ynnppkk Ynnppkk 利用 Matlab 软件求解得到产量最大时土豆与生菜N P K 三种肥料的施肥量与最 大值如下表 表 4 基于三元二次回归方程最大产量与施肥量的 求解结果 作物N 施肥量P 施肥量K 施肥量最大产量 土豆 293 13 kg ha250 0 kg ha540 0 kg ha 44 95 t ha 生菜 212 06 kg ha665 69 kg ha426 91 kg ha 23 04 t ha 结果分析 以产量最大化为目标 比较两个模型得到的结果 看出 基于三元 二次回归方程求解得到的产量最大值更优 因此 本问采用表 4 的结果 5 45 4 问题三 模型的建立及求解问题三 模型的建立及求解 5 4 15 4 1 收益最大化模型的建立收益最大化模型的建立 假设当考虑到经济性时 作物产量以收益最大化为目标 使用肥料所带来的收 入比用于购买肥料的费用多时 就应该施肥 否则就不应该多施肥 设某蔬菜的售价分别为 N P 及 K 化肥的售价分别为S 元 吨 施肥量为 NPK bb b元 吨npk 吨 公顷 当施肥量为时 对于该蔬菜的产量为 Q t ha 12 wf Q 11 该蔬菜施用 N 肥料的费用是 13 NPK hnbp bk b 其中表示肥料的施肥量 KNP KNP 施加肥料后的 总收益为 14 Q meSfh 其中表示因施加肥料产生的收益 为因其它成本产生的收益 me 为固定值 本文近似将看成总的收益 因此为本问追求的目标 emmax m 综上可以得到如下的 收益最大化模型 15 max Q NPK i m mSfh hnbp bk b wf QY 5 4 25 4 2 收益最大化模型的求解收益最大化模型的求解 方法 1 单独以一种肥料为自变量 产量为因变量 将另外两种肥料固定在第七水 平 基于问题一得到的 六个一元回归方程进行求解 方法 2 基于以三种肥料为自变量 以产量为因变量的 三元二次回归方KNP 程进行求解 5 5 4 4 2 2 1 1 基于一元回归方程收益最大化模型的求解基于一元回归方程收益最大化模型的求解 查找到的肥料与产量价格如下表 表 5 肥料及产量价格 江苏农业网 商品N 元 吨 P 元 吨 K 元 吨 土豆 元 吨 生菜 元 吨 价格 15603295350022002400 以一种肥料施肥量作物自变量 另外两种肥料施肥量固定在第七水平 将原 数据以及肥料与产量价格数据带入模型进行求解 计算得到土豆的收益表达式为 2 1 0 152 2200 14 750 1970 00034 1 5603295 0 1963500 0 372 2200 42 388252 6 1560 0 2593 2953500 0 372 2200 16 61 1560 0 2593295 0 1963 5 N P K mnnn mpp mkk 生菜的收益表达式为 2 0 353 2400 10 230 1010 00024 1 563295 0 391 3500 0 372 2400 2 545 1560 0 2243 2953500 0 372 2400 16 271 0 0047 1560 0 2243295 0 391 3 5 N P K mnnn mpp mkk 利用 Matlab 软件求解得到如下最大收益结果 max m 12 表 6 作物最大收益与肥料施肥量 作物收益 施用量N 肥P 肥K 肥 最大收益 元 928308884111506 土豆 施肥量 kg 288 67410 685946 最大收益 元 47137134190 生菜 施肥量 kg 209 0623154 其中以一种肥料施肥量作物自变量 另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表 中没有给出 例如当土豆 N 肥的施肥量为 P K 肥施肥量分别为第288 67 kg ha 七水平值 即 时产量最大 196 kg ha372 kg ha 结果分析 观察表 6 看出生菜 K 肥施肥量无穷大时 收益也趋近于无穷大 这显然不符合实际情况 因此 基于一元线性回归方程收益最大化模型需要改进 5 4 2 25 4 2 2 基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进 根据问题中一元线性回归模型的结果 随着 N 肥用量的增加 农作物的产量会 增加 到一定用量后产量达到最大 然后当 N 肥用量继续增加时 农作物的产量反而 会降低 在一定范围内 农作物产量随着 P 肥和 K 肥的用量的增加一直增加 结合表 5 最大收益与肥料施肥量的结果 分析看出 N P 肥施肥量固定在第七水平 随着 K 肥的施肥量的增加 K 肥成本小于产量收益会造成收益趋近于无穷大 由问题一得到的反映施肥量与产量关系的一元回归方程如下 15 2 1 0 152 14 750 1970 00034 42 388252 6 16 61 N Pi Ki Ynn Yp Yp 土豆 16 2 0 353 10 230 1010 00024 2 545 16 271 0 0047 Ni Pi Ki Ynn Yp Yk 生菜 只有土豆与生菜的为一元二次函数 虽然这六个函数是通过检验值选取的 Ni Y 但题中数据有限 很可能产生偶然误差 显著性高并不一定能够反映作物的实际规律 根据 公理 1 一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系 据此本 文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合 17 2 fYabxcx 利用 eviews 软件处理原数据得到如下回归结果与检验值 13 2 2 2 14 750 1970 00034 32 920 0720 00014 24 770 070 000064 f Nnn f Ppp f Kkk 土豆 2 2 72 10 230 1010 00024 6 940 060 000054 16 230 0056 72 10 f Nnn f Ppp f Kkk 生菜 表 7 一元二次回归方程检验结果 作物肥料 a p x p 2 xp 2 RDW P F N0 00000 00000 00000 9862902 1419650 000000 P0 00000 00320 02210 8644832 2173840 000916 土豆 K0 00010 01970 11090 7885070 8438050 004350 N0 00000 00000 00010 9249071 8496640 000116 P0 00020 00010 00180 9587871 5976170 000014 生菜 K0 00000 51400 95390 4522352 4564590 121641 其中 p 表示系数 P 值的检验 生菜中 K 的检验值未通过 由图 9 生菜施肥量与 产量的散点图观察得 散点图各点分布极不规律 本文认为是题中数据有限产生的偶 然误差 对此忽略不计 图 9 生菜施肥量与产量的散点图 基于收益最大化模型 14 18 77 77 77 max max max NPK NNPK PNPK KNPk mmm mSf nb np bk b mSf pn bb pk b mSf kn bp bb K 利用 Matlab 软件求解得到如下最大收益结果 max m 表 8 作物最大收益与肥料施肥量 作物收益 施用量N 肥P 肥K 肥 最大收益 元 928309024593661 土豆 施用量 kg 288 6631251 7938534 4460 最大收益 元 471375319548513 生菜 施用量 kg 209 0625542 84342656 其中以一种肥料施肥量作物自变量 另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表 中没有给出 例如当土豆 N 肥的施肥量为 P K 肥施肥量分别为第288 67 kg ha 七水平值 即 时产量最大 196 kg ha372 kg ha 结果分析 观察表 8 与表 6 中的结果相比 结果更加合理 更符合实际情况 改进后的模型具有较高的实用性 5 4 2 35 4 2 3 基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解 分析表 3 表 4 最大产量与施肥量的结果可以看出 基于如下三元二次回归方 程求解造成了肥料大量的浪费 19 222 112233i Yabnc nb pc pb kc k 表示不施肥的产量 为非负数值而利用该函数拟合出来的常数项为负 0 0 0 f 并且没有 N P K 交叉相乘的项 没有考虑到三种肥料的交互影响 造成结果中 三种肥料搭配不科学情况的出现 因此加入经济因素后再基于该函数求解是不合 理的 本文将该函数进行改进 N P K 三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素 本文近似认为如果三种肥 料都不施用 农作物没有产量 由于原点并不在数据的范围 导致了拟合误差 本文在已有数据上增加一个点 增加 N P K 三种肥料的交叉项 利用 0 0 0 Eviews 软件处理原数据与增加的点对重新进行三元 二次拟合 0 0 0 i Y 得到反映产量与施肥量关系的三元二次 方程 4242524 1 Y0 1410 080 043 101 61 106 76 101 25 10 i npknpknk 土豆 4252524 2 Y0 0600 0260 0262 19 103 41 103 01 108 51 10 i npknpknp 生菜 表 9 改进的三元二次回归方程的检验值 15 作 物 1 i xp 2 1 i xp 2 i xp 2 2 i xp 3 i xp 2 3 i xp 13 xp 12 xp 2 R DW 土 豆 0 000 000 000 020 000 000 00 0 951 54 生 菜 0 000 000 000 000 000 01 0 000 911 11 检验均通过 拟合效果显著 基于收益最大化模型 20 max Q NPK i m mSfh hnbp bk b wf QY 利用 Matlab 软件计算得到如下结果 表 10 作物最大收益与肥料施肥量 作物最大收益 元 N 肥 kg P 肥 kg K 肥 kg 土豆 102500 363 98243 80620 1 生菜 52023271 39699 39 407 61 结果分析 比较表 8 与表 10 的结果看出 基于改进后的三元二次回归方程求 解得到的收益更大 模型更理想 5 55 5 问题四 模型的选择与建立问题四 模型的选择与建立 5 5 15 5 1 基于线性规划收益最大化模型的选择与建立基于线性规划收益最大化模型的选择与建立 根据文献 3 化肥污染主要是氮污染 本文近似认为 P K 肥不会产生污染 在宏 观估算农田氮污染时 依据 N 肥的施肥量就可以判定 N 污染程度 建立了农田氮污染 评价指标体系 为了便于计算 本文选取评价体系的宏观指标 并进行了改善和简化 得到如下的评价指标 表 11 氮肥污染程度评价体系表 污染程度无污染轻度污染中度污染重度污染强度污染 污染指数 70 根据文献 4 我国大田作物无污染的施氮量标准为每季 此范围的150225 kg ha 施氮量不会引起氮素的明显流失 称为 平均适宜施氮量 基于收益最大化 本文取 得到污染指数计算公式 225 kg ha 21 225 100 225 n 以 N P K 肥料的调配比例为作为约束条件 以 n p k 表示三种肥料的施肥量 以 N 肥的施肥量表示 P K 肥的施肥量 得到 16 12 npn 12 nkn 其中 和 均为常系数 可以进行人为设定 1 2 1 2 在此约束条件下 基于效益最大化模型 建立施加肥料的总收益 22 NPK mSf n p kb nb pb k 综上建立如下线性规划收益最大化模型 23 max NPK mSf n p kb nb pb k 24 12 12 12 Q 225 225 100 NPK i mSfh hnbp bk b wf QY st n npn nkn 5 5 25 5 2 基于线性规划收益最大化模型的求解基于线性规划收益最大化模型的求解 文献 5 经统计 N P K 肥料施加比例平均为时最有利于作物的生长 1 0 5 0 4 考虑到两种作物存在偶然误差 本文将该比例调整 1 0 30 7 0 30 5 即 1 0 3 2 0 7 1 0 3 2 0 5 以轻度污染作为约束条件 即 1 0 2 25 根据问题三中的结果分析 通过改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更 大 模型更理想 因此本文基于如下回归方程求解最大收益 4242524 1 Y0 1410 080 043 101 61 106 76 101 25 10 i npknpknk 土豆 4252524 2 Y0 0600 0260 0262 19 103 41 103 01 108 51 10 i npknpknp 生菜 利用 lingo 软件求解得到收益最大化结果 表 12 增加环保因素后作物收益最大化结果 作物收益 元 ha N 肥 kg ha P 肥 kg ha K 肥 kg ha 污染指数 土豆 77946 281 25196 88168 7525 生菜 26757244 19170 93 146 51 8 5 结果分析 比较表 12 与表 10 看出 增加环保因素后 土豆与生菜的最大收 益都有所降低 但 N 肥的减少降低了污染 属于轻度污染 基本符合要求 5 5 35 5 3 多目标规划模型的选择与建立多目标规划模型的选择与建立 基于线性规划求解最大收益时 本文以各目标偏差变量之和最低为目标 以污染 指数公式 肥料调配比例作为约束条件 建立多目标规模模型 6 再结合收益最大化 模型实现多目标求解 17 设为未达到环境指标目标的差值 为超过目标的差值 为使其尽可能不超过 1 d 1 d 25 则有 25 1 11 min 225 100 25 225 d n dd 设为磷肥与氮肥使用量比的偏差变量 为钾肥与氮肥使用量比的 22 dd 33 dd 偏差变量 为使尽可能的接近最优比例 则有 26 2233 22 33 min 0 50 0 40 dddd pndd kndd 设为收益的偏差变量 为使收益不小于需要值 有 44 dd 4 442 min NPK d Sf n p kb nb pb kddm 以各偏差变量之和最小作为目标 27 112223334 min Fp dp ddddp d 其中 分别为污染程度 施肥比例 收益偏差的 权重系数 123 p pp 对约束条件进行无量纲化处理 处理方法如下 例如设 axbc 处理得 0 axbc c 将约束条件无量纲化处理后 得到如下多目标规划模型 112223334 min Fp dp ddddp d 28 11 22 33 2 44 2 225 0 25 0 250 225 0 5 0 0 5 0 4 0 0 4 0 0 1 2 3 4 NPK jj n dd pn dd n kn stdd n Sf n p kb nb pb km dd m n p k ddj 18 5 5 45 5 4 多目标规划模型的求解多目标规划模型的求解 基于我国土壤退化十分严重的国情 本文以 环境指数前提 追求最大25 收益 令土地被污染程度 偏差的权重系数 三种肥料搭配比例 偏差的权重 1 100p 系数 农作物收益偏差权重系数 2 1p 3 10p 由 25 225 100 225 n 计算得到 N 肥施肥量的满意范围 以 作物 N P K 肥料的最佳搭配1 0 5 0 4 比例 根据此比例计算得到 P K 肥施肥量的满意范围 以表 10 得到的最大收益结 果作为满意值 综上经计算得到表13 两种作物各目标满意值 最终结果若符合表 13 中的各目标满意值 则结果符合要求 表 13 作物各目标满意值 作物 N 肥 kg ha P 肥 kg ha K 肥 kg ha 收益 元 ha 环境指数 土豆281 25 140 625 112 4 100000 25 生菜281 25 140 625 112 4 52000 25 利用 lingo 软件计算得到 表 14 土豆与生菜 各目标的实际值 表 14 多目标规划结果 作物 N 肥 kg ha P 肥 kg ha K 肥 kg ha 收益 元 ha 环境指数 土豆 281 25143 41245 288211625 生菜 281 25140 625485 334462725 结果分析 环境指数为 25 属于轻度污染 K 肥施肥量超过满意值 但 K 肥 适当增加能够增大收益 对土地没有造成污染 收益实际值与满意值相差不大 结果比较合理 符合本问的要求 5 65 6 问题五 基于层次分析法与多目标规划评价模型的选择与建立问题五 基于层次分析法与多目标规划评价模型的选择与建立 利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意 度 利用层次分析法得到单目标权重值 根据单目标的权重值与满意度可以得到多目 标满意度 从而建立如下基于层次分析法与多目标规划的评价模型 29 4 1 100 ii i i i dd M d 其中为一个的总体满意度分数 具体评价标准见表 15 为单目标满意M 0 100 i d 值 为单目标偏差值 为各目标权重 i d i 表 15 满意度评价标准 满意程度极不满意不满意满意比较满意非常满意 量化满意值40 40 6060 8080 9090 100 19 利用层次分析法 建立各目标评价矩阵 由式 计算得到 ij a i w 1 1 2 3 n n iij j wain 目标规划模型中的环境指数和施肥比例都与 N 肥施肥量有关存在明显的线性相关 为 降低共线性本文对式 24 约束条件进行改进 以 N 肥的临界值替换 24 原有值 降低 N 肥的变化对 P K 肥的影响 得到新的约束条件 12 1222 1222 225 100 225 225225 225225 225225 225225 n p k 为了提高模型的应用价值 引入产量作为新的约束条件 设为产量的偏差变 55 dd 量 为使产量尽可能的不小于需要值 则有 5 551 min d f n p kddm 新的目标函数为 30 11222333445 min p dp ddddp dp d 综上得到如下的评价模型 31 4 1