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求解积分因子的方法整理 一 恰当微分方程与积分因子 1 对于一阶微分方程 M x y dx N x y dy 0 1 其左端恰好是某个二元函数 u x y 的全微分 即 P x y dx Q x y dy du x y 则称方程 1 为恰当微分方程 容易得到方程 1 的通解为 u x y c 这里的 c 为任意常数 可是若 1 不是恰当微分方程 如果存在连续可微的函数 u u x y 0 使得 u x y M x y dx u x y N x y dy 0 为恰当微分方程 则称 u x y 为方程 1 的积分因子 2 恰当微分方程的判定 对于一阶微分方程 M x y dx N x y dy 0 它为恰当微分方程的必要条件为 二 几种常见的积分因子的类型及求法 1 存在只与 x 有关的积分因子 1 充要条件 MN yx x N 2 形式 u x dxe 2 存在只与 y 有关的积分因子 1 充要条件 MN yx y M 2 形式 y dy e 这里的分别是只关于 x y 的函数 xy 3 方程 1 有形如 u x y F x y 的积分因子 充要条件 4 方程 1 有形如 u p x f x g y q y 的积分因子 充要条件 它的积分因子为 5 方程 1 有形如 u f x g y q y 的积分因子 充要条件 它的积分因子为 6 方程 1 有形如的积分因子 充 要条件 其中 7 方程 1 有形如的积分因子 充要条件 它的积分因子为 8 方程有形如 的积分因子 充要条件 它的积分因子为 其中这里的 结束语 对于一阶微分方程 不同的形式有不同的积分因子 积分 银子一般不会太容易求得 很多时候需要根据方程的特点进行判断 以上的一些情况是参考了一些文献后 整理而得到的一些特殊情况 对求解一些特殊方程有很大的帮助 参考文献 1 张新丽 王建新 一类积分因子存在的充要条件 科学与技术 工程 第 11 卷 第 16 期 2011 6 2 陈星海等 三类复合型积分因子的充要条件及其应用 湖南师 范学院学报 第 32 卷 第 2
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