2017年上海市长宁区、嘉定区高三数学一模试卷含答案解析

2017 年上海市长宁区 嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区 嘉定区高考数学一模试卷 一 填空题 共一 填空题 共 12 小题 小题 1 6 每题每题 4 分 分 7 12 每题每题 5 分 共分 共 54 分 分 1 设集合 A x x 2 1 x R 集合 B Z 则 A B 2 函数 y sin x 0 的最小正周期是 则 3 设 i 为虚数单位 在复平面上 复数对应的点到原点的距离为 4 若函数 f x log2 x 1 a 的反函数的图象经过点 4 1 则实数 a 5 已知 a 3b n展开式中 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 则 n 6 甲 乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 种 7 若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm 圆心角为 270 的扇形 则这个圆锥的体 积为 cm3 8 若数列 an 的所有项都是正数 且 n2 3n n N 则 9 如图 在 ABC 中 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 5 AC 7 DC 3 则 AB 的长为 10 有以下命题 若函数 f x 既是奇函数又是偶函数 则 f x 的值域为 0 若函数 f x 是偶函数 则 f x f x 若函数 f x 在其定义域内不是单调函数 则 f x 不存在反函数 若函数 f x 存在反函数 f 1 x 且 f 1 x 与 f x 不完全相同 则 f x 与 f 1 x 图象的公共点必在直线 y x 上 其中真命题的序号是 写出所有真命题的序号 11 设向量 1 2 a 1 b 0 其中 O 为坐标原点 a 0 b 0 若 A B C 三点共线 则 的最小值为 12 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2cm 高为 5cm 一质点自 A 点出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 cm 二 选择题 共二 选择题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 x 2 是 x2 4 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 14 若无穷等差数列 an 的首项 a1 0 公差 d 0 an 的前 n 项和为 Sn 则 以下结论中一定正确的是 A Sn单调递增 B Sn单调递减 C Sn有最小值 D Sn有最大值 15 给出下列命题 1 存在实数 使 2 直线是函数 y sinx 图象的一条对称轴 3 y cos cosx x R 的值域是 cos1 1 4 若 都是第一象限角 且 则 tan tan 其中正确命题的题号为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 16 如果对一切实数 x y 不等式 cos2x asinx 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 A B 3 C 2 2 D 3 3 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 76 分 分 17 如图 已知 AB 平面 BCD BC CD AD 与平面 BCD 所成的角为 30 且 AB BC 2 1 求三棱锥 A BCD 的体积 2 设 M 为 BD 的中点 求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小 结果用反三角 函数值表示 18 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 8sin2 I 求角 A 的大小 II 若 a b c 3 求 b 和 c 的值 19 某地要建造一个边长为 2 单位 km 的正方形市民休闲公园 OABC 将其 中的区域 ODC 开挖成一个池塘 如图建立平面直角坐标系后 点 D 的坐标为 1 2 曲线 OD 是函数 y ax2图象的一部分 对边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y kx b k 0 的图象 与线段 DB 交于点 N 点 N 不与点 D 重合 且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P 四边形 MABN 为绿化 风景区 1 求证 b 2 设点 P 的横坐标为 t 用 t 表示 M N 两点坐标 将四边形 MABN 的 面积 S 表示成关于 t 的函数 S S t 并求 S 的最大值 20 已知函数 f x 9x 2a 3x 3 1 若 a 1 x 0 1 时 求 f x 的值域 2 当 x 1 1 时 求 f x 的最小值 h a 3 是否存在实数 m n 同时满足下列条件 n m 3 当 h a 的定 义域为 m n 时 其值域为 m2 n2 若存在 求出 m n 的值 若不存在 请说明理由 21 已知无穷数列 an 的各项都是正数 其前 n 项和为 Sn 且满足 a1 a rSn anan 1 1 其中 a 1 常数 r N 1 求证 an 2 an是一个定值 2 若数列 an 是一个周期数列 存在正整数 T 使得对任意 n N 都有 an T an成立 则称 an 为周期数列 T 为它的一个周期 求该数列的最小周期 3 若数列 an 是各项均为有理数的等差数列 cn 2 3n 1 n N 问 数列 cn 中的所有项是否都是数列 an 中的项 若是 请说明理由 若不是 请举出 反例 2017 年上海市长宁区 嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区 嘉定区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 12 小题 小题 1 6 每题每题 4 分 分 7 12 每题每题 5 分 共分 共 54 分 分 1 设集合 A x x 2 1 x R 集合 B Z 则 A B 2 考点 交集及其运算 分析 利用交集定义求解 解答 解 x 2 1 即 1 x 2 1 解得 1 x 3 即 A 1 3 集合 B Z 则 A B 2 故答案为 2 2 函数 y sin x 0 的最小正周期是 则 2 考点 正弦函数的图象 分析 根据三角函数的周期性及其求法即可求值 解答 解 y sin x 0 T 2 故答案是 2 3 设 i 为虚数单位 在复平面上 复数对应的点到原点的距离为 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 利用复数的运算法则 几何意义 两点之间的距离公式即可得出 解答 解 复数 对应的点到 原点的距离 故答案为 4 若函数 f x log2 x 1 a 的反函数的图象经过点 4 1 则实数 a 3 考点 反函数 分析 由题意可得函数 f x log2 x 1 a 过 1 4 代入求得 a 的值 解答 解 函数 f x log2 x 1 a 的反函数的图象经过点 4 1 即函数 f x log2 x 1 a 的图象经过点 1 4 4 log2 1 1 a 4 1 a a 3 故答案为 3 5 已知 a 3b n展开式中 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 则 n 6 考点 二项式系数的性质 分析 令二项式中的 a b 1 得到展开式中的各项系数的和 根据二项式系数 和公式得到各项二项式系数的和 2n 据已知列出方程求出 n 的值 解答 解 令二项式中的 a b 1 得到展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得 解得 n 6 故答案 6 6 甲 乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 60 种 考点 排列 组合及简单计数问题 分析 间接法 先求所有两人各选修 2 门的种数 再求两人所选两门都 相同与都不同的种数 作差可得答案 解答 解 根据题意 采用间接法 由题意可得 所有两人各选修 2 门的种数 C52C52 100 两人所选两门都相同的有为 C52 10 种 都不同的种数为 C52C32 30 故只恰好有 1 门相同的选法有 100 10 30 60 种 故答案为 60 7 若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm 圆心角为 270 的扇形 则这个圆锥的体 积为 cm3 考点 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 分析 利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半 径 进而求出圆锥的高 代入圆锥体积公式 可得答案 解答 解 设此圆锥的底面半径为 r 由题意 得 2 r 2 解得 r 故圆锥的高 h 圆锥的体积 V r2h cm3 故答案为 8 若数列 an 的所有项都是正数 且 n2 3n n N 则 2 考点 数列的求和 极限及其运算 分析 利用数列递推关系可得 an 再利用等差数列的求和公式 极限的运算 性质即可得出 解答 解 n2 3n n N n 1 时 4 解得 a1 16 n 2 时 且 n 1 2 3 n 1 可得 2n 2 an 4 n 1 2 4 n 1 2 故答案为 2 9 如图 在 ABC 中 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 5 AC 7 DC 3 则 AB 的长为 考点 余弦定理 分析 先根据余弦定理求出 ADC 的值 即可得到 ADB 的值 最后根据正 弦定理可得答案 解答 解 在 ADC 中 AD 5 AC 7 DC 3 由余弦定理得 cos ADC ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 5 B 45 ADB 60 由正弦定理得 AB 故答案为 10 有以下命题 若函数 f x 既是奇函数又是偶函数 则 f x 的值域为 0 若函数 f x 是偶函数 则 f x f x 若函数 f x 在其定义域内不是单调函数 则 f x 不存在反函数 若函数 f x 存在反函数 f 1 x 且 f 1 x 与 f x 不完全相同 则 f x 与 f 1 x 图象的公共点必在直线 y x 上 其中真命题的序号是 写出所有真命题的序号 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 函数 f x 既是奇函数又是偶函数 则 f x 0 利用偶函数的 定义和性质判断 利用单调函数的定义进行判断 利用反函数的性质进行 判断 解答 解 若函数 f x 既是奇函数又是偶函数 则 f x 0 为常数函 数 所以 f x 的值域是 0 所以 正确 若函数为偶函数 则 f x f x 所以 f x f x 成立 所以 正 确 因为函数 f x 在定义域上不单调 但函数 f x 存在反函数 所以 错 误 原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y x 对称 但不一定在直线 y x 上 比如函数 y 与其反函数 y x2 1 x 0 的交点坐标有 1 0 0 1 显然交点不在直线 y x 上 所以 错误 故答案为 11 设向量 1 2 a 1 b 0 其中 O 为坐标原点 a 0 b 0 若 A B C 三点共线 则 的最小值为 8 考点 基本不等式 分析 A B C 三点共线 则 化简可得 2a b 1 根据 2a b 利用基本不等式求得它的最小值 解答 解 向量 1 2 a 1 b 0 其中 O 为坐标原 点 a 0 b 0 a 1 1 b 1 2 A B C 三点共线 解得 2a b 1 2a b 2 2 4 2 8 当且仅当 a b 取等号 故 的最小值为 8 故答案为 8 12 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2cm 高为 5cm 一质点自 A 点出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 13 cm 考点 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 分析 将三棱柱展开两次如图 不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线 正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径 解答 解 将正三棱柱 ABC A1B1C1沿侧棱展开 再拼接一次 其侧面展开图 如图所示 在展开图中 最短距离是六个矩形对角线的连线的长度 也即为三棱柱的侧面 上所求距离的最小值 由已知求得矩形的长等于 6 2 12 宽等于 5 由勾股定理 d 13 故答案为 13 二 选择题 共二 选择题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 x 2 是 x2 4 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 先求出 x2 4 的充要条件 结合集合的包含关系判断即可 解答 解 由 x2 4 解得 2 x 2 故 x 2 是 x2 4 的必要不充分条件 故选 B 14 若无穷等差数列 an 的首项 a1 0 公差 d 0 an 的前 n 项和为 Sn 则 以下结论中一定正确的是 A Sn单调递增 B Sn单调递减 C Sn有最小值 D Sn有最大值 考点 等差数列的前 n 项和 分析 Sn na1 d n2 n 利用二次函数的单调性即可判断出 结论 解答 解 Sn na1 d n2 n 0 Sn有最小值 故选 C 15 给出下列命题 1 存在实数 使 2 直线是函数 y sinx 图象的一条对称轴 3 y cos cosx x R 的值域是 cos1 1 4 若 都是第一象限角 且 则 tan tan 其中正确命题的题号为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 考点 正弦函数的定义域和值域 两角和与差的正弦函数 正弦函数的对称 性 余弦函数的定义域和值域 分析 1 利用辅助角公式将可判断 1 2 根据函数 y sinx 图象的对称轴方程可判断 2 3 根据余弦函数的性质可求出 y cos cosx x R 的最大值与最小值 从 而可判断 3 的正误 4 用特值法令 都是第一象限角 且 可判断 4 解答 解 1 1 错误 2 y sinx 图象的对称轴方程为 k 1 2 正确 3 根据余弦函数的性质可得 y cos cosx 的最大值为 ymax cos0 1 ymin cos cos1 其值域是 cos1 1 3 正确 4 不妨令 满足 都是第一象限角 且 但 tan tan 4 错误 故选 B 16 如果对一切实数 x y 不等式 cos2x asinx 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 A B 3 C 2 2 D 3 3 考点 函数恒成立问题 分析 将不等式 cos2x asinx 恒成立转化为 asinx 1 sin2x 恒成立 构造函数 f y 利用基本不等式可求得 f y min 3 于是问题转化为 asinx sin2x 2 恒成立 通过对 sinx 0 sinx 0 sinx 0 三类讨论 可求得对应情况下的实数 a 的取值范围 最后取其交集即可得到答案 解答 解 实数 x y 不等式 cos2x asinx 恒成立 asinx 1 sin2x 恒成立 令 f y 则 asinx 1 sin2x f y min 当 y 0 时 f y 2 3 当且仅当 y 6 时取 f y min 3 当 y 0 时 f y 2 3 当且仅当 y 6 时取 f y max 3 f y min不存在 综上所述 f y min 3 所以 asinx 1 sin2x 3 即 asinx sin2x 2 恒成立 若 sinx 0 a sinx 恒成立 令 sinx t 则 0 t 1 再令 g t t 0 t 1 则 a g t min 由于 g t 1 0 所以 g t t 在区间 0 1 上单调递减 因此 g t min g 1 3 所以 a 3 若 sinx 0 则 a sinx 恒成立 同理可得 a 3 若 sinx 0 0 2 恒成立 故 a R 综合 3 a 3 故选 D 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 76 分 分 17 如图 已知 AB 平面 BCD BC CD AD 与平面 BCD 所成的角为 30 且 AB BC 2 1 求三棱锥 A BCD 的体积 2 设 M 为 BD 的中点 求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小 结果用反三角 函数值表示 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 异面直线及其所成的角 分析 1 由 AB 平面 BCD 得 CD 平面 ABC 由此能求出三棱锥 A BCD 的 体积 2 以 C 为原点 CD 为 x 轴 CB 为 y 轴 过 C 作平面 BCD 的垂线为 z 轴 建 立空间直角坐标系 由此能求出异面直线 AD 与 CM 所成角的大小 解答 解 1 如图 因为 AB 平面 BCD 所以 AB CD 又 BC CD 所以 CD 平面 ABC 因为 AB 平面 BCD AD 与平面 BCD 所成的角为 30 故 ADB 30 由 AB BC 2 得 AD 4 AC 2 BD 2 CD 2 则 VA BCD 2 以 C 为原点 CD 为 x 轴 CB 为 y 轴 过 C 作平面 BCD 的垂线为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 A 0 2 2 D 2 0 0 C 0 0 0 B 0 2 0 M 2 2 2 设异面直线 AD 与 CM 所成角为 则 cos arccos 异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 arccos 18 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 8sin2 I 求角 A 的大小 II 若 a b c 3 求 b 和 c 的值 考点 余弦定理 解三角形 分析 I 在 ABC 中有 B C A 由条件可得 4 1 cos B C 4cos2A 2 7 解方程求得 cosA 的值 即可得到 A 的值 II 由余弦定理及 a b c 3 解方程组求得 b 和 c 的 值 解答 解 I 在 ABC 中有 B C A 由条件可得 4 1 cos B C 4cos2A 2 7 又 cos B C cosA 4cos2A 4cosA 1 0 解得 II 由 又 由 19 某地要建造一个边长为 2 单位 km 的正方形市民休闲公园 OABC 将其 中的区域 ODC 开挖成一个池塘 如图建立平面直角坐标系后 点 D 的坐标为 1 2 曲线 OD 是函数 y ax2图象的一部分 对边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y kx b k 0 的图象 与线段 DB 交于点 N 点 N 不与点 D 重合 且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P 四边形 MABN 为绿化 风景区 1 求证 b 2 设点 P 的横坐标为 t 用 t 表示 M N 两点坐标 将四边形 MABN 的 面积 S 表示成关于 t 的函数 S S t 并求 S 的最大值 考点 函数模型的选择与应用 分析 1 根据函数 y ax2过点 D 求出解析式 y 2x2 由 消去 y 得 0 即可证明 b 2 写出点 P 的坐标 t 2t2 代入 直线 MN 的方程 用 t 表示出直线方程 为 y 4tx 2t2 令 y 0 求出 M 的坐标 令 y 2 求出 N 的坐标 将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S t 利用基本不等式求出 S 的最大值 解答 1 证明 函数 y ax2过点 D 1 2 代入计算得 a 2 y 2x2 由 消去 y 得 2x2 kx b 0 由线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P 得 k 2 4 2 b 0 解得 b 2 解 设点 P 的横坐标为 t 则 P t 2t2 直线 MN 的方程为 y kx b 即 y kx 过点 P kt 2t2 解得 k 4t y 4tx 2t2 令 y 0 解得 x M 0 令 y 2 解得 x N 2 将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数为 S S t 2 2 2 4 t 由 t 2 当且仅当 t 即 t 时 成立 所以 S 4 2 即 S 的最大值是 4 20 已知函数 f x 9x 2a 3x 3 1 若 a 1 x 0 1 时 求 f x 的值域 2 当 x 1 1 时 求 f x 的最小值 h a 3 是否存在实数 m n 同时满足下列条件 n m 3 当 h a 的定 义域为 m n 时 其值域为 m2 n2 若存在 求出 m n 的值 若不存在 请说明理由 考点 函数的最值及其几何意义 函数的值域 分析 1 设 t 3x 则 t t2 2at 3 t a 2 3 a2 t 的对称轴为 t a 当 a 1 时 即可求出 f x 的值域 2 由函数 t 的对称轴为 t a 分类讨论当 a 时 当 a 3 时 当 a 3 时 求出最小值 则 h a 的表达式可求 3 假设满足题意的 m n 存在 函数 h a 在 3 上是减函数 求出 h a 的定义域 值域 然后列出不等式组 求解与已知矛盾 即可得到结 论 解答 解 1 函数 f x 9x 2a 3x 3 设 t 3x t 1 3 则 t t2 2at 3 t a 2 3 a2 对称轴为 t a 当 a 1 时 t t 1 2 2 在 1 3 递增 t 1 3 函数 f x 的值域是 2 6 函数 t 的对称轴为 t a 当 x 1 1 时 t 3 当 a 时 ymin h a 当 a 3 时 ymin h a a 3 a2 当 a 3 时 ymin h a 3 12 6a 故 h a 假设满足题意的 m n 存在 n m 3 h a 12 6a 函数 h a 在 3 上是减函数 又 h a 的定义域为 m n 值域为 m2 n2 则 两式相减得 6 n m n m m n 又 n m 3 m n 0 m n 6 与 n m 3 矛盾 满足题意的 m n 不存在