高等代数 北大三版 第一章ppt课件.ppt

第一章多项式 学时 28学时教学方法和手段由于多项式与整数在许多方面有相似之处 因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比 基本内容和教学目的本章主要讨论一元多项式的概念和运算 建立多项式因式分解理论 并讨论与之有密切关系的求根问题 这是中学有关知识的加深和扩充 本章的重点和难点重点 一元多项式的因式分解理论 难点 最大公因式的概念 多项式的整除 互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别 1 1数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围 学习数学也是如此 比如 先学习自然数 然后整数 再正有理数 有理数 实数 复数 再比如讨论多项式的因式分解 方程的根的情况 都跟数的范围有关 例如 我们目前学习的解析几何 数学分析都是在实数范围内来讨论问题的 但在高等代数中 通常不做这样的限制 在代数中 我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算 即代数运算 是否还在这个集合之中 代数运算 设A是一个非空集合 定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则 它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应 即运算是否封闭 运算封闭 如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中 则称该集合对这个运算封闭 例如两个整数的和 差 积仍是整数 但两个整数的商就不一定是整数 这证明整数集对加 减 乘三种运算封闭 但对除法并不封闭 而有理数集对加 减 乘 除 除数不为0 四种运算都封闭 同样 实数集 复数集对加 减 乘 除四种运算都封闭 根据数对运算的封闭情况 我们把数集分为两类 数环和数域 一 数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合 则称S是一个数环 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集 C都是数环 例如 1 除了Z Q R C外是否还有其他数环 问题 2 有没有最小的数环 例1 设a是一个确定的整数 令 定义1 则S是一个数环 特别 当a 2时 S是全体偶数组成的数环 问题 3 一个数环是否一定包含0元 例2 证明 是一个数环 问题 定理1 1 1 设S是一个非空数集 S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中 二 数域 定义2 设F是一个含有不等零的数的数集 如果F 则称F是一个数域 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 例如 则称F是一个数域 中任两个数的和 差 积 商 除数不为0 仍在F中 且是三个最重要的数域 问题 7 除了Q R C外 是否还有其他的数域 例3 证明 是一个数域 证明要点 8 一个数域必包含哪两个元素 问题 9 最小的数域是什么 定理1 1 2 任何数域都包含有理数域Q 证明 设F是一个数域 则 于是 对 故 10 在判断一个数集是不是数域时 实际上 问题 要检验几种运算 设F是一个含有非零数的数集 则F 定理1 1 3 问题 例 对任意素数P 是一个数域 在R与C之间不可能有别的数域 设有数域F 使 故 设x a bi 且 数不为零 仍属于F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商 除 可见F C 问题 两个数域的并 不一定是数域 能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之 1 2一元多项式的定义和运算 一 多项式的概念 中学多项式的定义 n个单项式 不含加法或减法运算的整式 的代数和叫多项式 例 4a 3b 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 这是形式表达式 后来又把多项式定义为R上的函数 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代 问题 1 高等代数中采用什么观点定义多项式 定义1 设x是一个文字 或符号 n是一个非负整数 其中 称为数域F上的一元多项式 常数项或零次项 首项首项系数 称为i次项系数 高等代数中采用形式观点定义多项式 它在两方面推广了中学的多项式定义 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号 系数可以是任意数域 例1 2 1 是Q上多项式 是R上多项式 是C上多项式 都不是多项式 定义2 是两个多项式 除系数为0的项之外 同次项的系数都相等 多项式的表法唯一 定义3 设 最高次项 亦称为首项 例1 2 2 零次多项式 次数为0的多项式即非零常数 零多项式 系数全为0的多项式 对零多项式不 个多项式不是零多项式 首一多项式 首项系数为1的多项式 二 多项式的运算 定义4 设 是数域F上次数分别 定义次数 因此 在谈论多项式的次数时 意味着这 当m n时 取 例1 2 3 设 其中 相乘积的和作为 的系数 得 把中两个系数下标之和为k的对应项 多项式的运算 加 减 乘 满足以下运算规律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 下面证明多项式乘法满足结合律 证 设 现证 这只要比较两边同次项 比如t次项系数 相等即可 左 右两边同次项的系数相等 乘法满足结合律 三 多项式的次数定理 定理2 1 1 设 证 设 多项式乘法没有零因子 推论1 若 证 若f 0或g 0 则必有fg 0 反之 若 矛盾 乘法消去律成立 则 证 定义5 对多项式的加 减 乘法是否封闭 上的多项式环 对多项式的加 减 乘法封闭 故称为数域F 1 3整除性理论 一 多项式整除的概念 多项式的整除性 设 记为 整除的基本性质 性质1 若 则 传递性 证 使 性质2 若 则 证 性质3 若 对 证 性质4 若 则对 有 性质5 若 则 证 为常数 性质6 且 则 性质7 带余除法定理 定理1 3 1 则存在 使得 商式 余式 证 先证存在性 2 设 当n m时 显然取 现考虑次数为n的情况 即知结论成立 的次数小于n或为0 于是 取 就有 结论成立 再证唯一性 若有 则 若 则 故 从而 推论1 证 充分性 则有 必要性 例1 3 1设 例1 3 2 证 充分性显然 下证必要性 设 于是 由于 故 多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变 那么 问题 多项式的整除性不因数域的扩大而改变 结论 证 这一等式仍然成立 1 4多项式的最大公因式 一 两个多项式的最大公因式 定义1 若 的一个公因式 定义2 问题 1 如何求两个多项式的最大公因式 2 最大公因式是否唯一 引理 若 与 公因式和最大公因式 证 反之同样成立 进行如下的辗转相除 1 4 1 当进行到某一步时 余式为0 于是得 定理1 4 1 后得一系列等式 1 4 1 则 的最大公因式为 定理1 4 2 中任意两个多项式 由于余式的次数不断降低 而 证明 1 若 显然有 任意 3 若 使 则由定理1 4 1知 经辗转相除后可求出它们的最 则有 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子 例1 4 1 设 使 解 利用辗转相除法 二 两个多项式互素 若 定义3 定理1 4 5 的充要条件是存在 使 多项式互素的性质 性质1 若 则 证 性质2 则 证 性质3 则 证 代入上式即知 三 多个多项式的情况 定义4 设 的公因式 则 性质1 使 性质3 若 例1 4 2设 互素 但 性质5 注意 1 5多项式的分解 在中学代数里我们学过因式分解 就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积 在分解过程中 有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了 但是当时没有理论根据 到底能不能再分下去 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题 这样的因式称为平凡因式 我们感兴趣的是 除了平凡因式外 还有没有其他的因式 定义1 5 1 等价定义 在数域F上可约 由定义可得 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性 性质 性质1 性质2 则 证 设 证 由性质2 推论 二 因式分解 问题 是否可分解为 不可约多项式的乘积 定理1 5 1 证 归纳法 n 1时 命题显然成立 假设命题对一切小于n的多项式成立 则当 时 多项式的乘积 问题 则 定理1 5 2 中任一个次数大于零的多项式 分解成不可约多项式的乘积 成不可约因式的乘积分解式是唯一的 此即若有两 个分解式 则有 r s 证 对分解式中的因式个数用数学归纳法证明 当r 1时 结论显然成立 由归纳假设知 这时有r 1 s 1 故r s 且 三 标准 典型 分解式 故 首项系数提出来 使之成为首一不可约多项式 首项系数 每个多项式的标准分解式是唯一的 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式 利用多项式的标准分解式可以直接写出 例如 则 解 即有 例1 5 2 求 在 上的标准分解式 解 在Q上 在R上 在C上 例1 5 3 在R上分解 解 1 5重因式 定义1 不可约多项式 称为 的k重因式 如果 而 重 要求 的重因式 只要把 式写出即可 但我们还没有一般的方法把一个多项 的标准分解 式分解为不可约因式的乘积 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法 为此目的要引入多项式导数的概念 定义2 的一阶导数指的是多项式 形式定义 多项式 的k阶导数记为 多项式的求导法则 1 2 3 4 定理1 6 1 若不可约多项式 是 的k重因式 k 1 则 是 式 特别多项式 的单因式不是 式 证 的k 1重因 的因 推论1 证 推论2 证 必要性由推论1立得 推论3 推论3表明 判别一个多项式有没有重因式 可以利用辗转相除法得到 在讨论与解方程有关的问题时 常常要求所讨论多项式有没有重因式 由定理1得 故 于是 例1 6 3 用分离因式法 单因式化法 求多项式 在Q上的标准分解式 解 利用辗转相除法求得 由于 问题 1 7多项式函数与多项式的根 一 多项式函数 F中的根或零点 作映射f 为F上的多项式函数 若 则 二 余式定理和综合除法 证 由带余除法 设 则 问题1 有没有确定带余除法 设 中展开后比较方程两边的系数得 于是得 的商式和余式 解 由综合除法 因此 1 多项式系数按降幂排列 有缺项必须补上零 的方幂和 定理1 7 2 因式定理 证明 设 以利用综合除法来判断其余数是否为零 三 多项式的根 的一个k重根 有重根 有重因式 但反之不对 定理1 7 3 根的个数定理 证明 用归纳法 证二 对零次多项式结论显然成立 数等于分解式中一次因式的个数 这个数目当然不 定理1 7 4 的值相等 则 证明 令 问题3 是F中任意n个数 能否确定一个n 1次多项 作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值公式 例1 7 3 求一个次数小于3的多项式 使 解一 待定系数法 设所求的多项式 由已知条件得线性方程组 解之得 解二 利用Lagrange公式 利用Lagrange插值公式可得 问题4 用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致 四 多项式相等与多项式函数相等的关系 多项式相等 即 对应项的系数相同 多项式函数相等 即 定理1 7 5 相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等 证明 相同 于是对 故这两个多项式函数相等 令 此即 1 8复数域和实数域上的多项式 一 C上多项式 那么它在C上是否有根 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根 定理1 8 1 代数基本定理 任何n n 0 次多项式在C上有n个根 重根按重数计算 定理1 8 2 当n 1时结论显然成立 证 假设结论对n 1次多项式成立 则当 推论1 复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的 即C上不可约多项式只能是一次多项式 推论2 上都能分解成一次因式的乘积 即 的标准分解式是 韦达定理 C上多项式的根与系数关系 是一个n n 0 次多项式 则它在C中有n个根 记 2 比较 1 与 2 的展开式中同次项的系数 得根与系数的关系为 如果 根与系数的关系又如何 例1 8 1 它以1和4为单根 2为2重根 求一个首项系数为1的4次多项式 使 解 设 则 二 实数域上的多项式 定理1 8 3 证 设 故有 则有 因此多项式 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积 假设对结论次数 n的多项式结论成立 现考虑 是一个二次实系数不可约多项式 且 不可约多项式的乘积 故结论成立 推论3 推论4 n n 0 次实系数多项式 具有标准分解式 不可约 即满足 在R上 例1 8 2 的非零根 解 所求多项式是 或 1 8有理系数多项式 一 整系数多项式的可约性 定义1 本原多项式 例如 本原多项式的加 减运算所得的未必是本原多项式 但相乘之后必是本原多项式 是本原多项式 引理 高斯定理 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式 证 设 都是本原多项式 现考虑 定理1 9 1 证 充分性显然 下证必要性 于是 故p 1 从而rs是一个整数 C上不可约多项式只能是一次 R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式 Q上不可约多项式的特征是什么 下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题 问题 定理1 9 2 Eisenstein判别法 若存在素数p 使 证 反证法 若 在Q上可约 在Z上可约 即存在 使 其中 但两者不能同时成立 即 现考虑 但p能整除其它项 故 由Eisenstein判别法知 Q上存在任意次不可约多项式 例1 9 1 是Q上不可约多项式 p是素数 在Q上是否可约 解 分别取p 2 p 3即知 解 取素数p即知 Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件 但不是必要条件 注意 例 不可约 但找不到素数p 也是本原的 二 整系数多项式的有理根 定理1 9 3 设 则 证 有一次因式 即 2 设 是整数 的有理根只能是 定理1 9 4 证 由 1 10多元多项式 前面介绍了一元多项式的基本性质 但是除了一元多项式外 还有含多个文字的多项式 即多元多项式 如 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念 如果两个单项式中相同文字的幂全一样 那么它们就称为同类项 一些单项式的和 就称为n元多项式 简称多项式 和一元多项式一样 n元多项式也可以定义相等 相加 相减 相乘 相等 如果F上两个n元多项式有完全相同的项 或者只差一些系数为零的项 则称这两个多项式是相等的 相加 例如 设 则f与g的和是 相减 设 把g的系数都换成各自的相反数 所得多项式叫做g的负多项式 记为 相乘 例如 则 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致 n元多项式的运算满足以下运算律 设 则 加法结合律 加法交换律 乘法结合律 乘法交换律 乘法分配律 的多项式环 记作 同一元多项式一样 也可以谈论n元多项式的次数 设 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数 记为 设f g是F上两个不等于零的n元多项式 则f与g的和与积的次数与f g的次数有如下关系 1 2 结论1是显然的 但要证明结论2 还得先考虑多元多项式的排列顺序 在一元多项式中 我们看到多项式的升幂 或降幂 排列对许多问题的讨论是方便的 为此 对多元多项式也引入一种排列顺序的方法 这种方法是模仿字典排列的原则得出的 因而称为字典排列法 每一类单项式 1 都对应一个n元数组 为了给单项式之间一个排列顺序的方法 我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了 考虑 而 记为 例如 对多项式 按字典排列法写出来就是 应该注意的是 把一个多项式按字典排列法书写后 次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面 例如上面的首项次数为4 第二项的次数为6 而 关于多项式的首项有以下定理 这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到 定理1 10 1 证明 的首项为 为了证明它们的积 为fg的首项 只要证明数组 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了 其中 于是 推论1 10 1 推论1 10 2 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来 则称f是一个k次齐次多项式 简称k次齐次 例如 就是一个4次齐次多项式 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式 它的次数就等于这两个多项式的次数之和 任何一个m次多项式 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和 即 是i次齐次多项式 若 就是f的一个i次齐次成分 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和 定理1 10 2 证明 它们的次数分别为m和s 把f与g分别写成齐次多项式的和 于是 由推论1 10 2 且是一个m s次齐式 其余各项 或者等于零 或者是一个次数低于m s的齐式 因此 同一元多项式一样 F上n元多项式与多项式函数是相同的 就得到数域F中一个确定的数 称为 如果 由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数 对 作映射 的值 设 如果 则对 都有 这说明相等的多项式确定相同的多项式函数 下面证明其反面也成立 定理1 10 3 设 如果对任意 证明思路 这里 任意取定 代入得 已知对 有 取 则有 由于定理对一元多项式成立 故有 有 由归纳假设 故 从