2018高考一轮复习 立体几何+一

第 1 页 共 25 页 2017 高考一轮复习高考一轮复习 立体几何立体几何 一一 一 选择题 共一 选择题 共 24 小题 小题 1 2014 郴州三模 用一个平行于水平面的平面去截球 得到如图所示的几何体 则它的 俯视图是 A B C D 2 2014 秋 城区校级期末 如图所示 用过 A1 B C1和 C1 B D 的两个截面截去正 方体 ABCD A1B1C1D1的两个角后得到一个新的几何体 则该几何体的正视图为 A B C D 3 2012 武汉模拟 如图是一正方体被过棱的中点 M N 顶点 A 和 N 顶点 D C1的 两上截面截去两个角后所得的几何体 则该几何体的正视图为 A B C D 4 2013 鹰潭校级模拟 已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示 则该三棱锥的侧视 图面积为 第 2 页 共 25 页 A B 1C D 5 2012 陕西 将正方体 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所示的几何体 则该 几何体的左视图为 A B C D 6 2015 铜川模拟 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中三个视图都是直角三角形 则在该三棱锥的四个面中 直角三角形的个数为 A 1B 2C 3D 4 7 2015 秋 哈尔滨校级月考 某几何体的一条棱长为 3 在该几何体的正视图中 这条棱 的投影长为 2 的线段 在该几何体的侧视图和俯视图中 这条棱长的投影长分别是 a 和 b 的线段 则 a b 的最大值为 A 2B 2C 4D 2 8 2015 北京 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥最长棱的棱长为 第 3 页 共 25 页 A 1B C D 2 9 已知某个几何体的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何 体的体积是 cm3 A B C D 4 10 2013 秋 秦安县期末 一个圆锥过轴的截面为等边三角形 它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上 则该圆锥的表面积与球 O 的表面积的比值为 A B C D 11 2014 唐山一模 正三棱锥的高和底面边长都等于 6 则其外接球的表面积为 A 8 B 16 C 32 D 64 12 2016 北海一模 已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球 O 上 底面 ABCD 是矩形 平面 PAD 平面 ABCD PAD 为正三角形 AB 2AD 4 则球 O 的表面积为 A B C 32 D 64 13 2015 沈阳校级模拟 若圆锥的内切球与外接球的球心重合 且内切球的半径为 1 则圆锥的体积为 A B 2 C 3 D 4 14 正四面体的内切球与外接球的半径的比等于 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 5 第 4 页 共 25 页 15 2014 道里区校级三模 已知一个正四面体的俯视图如图所示 其中四边形 ABCD 是 边长为 3的正方形 则该正四面体的内切球的表面积为 A 6 B 54 C 12 D 48 16 2014 大庆二模 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这 个几何体的外接球的表面积为 A B C D 17 2015 新课标 II 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 为该球面上的动 点 若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 18 2015 秋 晋中期末 表面积为 40 的球面上有四点 S A B C 且 SAB 是等边三 角形 球心 O 到平面 SAB 的距离为 若平面 SAB 平面 ABC 则三棱锥 S ABC 体积 的最大值为 A 2B C 6D 19 2015 新课标 II 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如图 则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 第 5 页 共 25 页 A B C D 20 2015 秋 淮南期末 如图所示 ABCD A1B1C1D1是长方体 O 是 B1D1的中点 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M 则下列结论正确的是 A A M O 三点共线B A M OA1不共面 C A M C O 不共面D B B1 O M 共面 21 2015 衡阳县校级模拟 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 BC1 CD1的中点 则下列说法错误的是 A MN 与 CC1垂直B MN 与 AC 垂直C MN 与 BD 平行D MN 与 A1B1平行 22 2015 秋 眉山期末 如图是正方体或四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 这 四个点不共面的一个图是 A B C D 23 2015 广东 若直线 l1和 l2 是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l 与 l1 l2都不相交B l 与 l1 l2都相交 C l 至多与 l1 l2中的一条相交D l 至少与 l1 l2中的一条相交 24 2016 延庆县一模 已知两条直线 a b 和平面 若 a b b 则 a 是 b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 第 6 页 共 25 页 25 2014 长春一模 已知三棱柱 ABC A1B1C1底面是边长为的正三角形 侧棱垂直于 底面 且该三棱柱的外接球表面积为 12 则该三棱柱的体积为 26 2013 长春一模 若一个正四面体的表面积为 S1 其内切球的表面积为 S2 则 27 2016 石嘴山校级二模 在三棱锥 P ABC 中 底面 ABC 是等腰三角形 BAC 120 BC 2 PA 平面 ABC 若三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 8 则该三棱锥的体积为 28 2015 南昌一模 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 侧面 BCC1B1的面积 为 2 则直三棱柱 ABC A1B1C1外接球表面积的最小值为 29 2015 四川 在三棱住 ABC A1B1C1中 BAC 90 其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形 设 M N P 分别是 AB BC B1C1的中点 则三棱锥 P AMN 的体积是 30 2016 春 厦门校级期中 a b c 是空间中互不重合的三条直线 下面给出五个命题 若 a b b c 则 a c 若 a b b c 则 a c 若 a 与 b 相交 b 与 c 相交 则 a 与 c 相交 若 a 平面 b 平面 则 a b 一定是异面直线 上述命题中正确的是 只填序号 第 7 页 共 25 页 2017 高考一轮复习高考一轮复习 立体几何立体几何 一一 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 24 小题 小题 1 2014 郴州三模 用一个平行于水平面的平面去截球 得到如图所示的几何体 则它的 俯视图是 A B C D 分析 根据题意几何体是球缺 利用球的视图是圆 看不到的线要画虚线 可得答案 解答 解 用一个平行于水平面的平面去截球 截得的几何体是球缺 根据俯视图的定义 几何体的俯视图是两个同心圆 且内圆是截面的射影 内圆应是虚 线 故选 B 点评 本题考查了几何体的三视图 要注意 看不到的线要画虚线 2 2014 秋 城区校级期末 如图所示 用过 A1 B C1和 C1 B D 的两个截面截去正 方体 ABCD A1B1C1D1的两个角后得到一个新的几何体 则该几何体的正视图为 A B C D 分析 直接利用三视图的定义 正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影 图 据此可以判断出其正视图 解答 解 由正视图的定义可知 点 A A1 C1在后面的投影点分别是点 D D1 C1 线段 A1B 在后面的投影面上的投影是以 D1为端点且与线段 A1B 平行且相等的线段 即可 得正视图 故选 A 点评 从正视图的定义可以判断出题中的正视图 同时要注意能看见的轮廓线和棱用实 线表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示 第 8 页 共 25 页 3 2012 武汉模拟 如图是一正方体被过棱的中点 M N 顶点 A 和 N 顶点 D C1的 两上截面截去两个角后所得的几何体 则该几何体的正视图为 A B C D 分析 通过三视图的画法 几何体的主视图的轮廓是一个正方形 在作三视图时 能看 见的线作成实线 被遮住的线作成虚线 由此规则判断各个选项即可 解答 解 对于选项 A 几何体的主视图的轮廓是一个正方形 故 A 不正确 对于 B 正视图是正方形符合题意 线段 AM 的影子是一个实线段 相对面上的线段 DC1 的投影是正方形的对角线 由于从正面看不到 故应作成虚线 故选项 B 正确 对于 C 正视图是正方形 符合题意 有两条实线存在于正面不符合实物图的结构 故不 正确 对于 D 正视图是正方形符合题意 其中的两条实绩符合斜视图的特征 故 D 不正确 故选 B 点评 本题考点是简单空间图形的三视图 考查根据作三视图的规则来作出三个视图的 能力 三视图的投影规则是 主视 俯视 长对正 主视 左视高平齐 左视 俯视 宽相 等 高考常考题型 4 2013 鹰潭校级模拟 已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示 则该三棱锥的侧视 图面积为 A B 1C D 分析 由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形 画 出其直观图 可得侧视图为直角三角形 且直角边长分别为 1 代入公式计算 解答 解 由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形 其直观图如图 SB SO 1 BC 1 CM 第 9 页 共 25 页 几何体的侧视图为直角三角形 且直角边长分别为 1 侧视图的面积 S 故选 C 点评 本题考查了由主视图与俯视图求侧视图的面积 解题的关键是判断主视图与俯视 图的数据所对应的几何量 画出其直观图 5 2012 陕西 将正方体 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所示的几何体 则该 几何体的左视图为 A B C D 分析 直接利用三视图的画法 画出几何体的左视图即可 解答 解 由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段 上面的射影也是线段 后面与底面的射影都是线段 轮廓是正方形 AD1在右侧的射影是正方形的对角线 B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线 如图 B 故选 B 点评 本题考查几何体的三视图的画法 考查作图能力 6 2015 铜川模拟 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中三个视图都是直角三角形 则在该三棱锥的四个面中 直角三角形的个数为 第 10 页 共 25 页 A 1B 2C 3D 4 分析 由题意可知 几何体为三棱锥 将其放置在长方体模型中即可得出正确答案 解答 解 由题意可知 几何体是三棱锥 其放置在长方体中形状如图所示 图中红色 部分 利用长方体模型可知 此三棱锥的四个面中 全部是直角三角形 故选 D 点评 本题考查学生的空间想象能力 由三视图还原实物图 是基础题 7 2015 秋 哈尔滨校级月考 某几何体的一条棱长为 3 在该几何体的正视图中 这条棱 的投影长为 2 的线段 在该几何体的侧视图和俯视图中 这条棱长的投影长分别是 a 和 b 的线段 则 a b 的最大值为 A 2B 2C 4D 2 分析 由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体 三视图中的三个投影 是三个面对角 线 设出三度 利用勾股定理 基本不等式求出最大值 解答 解 将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体 三视图中的三个投影 是三个面对角线 则设长方体的三度 x y z 所以 x2 y2 z2 9 x2 y2 a2 y2 z2 b2 x2 z2 4 可得 a2 b2 14 a b 2 2 a2 b2 a b 2 a b 的最大值为 2 故选 B 点评 本题考查三视图 几何体的结构特征 考查空间想象能力 基本不等式的应用 是中档题 8 2015 北京 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥最长棱的棱长为 第 11 页 共 25 页 A 1B C D 2 分析 几何体是四棱锥 且四棱锥的一条侧棱与底面垂直 结合直观图求相关几何量的 数据 可得答案 解答 解 由三视图知 几何体是四棱锥 且四棱锥的一条侧棱与底面垂直 底面为正方形如图 其中 PB 平面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 PB 1 AB 1 AD 1 BD PD PC 该几何体最长棱的棱长为 故选 C 点评 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题 根据三视图判断几何体的结构特 征是解答本题的关键 9 已知某个几何体的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何 体的体积是 cm3 第 12 页 共 25 页 A B C D 4 分析 由三视图知几何体是一个三棱锥 三棱锥的底面是一个底边是 2 高是 2 的三角 形 三棱锥的高是 2 根据三棱锥的体积公式得到结果 解答 解 原几何体为底面是高为 2 底边长是 2 的三角形的三棱锥 该三棱锥的高是 2 所以体积是 故选 A 点评 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度 本题解题的关键 是要求体积需要求出几何体的底面面积和高 本题是一个基础题 10 2013 秋 秦安县期末 一个圆锥过轴的截面为等边三角形 它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上 则该圆锥的表面积与球 O 的表面积的比值为 A B C D 分析 设出球的半径 求出圆锥的底面半径然后求出球的面积以及圆锥的全面积 即可 求出结果 解答 解 如图 设球半径为 R 则锥的底面半径 r R 锥的高 h R S锥 S底面积 S侧 r2 Rr R 2 R R R2 S球 4 R2 S锥 S球 故选 D 点评 本题考查球的内接体 圆锥的表面积以及球的面积的求法 考查计算能力 11 2014 唐山一模 正三棱锥的高和底面边长都等于 6 则其外接球的表面积为 A 8 B 16 C 32 D 64 分析 由题意推出球心 O 到四个顶点的距离相等 利用直角三角形 BOE 求出球的半径 即可求出外接球的表面积 解答 解 如图 球心 O 到四个顶点的距离相等 第 13 页 共 25 页 正三棱锥 A BCD 中 底面边长为 6 BE 2 在直角三角形 BOE 中 BO R EO 6 R BE 2 由 BO2 BE2 EO2 得 R 4 外接球的半径为 4 表面积为 64 故选 D 点评 本题是基础题 考查空间想象能力 计算能力 利用直角三角形 BOE 是本题解题 的关键 仔细观察和分析题意 是解好数学题目的前提 12 2016 北海一模 已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球 O 上 底面 ABCD 是矩形 平面 PAD 平面 ABCD PAD 为正三角形 AB 2AD 4 则球 O 的表面积为 A B C 32 D 64 分析 求出 PAD 所在圆的半径 利用勾股定理求出球 O 的半径 R 即可求出球 O 的 表面积 解答 解 令 PAD 所在圆的圆心为 O1 PAD 为正三角形 AD 2 则圆 O1的半径 r 因为平面 PAD 底面 ABCD AB 4 所以 OO1 AB 2 所以球 O 的半径 R 所以球 O 的表面积 4 R2 故选 B 点评 本题考查球 O 的表面积 考查学生的计算能力 比较基础 13 2015 沈阳校级模拟 若圆锥的内切球与外接球的球心重合 且内切球的半径为 1 则圆锥的体积为 A B 2 C 3 D 4 分析 过圆锥的旋转轴作轴截面 得 ABC 及其内切圆 O1和外切圆 O2 且两圆同 圆心 即 ABC 的内心与外心重合 易得 ABC 为正三角形 由题意 O1的半径为 r 1 进而求出圆锥的底面半径和高 代入圆锥体积公式 可得答案 第 14 页 共 25 页 解答 解 过圆锥的旋转轴作轴截面 得 ABC 及其内切圆 O1和外切圆 O2 且两圆同圆心 即 ABC 的内心与外心重合 易得 ABC 为正三角形 由题意 O1的半径为 r 1 ABC 的边长为 2 圆锥的底面半径为 高为 3 V 故选 C 点评 本题考查的知识点是旋转体 圆锥的体积 其中根据已知分析出圆锥的底面半径 和高 是解答的关键 14 正四面体的内切球与外接球的半径的比等于 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 5 分析 画出图形 确定两个球的关系 通过正四面体的体积 求出两个球的半径的比值 即可 解答 解 设正四面体为 PABC 两球球心重合 设为 O 设 PO 的延长线与底面 ABC 的交点为 D 则 PD 为正四面体 PABC 的高 PD 底面 ABC 且 PO R OD r OD 正四面体 PABC 内切球的高 设正四面体 PABC 底面面积为 S 将球心 O 与四面体的 4 个顶点 PABC 全部连接 可以得到 4 个全等的正三棱锥 球心为顶点 以正四面体面为底面 每个正三棱锥体积 V1 S r 而正四面体 PABC 体积 V2 S R r 根据前面的分析 4 V1 V2 所以 4 S r S R r 所以 R 3r 故选 A 点评 本题是中档题 考查正四面体的内切球与外接球的关系 找出两个球的球心重合 半径的关系是解题的关键 考查空间想象能力 计算能力 15 2014 道里区校级三模 已知一个正四面体的俯视图如图所示 其中四边形 ABCD 是 边长为 3的正方形 则该正四面体的内切球的表面积为 第 15 页 共 25 页 A 6 B 54 C 12 D 48 分析 由正四面体的俯视图是边长为 2 的正方形 所以此四面体一定可以放在棱长为 2 的正方体中 求出正四面体的边长 可得正四面体的内切球的半径 即可求出正四面体的 内切球的表面积 解答 解 正四面体的俯视图是如图所示的边长为 3正方形 ABCD 此四面体一定可以放在正方体中 我们可以在正方体中寻找此四面体 如图所示 四面体 ABCD 满足题意 由题意可知 正方体的棱长为 3 正四面体的边长为 6 正四面体的高为 2 正四面体的内切球的半径为 正四面体的内切球的表面积为 4 R2 6 故选 A 点评 本题的考点是由三视图求几何体的表面积 需要由三视图判断空间几何体的结构 特征 并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度 代入对应的表面积公式分别求解 考查了空间想象能力 16 2014 大庆二模 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这 个几何体的外接球的表面积为 第 16 页 共 25 页 A B C D 分析 由已知中几何体的三视图中 正视图是一个正三角形 侧视图和俯视图均为三角 形 我们得出这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上 且是等边三角形 PAC 的中心 得到球的半径 代入球的表面积公式 即可得到答案 解答 解 由已知中知几何体的正视图是一个正三角形 侧视图和俯视图均为三角形 可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面 高为 底面是一个等腰直角三角形的三 棱锥 如图 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上 且是等边三角形 PAC 的中心 这个几何体的外接球的半径 R PD 则这个几何体的外接球的表面积为 S 4 R2 4 2 故选 A 点评 本题考查的知识点是由三视图求面积 体积 其中根据三视图判断出几何体的形 状 分析出几何体的几何特征是解答本题的关键 17 2015 新课标 II 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 为该球面上的动 点 若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 分析 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时 三棱锥 O ABC 的体积最大 利用三棱 锥 O ABC 体积的最大值为 36 求出半径 即可求出球 O 的表面积 解答 解 如图所示 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时 三棱锥 O ABC 的体积 最大 设球 O 的半径为 R 此时 VO ABC VC AOB 36 故 R 6 则 球 O 的表面积为 4 R2 144 故选 C 第 17 页 共 25 页 点评 本题考查球的半径与表面积 考查体积的计算 确定点 C 位于垂直于面 AOB 的 直径端点时 三棱锥 O ABC 的体积最大是关键 18 2015 秋 晋中期末 表面积为 40 的球面上有四点 S A B C 且 SAB 是等边三 角形 球心 O 到平面 SAB 的距离为 若平面 SAB 平面 ABC 则三棱锥 S ABC 体积 的最大值为 A 2B C 6D 分析 作出直观图 根据球和等边三角形的性质计算 SAB 的面积和棱锥的最大高度 代入体积公式计算 解答 解 过 O 作 OF 平面 SAB 则 F 为 SAB 的中心 过 F 作 FE SA 于 E 点 则 E 为 SA 中点 取 AB 中点 D 连结 SD 则 ASD 30 设球 O 半径为 r 则 4 r2 40 解得 r 连结 OS 则 OS r OF SF 2 DF EF SE SA 2SE 2 S SAB SA2 6 过 O 作 OM 平面 ABC 则当 C M D 三点共线时 C 到平面 SAB 的距离最大 即三棱 锥 S ABC 体积最大 连结 OC 平面 SAB 平面 ABC 四边形 OMDF 是矩形 MD OF OM DF CM 2 CD CM DM 3 三棱锥 S ABC 体积 V S SAB CD 6 故选 C 第 18 页 共 25 页 点评 本题考查了棱锥的体积计算 空间几何体的作图能力 准确画出直观图找到棱锥 的最大高度是解题关键 19 2015 新课标 II 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如图 则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A B C D 分析 由三视图判断 正方体被切掉的部分为三棱锥 把相关数据代入棱锥的体积公式 计算即可 解答 解 设正方体的棱长为 1 由三视图判断 正方体被切掉的部分为三棱锥 正方体切掉部分的体积为 1 1 1 剩余部分体积为 1 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选 D 点评 本题考查了由三视图判断几何体的形状 求几何体的体积 第 19 页 共 25 页 20 2015 秋 淮南期末 如图所示 ABCD A1B1C1D1是长方体 O 是 B1D1的中点 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M 则下列结论正确的是 A A M O 三点共线B A M OA1不共面 C A M C O 不共面D B B1 O M 共面 分析 本题利用直接法进行判断 先观察图形判断 A M O 三点共线 为了要证明 A M O 三点共线 先将 M 看成是在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 利用同样的 方法证明点 O A 也是在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 从而证明三点共线 解答 解 连接 A1C1 AC 则 A1C1 AC A1 C1 C A 四点共面 A1C 平面 ACC1A1 M A1C M 平面 ACC1A1 又 M 平面 AB1D1 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A M O 三点共线 故选 A 点评 本题主要考查了平面的基本性质及推论 三点共线及空间想象能力 属于基础 题 21 2015 衡阳县校级模拟 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 BC1 CD1的中点 则下列说法错误的是 A MN 与 CC1垂直B MN 与 AC 垂直C MN 与 BD 平行D MN 与 A1B1平行 分析 先利用三角形中位线定理证明 MN BD 再利用线面垂直的判定定理定义证明 MN 与 CC1垂直 由异面直线所成的角的定义证明 MN 与 AC 垂直 故排除 A B C 选 D 解答 解 如图 连接 C1D BD 在三角形 C1DB 中 MN BD 故 C 正确 CC1 平面 ABCD CC1 BD MN 与 CC1垂直 故 A 正确 AC BD MN BD MN 与 AC 垂直 B 正确 A1B1与 BD 异面 MN BD MN 与 A1B1不可能平行 D 错误 第 20 页 共 25 页 故选 D 点评 本题主要考查了正方体中的线面关系 线线平行与垂直的证明 异面直线所成的 角及其位置关系 熟记正方体的性质是解决本题的关键 22 2015 秋 眉山期末 如图是正方体或四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 这 四个点不共面的一个图是 A B C D 分析 利用公理三及推论判断求解 解答 解 在 A 图中 分别连接 PS QR 则 PS QR P S R Q 共面 在 B 图中 过 P Q R S 可作一正六边形 如图 故 P Q R S 四点共面 在 C 图中 分别连接 PQ RS 则 PQ RS P Q R S 共面 D 图中 PS 与 RQ 为异面直线 P Q R S 四点不共面 故选 D 点评 本题考查四点不共面的图形的判断 是基础题 解题时要认真审题 注意平面性 质及推论的合理运用 23 2015 广东 若直线 l1和 l2 是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l 与 l1 l2都不相交B l 与 l1 l2都相交 C l 至多与 l1 l2中的一条相交D l 至少与 l1 l2中的一条相交 第 21 页 共 25 页 分析 可以画出图形来说明 l 与 l1 l2的位置关系 从而可判断出 A B C 是错误的 而对于 D 可假设不正确 这样 l 便和 l1 l2都不相交 这样可退出和 l1 l2异面矛盾 这 样便说明 D 正确 解答 解 A l 与 l1 l2可以相交 如图 该选项错误 B l 可以和 l1 l2中的一个平行 如上图 该选项错误 C l 可以和 l1 l2都相交 如下图 该选项错误 D l 至少与 l1 l2中的一条相交 正确 假如 l 和 l1 l2都不相交 l 和 l1 l2都共面 l 和 l1 l2都平行 l1 l2 l1和 l2共面 这样便不符合已知的 l1和 l2异面 该选项正确 故选 D 点评 考查异面直线的概念 在直接说明一个命题正确困难的时候 可说明它的反面不 正确 24 2016 延庆县一模 已知两条直线 a b 和平面 若 a b b 则 a 是 b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 分析 分别判断出充分性和不必要性即可 解答 解 若 a b b a 则 b 是充分条件 若 a b b b 推不出 a 不是必要条件 则 a 是 b 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查了充分必要条件 考查线面 线线的位置关系 是一道基础题 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 第 22 页 共 25 页 25 2014 长春一模 已知三棱柱 ABC A1B1C1底面是边长为的正三角形 侧棱垂直于 底面 且该三棱柱的外接球表面积为 12 则该三棱柱的体积为 3 分析 求出底面中心到底面三角形顶点的距离 求出外接球的半径 然后求出棱柱的高 即可求出所求体积 解答 解 设球半径 R 上下底面中心设为 M N 由题意 外接球心为 MN 的 中点 设为 O 则 OA R 由 4 R2 12 得 R OA 又 AM 由勾股定理可知 OM 1 所以 MN 2 即棱柱的高 h 2 所以该三棱柱的体积为 2 3 故答案为 3 点评 本题是基础题 考查几何体的外接球的表面积的应用 三棱柱体积的求法 考查 计算能力 26 2013 长春一模 若一个正四面体的表面积为 S1 其内切球的表面积为 S2 则 分析 设正四面体 ABCD 的棱长为 a 利用体积分割法计算出内切球半径 r a 从而 得到 S2关于 a 的式子 利用正三角形面积公式 算出正四面体的表面积 S1关于 a 的式子 由此不难得出 S1与 S2的比值 解答 解 设正四面体 ABCD 的棱长为 a 可得 等边三角形 ABC 的高等于a 底面中心将高分为 2 1 的两段 底面中心到顶点的距离为 a a 可得正四面体 ABCD 的高为 h a 正四面体 ABCD 的体积 V S ABC a a3 设正四面体 ABCD 的内切球半径为 r 则 4 S ABC r a3 解得 r a 第 23 页 共 25 页 内切球表面积 S2 4 r2 正四面体 ABCD 的表面积为 S1 4 S ABC a2 故答案为 点评 本题给出正四面体 求它的表面积与其内切球表面积的比值 着重考查了正四面 体的性质 球的表面积公式和多面体的外接 内切球算法等知识 属于中档题 27 2016 石嘴山校级二模 在三棱锥 P ABC 中 底面 ABC 是等腰三角形 BAC 120 BC 2 PA 平面 ABC 若三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 8 则该三棱锥的体积为 分析 作出草图 根据底面 ABC 与截面圆的关系计算截面半径 根据球的面积计算球 的半径 利用勾股定理计算球心到截面的距离 得出棱锥 P ABC 的高 解答 解 过 A 作平面 ABC 所在球截面的直径 AD 连结 B