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数学物理方程 课程的内容 三个方程 行波法 分离变量法 格林函数法 积分变换法 波动方程 热传导 拉普拉斯方程 四种方法 用数学方程来描述一定的物理现象 第一章绪伦 二 重要性 第一节概述 数学物理方程反映了自然科学和工程技术的各门分支中物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系 是数学联系实际的一个重要桥梁 已经成为自然科学 工程技术甚至经济管理科学等领域的研究基础 一 数学物理方程定义 含有未知函数的偏导数的方程 是物理现象的数学描述 包括微分方程和积分方程 主要是偏微分方程 1 一般研究程序 1 将物理问题依有关定律建立相应的数学模型2 对数学模型应用数学方法求解3 将解答通过数学论证和实践检验鉴定其正确性 三 研究方法及本课程内容 2 本课程内容 以三种典型方程的定解问题的求解方法为主要研究内容 重点掌握1 有关基本概念2 典型物理问题方程的建立3 常用的几种解法及典型例题求解 2 方程的阶数 方程中出现的未知函数的最高阶偏导数 可分为一阶方程 二阶方程 高阶方程 2 数学物理方程的基本概念 一 方程的概念 由未知量组成的关系式 等式 1 按未知量的形式 代数方程 未知量是数量 函数方程 未知量是函数 常微分方程 方程含有函数的导数 偏微分方程 方程含有多自变量函数的偏导数 积分方程 方程含有未知函数的积分 3 方程的线性与非线性 线性方程 如果一个偏微分方程的未知函数及其各阶偏导数都是线性的 一次幂 如m个自变量的二阶线性偏微分方程可写成如下形式 非线性方程 含有未知函数及其偏导数的非线性项 非线性项有三种形式 拟线性方程 未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的半线性的拟线性方程 最高阶导数的系数仅仅是自变量的函数 1 未知函数本身为非线性的项 如2 未知函数偏导数的系数含有未知函数或其低阶导数项 如3 未知函数最高阶导数为非线性的项 如 1 定解条件 三 定解条件和定解问题 1 初始条件 给出未知函数或其对时间的偏导数的起始状态 2 边界条件 给出未知函数在所求区域的边界上的值或导数值或两者的线性组合 为完全确定一个物理状态所给出的初始状态和边界状态 即外加的特定条件 S 给定区域v的边界 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 如 2 定解问题 1 初始问题 柯西问题 只有初始条件 没有边界条件的定解问题 2 边值问题 没有初始条件 只有边界条件的定解问题 依所给边界条件的类型分为 第一类边值问题 Dirichlet问题 第二类边值问题 Neumann问题 第三类边值问题 Robbin问题 3 混合问题 既有初始条件 也有边界条件的定解问题 1 泛定方程 通常称偏微分方程为泛定方程2 把泛定方程和其相应的定解条件结合在一起 就构成了一个定解问题 3 定解问题的提法 1 偏微分方程的解 古典解 如果将某个函数u代入偏微分方程中 能使方程成为恒等式 则这个函数就是该偏微分方程的解 通解 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解 特解 满足方程及定解条件的解 也称为定解问题的解 形式解 未经过验证的解为形式解 四 定解问题的适定性 解析解 可展开成收敛幂级数形式的解 光滑解 可无穷次可微的解 为使定解问题的解能反映原来的物理现象 对数学上的解提出的一些标准 称为适定性 包括存在性 唯一性和稳定性 2 定解问题的适定性 解的存在性 所给定解问题有解 解的稳定性 当定解条件及方程中的系数或自由项有微小变化时 相应的解也只有相应的微小变动 解的唯一性 所给定解问题只有一个解 二阶线性偏微分方程的一般形式 3 二阶线性偏微分方程的分类 特别对有两个自变量 x y 函数的二阶线性偏微分方程可写为 为简化方程设作代换 则由复合函数的求导有 期中系数 原方程的特征方程 可见若有使上两式为零 则原方程可以简化 由一元二次方程的求解 可将特征方程分成两个方程 双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 例如 波动方程 位势方程 热传导方程 所以 判别式的符号在作变量代换时不变 即所作变量代换不改变方程类型 4 线性叠加原理 线性方程的解具有叠加特性 对n个自变量的二阶线性偏微分方程 容易验证L是线性微分算子 即满足性质 对于一般的线性边界条件 也可以写成算子的形式 可以证明L0也是线性算子 叠加原理1设ui满足线性方程 或者线性定解条件 则它们的任意线性组合也