高三数学一轮复习必备精品1：集合--【高三数学一轮复习必备精品共42讲-全部免费-欢迎下载】

1 第第 1 1 讲讲 集集 合合 备注 备注 高三数学一轮复习必备精品高三数学一轮复习必备精品共共 4242 讲讲 全部免费全部免费 欢迎下欢迎下 载载 一 一 课标要求课标要求 1 集合的含义与表示 1 通过实例 了解集合的含义 体会元素与集合的 属于 关系 2 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 感 受集合语言的意义和作用 2 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 二 二 命题走向命题走向 有关集合的高考试题 考查重点是集合与集合之间的关系 近年试题加强了对集合的计 算化简的考查 并向无限集发展 考查抽象思维能力 在解决这些问题时 要注意利用几何 的直观性 注意运用 Venn 图解题方法的训练 注意利用特殊值法解题 加强集合表示方法 的转换和化简的训练 考试形式多以一道选择题为主 分值 5 分 预测 2010 年高考将继续体现本章知识的工具作用 多以小题形式出现 也会渗透在解 答题的表达之中 相对独立 具体题型估计为 1 题型是 1 个选择题或 1 个填空题 2 热点是集合的基本概念 运算和工具作用 三 三 要点精讲要点精讲 1 集合 某些指定的对象集在一起成为集合 1 集合中的对象称元素 若a是集合A的元素 记作 若b不是集合A的元素 Aa 记作 Ab 2 集合中的元素必须满足 确定性 互异性与无序性 确定性 设A是一个给定的集合 x是某一个具体对象 则或者是A的元素 或者 不是A的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 互异性 一个给定集合中的元素 指属于这个集合的互不相同的个体 对象 因 此 同一集合中不应重复出现同一元素 无序性 集合中不同的元素之间没有地位差异 集合不同于元素的排列顺序无关 3 表示一个集合可用列举法 描述法或图示法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内 描述法 把集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号 内 具体方法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再 画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 注意 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一 般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 4 常用数集及其记法 2 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 整数集 记作Z 有理数集 记作 Q 实数集 记作 R 2 集合的包含关系 1 集合A的任何一个元素都是集合B的元素 则称A是B的子集 或B包含A 记 作AB 或 BA 集合相等 构成两个集合的元素完全一样 若AB且BA 则称A等于B 记作 A B 若AB且A B 则称A是B的真子集 记作A B 2 简单性质 1 AA 2 A 3 若AB BC 则AC 4 若集合A是 n 个元素的集合 则集合A有 2n个子集 其中 2n 1 个真子集 3 全集与补集 1 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集 记作 U 2 若 S 是一个集合 AS 则 称 S 中子集A的补集 S C AxSxx 且 3 简单性质 1 A 2 S S S C S C S C S C 4 交集与并集 1 一般地 由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 叫做集合A与B的交 集 交集 BxAxxBA 且 2 一般地 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 称为集合A与B 的并集 BxAxxBA 或并集 注意 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 区分交集与并集 的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思想方法 5 集合的简单性质 1 ABBAAAAA 2 ABBAAA 3 BABA 4 BBABAABABA 5 A B A B A B A B S C S C S C S C S C S C 四 四 典例解析典例解析 题型 1 集合的概念 2009 湖南卷理 某班共 30 人 其中 15 人喜爱篮球运动 10 人喜爱兵乓球运动 8 人对这 两项运动都不喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 3 答案 12 解析 设两者都喜欢的人数为x人 则只喜爱篮球的有 15 x 人 只喜爱乒乓球的有 10 x 人 由此可得 15 10 830 xxx 解得3x 所以1512x 即 所求人数为 12 人 例 1 2009 广东卷 理 已知全集UR 集合 212 Mxx 和 21 1 2 Nx xkk 的关系的韦恩 Venn 图如图 1 所示 则阴影部分所示的集 合的元素共有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 答案 B 解析 由 212 Mxx 得31 x 则 3 1 NM 有 2 个 选 B 题型 2 集合的性质 例 2 2009 山东卷理 集合 0 2 Aa 2 1 Ba 若 0 1 2 4 16AB 则a的值为 A 0 B 1 C 2 D 4 答案 D 解析 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB 2 16 4 a a 4a 故选 D 命题立意 本题考查了集合的并集运算 并用观察法得到相对应的元素 从而求得答案 本题属于容易题 随堂练习 1 广东地区 2008 年 01 月份期末试题汇编 设全集 U R A x N 1 x 10 B x R x 2 x 6 0 则下图中阴影表示的集合为 A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 2 已知集合 A y y2 a2 a 1 y a a2 1 0 B y y2 6y 8 0 若 4 A B 则实数 a 的取值范围为 分析分析 解决数学问题的思维过程 一般总是从正面入手 即从已知条件出发 经过一系 列的推理和运算 最后得到所要求的结论 但有时会遇到从正面不易入手的情况 这时可从 反面去考虑 从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想 本题若直接求解 情 形较复杂 也不容易得到正确结果 若我们先考虑其反面 再求其补集 就比较容易得到正 确的解答 解解 由题知可解得 A y y a2 1 或 y a B y 2 y 4 我们不妨先考虑当 A B 时 a 的范围 如图 由 得 41 2 2 a a 33 2 aa a 或 或 3 a23 a 即 A B 时 a 的范围为或 而 A B 时 a 的范围显然是其补集 从3 a23 a 而所求范围为 332 aaa或 评注评注 一般地 我们在解时 若正面情形较为复杂 我们就可以先考虑其反面 再利用其补集 求得其解 这就是 补集思想 例 4 已知全集 A 1 如果 则这样的实数 32 1 3 2 Sxxx 21x 0 ACS 是否存在 若存在 求出 若不存在 说明理由xx 解 0 ACS 即 0 解得AS 00且 32 2xxx 123 0 1 2xxx 当时 为A中元素 0 x112 x 当时 1 xSx 312 当时 2x 213xS 这样的实数x存在 是或 1x 2x 另法 0 ACS AS 00且3A 0 且 32 2xxx 213x 或 1x 2x 2 4 a 2 1 a 5 点评 该题考察了集合间的关系以及集合的性质 分类讨论的过程中 当时 0 x 不能满足集合中元素的互异性 此题的关键是理解符号是两层含义 112 x 0 ACS AS 00且 变式题 已知集合 2 2 Am md mdBm mq mq 0m 其中AB 且 求的值 q 解 由可知 BA 1 或 2 2 2mqdm mqdm mqdm mqdm 2 2 解 1 得 1 q 解 2 得 2 1 1 qq或 又因为当时 与题意不符 1 q 2 mqmqm 所以 2 1 q 题型 3 集合的运算 例 5 2008 年河南省上蔡一中高三月考 已知函数 1 2 x f x x 的定义域集合是 A 函数 22 lg 21 g xxaxaa 的定义域集合是 B 1 求集合 A B 2 若 AB B 求实数a的取值范围 U 解解 1 A 12x xx 或 B 1x xaxa 或 2 由 AB B 得 A B 因此 1 12 a a U 所以11a 所以实数a的取值范围是 1 1 例 6 2009 宁夏海南卷理 已知集合 1 3 5 7 9 0 3 6 9 12AB 则 N AC B I A 1 5 7 B 3 5 7 C 1 3 9 D 1 2 3 答案 A 6 解析 易有 N AC B 1 5 7 选 A 点评 该题考察了集合的交 补运算 题型 4 图解法解集合问题 例 7 2009 年广西北海九中训练 已知集合 M 1 49 22 yx x N 1 23 yx y 则 NM A B 0 2 0 3 C 3 3 D 2 3 答案答案 C 例 8 湖南省长郡中学 2008 届高三第六次月考试卷数学 理 试卷 设全集 函数的定义域为 A 集合R 1 1 1lg aaxxf 若恰好有 2 个元素 求a的取值集合 1cos xxB BAC 解 axax 1 1 01 1 时 1 a01 a2 axax或 2 aaA kxx2 1cos 2zkkx 2 zkkxxB 当时 在此区间上恰有 2 个偶数 1 a 2 aaAC 02 224 20 1 a a a a 例 9 向 50 名学生调查对A B两事件的态度 有如下结果 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 赞成 A的人数是全体的五分 之三 其余的不赞成 赞成B的比赞成A的多 3 人 其余的不赞成 另外 对A B都不赞 成的学生数比对A B都赞成的学生数的三分之一多 1 人 问对A B都赞成的学生和都不赞 成的学生各有多少人 解 赞成A的人数为 50 30 赞成B的人数为 5 3 30 3 33 如上图 记 50 名学生组成的集合为U 赞成事 件A的学生全体为集合A 赞成事件B的学生全体为集合 B X 3 1 33 X X 30 X U B A 7 设对事件A B都赞成的学生人数为x 则对A B都不赞成的学生人数为 1 赞成A而 3 x 不赞成B的人数为 30 x 赞成B而不赞成A的人数为 33 x 依题意 30 x 33 x x 1 50 解得x 21 所以对A B都赞成的同学有 21 人 都不赞成的有 8 人 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 x 点评 在集合问题中 有一些常用的方法如数轴法取交并集 韦恩图法等 需要考生切 实掌握 本题主要强化学生的这种能力 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件 想到 用韦恩图直观地表示出来 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂 一时理不清头绪 不好找线索 画出韦恩图 形象地表示出各数量关系间的联系 例 11 1999 上海 17 设集合A x x a 2 B x 1 若AB 求实 2 12 x x 数a的取值范围 解 由 x a 2 得a 2 x a 2 所以A x a 2 x a 2 由 1 得 0 即 2 x 3 所以B x 2 x 3 2 12 x x 2 3 x x 因为AB 所以 于是 0 a 1 32 22 a a 点评 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目 主要考查集合的 概念及运算 解绝对值不等式 分式不等式和不等式组的基本方法 在解题过程中要注意利 用不等式的解集在数轴上的表示方法 体现了数形结合的思想方法 例 12 已知 an 是等差数列 d为公差且不为 0 a1和d均为实数 它的前n项和记作 Sn 设集合A an n N N B x y x2 y2 1 x y R R n Sn 4 1 试问下列结论是否正确 如果正确 请给予证明 如果不正确 请举例说明 1 若以集合A中的元素作为点的坐标 则这些点都在同一条直线上 2 A B至多有一个元素 解 1 正确 在等差数列 an 中 Sn 则 a1 an 这表明点 an 2 1n aan 2 1 n Sn 的坐标适合方程y x a1 于是点 an 均在直线y x a1上 n Sn 2 1 n Sn 2 1 2 1 2 正确 设 x y A B 则 x y 中的坐标x y应是方程组的解 由 1 4 1 2 1 2 1 22 1 yx axy 方程组消去y得 2a1x a12 4 当a1 0 时 方程 无解 此时A B 当a1 0 时 方程 只有一个解x 此时 方程组也只有一解 1 2 1 2 4 a a 1 2 1 1 2 1 4 4 2 4 a a y a a y 8 故上述方程组至多有一解 A B至多有一个元素 点评 该题融合了集合 数列 直线方程的知识 属于知识交汇题 变式题 解答下述问题 设集合 求实数 m 0 0422 2 xxBmxxxA BA若 的取值范围 分析 关键是准确理解 的具体意义 首先要从数学意义上解释 BA BA 的意义 然后才能提出解决问题的具体方法 解 042 2 3 202 0 32 4 0422 0422 21 21 2 2 mxx mxx m mxxxmM mxx 则 两根均为非负实数的方程关于设 至少有一个负实数根方程命题 2 3 0 2 3 2 mmmUmmM设全集 的取值范围是 UM m m 2 m 2 132132 0321 mmm mx方程的小根命题解法二 解法三 设这是开口向上的抛物线 则二次 42 2 xxxf01 x其对称轴 函数性质知命题又等价于 20 0 mf 注意 在解法三中 f x 的对称轴的位置起了关键作用 否则解答没有这么简单 题型 6 课标创新题 例 13 七名学生排成一排 甲不站在最左端和最右端的两个位置之一 乙 丙都不能站 在正中间的位置 则有多少不同的排法 解 设集合A 甲站在最左端的位置 B 甲站在最右端的位置 C 乙站在正中间的位置 D 丙站在正中间的位置 则集合A B C D的关系如图所示 不同的排法有种 264044 5 5 6 6 7 7 AAA 点评 这是一道排列应用问题 如果直接分类 分步解答需要一定的基本功 容易错 若考虑运用集合思想解答 则比较容易理解 上面的例子说明了集合思想的一些应用 在今 后的学习中应注意总结集合应用的经验 9 五 五 思维总结思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言 并用集合语言表达数学问 题 运用集合观点去研究和解决数学问题 1 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素 熟练运用