正方形中的垂直线段专题(教师版)【上体馆中心】

1 如图 在正方形ABCD中 BE CF 则线段AE与线段 BF的关系是什么 答 AE BF AE BF 2 如图 在正方形ABCD中 AE BF 则AE BF吗 答 AE BF 方法 证明三角形 ABE 全等与三角形 BCF 探究活动 1 在正方形 ABCD 内有一点 P 过点 P 作直线 EF GH 点 E F 分别在正方形 的对边 AD BC 上 点 G H 分别在正方形的对边 AB CD 上 如图所示 那么 EF 与 GH 相等吗 答 相等 即 GH EF 如下图构造全等 当然 若已知 GH EF 则 EF GH 不一定成立 举个反例试试 如下 运用 1 如图 将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠 使点 D 落在 BC 的中 点 E 处 折痕为 MN 点 N 在 CD 边上 请同学们画出折痕 则折痕 MN 的长 是 线段 CN 的长是 点评 1 如图所示的标图信息 解决本例的关键是作出对称轴 构造互相垂直 的结构 2 画出折痕是翻折问题中的重要一步 学生务必强化这方面的画图能 力 联結对称点的线段被对称轴垂直且平分 3 运用勾股定理列方程是常用解 法 用相似三角形或三角比列比例式求解也是可行方法 运用 2 如图 将边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 折叠 使点 A 落在 DC 边上的 E 点 压平得折痕为 FG 若 FG 的长为 25cm 则线段 CE 的长是 探究活动 2 如图 现有一张边长为 4 的正方形纸 ABCD 点 P 为正方形 AD 边上的一个动 点 不与 A D 重合 将正方形纸片折 叠 使得点 B 落在 P 处 点 C 落 在 G 处 PG 交 DC 边于点 H 折痕为 EF 连接 BP 问 图中始终相等的线段 有哪些 问 当点 P 在 AD 边的中点时 梯形 EBCF 的面积是多少 注 MC 和 NF 是两种不同的添线方法 点评 本例在梯形面积求解时 借助正方形内垂直结构寻找辅助线的思路 垂 直结构 将是一个很好的线索作用 追问 当点 P 在 AD 边上运动时 设 AP x 设梯形 EBCF 的面积为 y 求 y 与 x 的函数解析式 探究活动 3 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 在边 AB 上 点 E 与点 A B 不重合 过点 E 作 FG DE EG 与边 BC 相交于点 F 与边 DA 的延长线相交于 点 G 由几 个不同的位置 分别观察 BF AG AE 的长 从中你能发现 BF AG AE 的 数量之间具有怎样的关系 并证明你的结论 方法图解方法图解建立在垂直结构中的不同辅助线方向 本帖主题 获得正方形内部两条互相垂直的线段感性认识 激发学生思维直奔 主题 本帖所提问题 源于教材 利用练习册正方形这一节的一道练习题 作 为引例 引出主题 正方形内部两条互相垂直的线段 而正方形内部互相垂直 的线段不止引例中的这一种情况 但这是比较简单和运用较为广泛的一种 故 以此作为探究的开始 主要基于以下考虑 由浅入深 保持探究问题研究的 连贯性 使学生更能接受问题探究由浅入深的道理 为探究活动 3 做好必要 的衔接过渡 研究正方形 其实是做一项 承上启下 的工作 承上 指的是回 归以前 是研究全等三角形 等腰三角形等知识 启下 指的是放眼未来 是图形运动 相似三角形 甚至是压轴题的图形背景 探究活动 1 让学生获得 一般性的结论 同时感受证明的迁移 并感受引例与探究活动 1 在本质上的区 别与联系 体会从特殊到一般的研究过程 在探究活动 1 之后的两道运用 是 对结论的直接运用 力图做到以下 4 点 能准确找出对称轴 这在中考的填 空压轴题以及压轴题中作用重大 能合理运用探究结论解决问题 能运用图 形运动思想找出运动不变性的几何结构 并会合理构造 直角三角形 创建勾 股定理 体会例题的层次性 从画图操作直接运用 识别图形间接运用 观察图形 引出再探究内容 探究活动 2 实际是练习题 是探究活动 1 的应用 之所以独立为探究活动 2 是因为它的思维量比较大 而且从特殊到一般的探 究过程较为独立 能展现探究活动的一般性的研究方法 同时感受模仿学习的 重要价值 探究活动 3 是本帖主题的升华过程 是对探究结论的拓展 同时是 各种辅助线方案的综合汇总 合理讨论提升思维顿悟 回归本课主题 从难度