2018年浙江高考启发--导数题型归纳

2018 年浙江高考启发年浙江高考启发 导数题型归纳导数题型归纳 请同学们高度重视 请同学们高度重视 首先 首先 关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法 的主要解法 1 分离变量 分离变量 2 变更主元 变更主元 3 根分布 根分布 4 判别式法判别式法 5 二次函数区间最值求法 二次函数区间最值求法 1 对称轴 重视单调区间 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系与定义域的关系 2 端点处和顶点是最值所在 端点处和顶点是最值所在 其次 其次 分析每种题型的本质 你会发现大部分都在解决分析每种题型的本质 你会发现大部分都在解决 不等式恒成立问不等式恒成立问 题题 以及以及 充分应用数形结合思想充分应用数形结合思想 创建不等关系求出取值范围 创建不等关系求出取值范围 最后 同学们在看例题时 请注意寻找关键的等价变形和回归的基础最后 同学们在看例题时 请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一 基础题型 函数的单调区间 极值 最值 不等式恒成立 一 基础题型 函数的单调区间 极值 最值 不等式恒成立 1 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令第一步 令得到两个根 得到两个根 0 xf 第二步 画两图或列表 第二步 画两图或列表 第三步 由图表可知 第三步 由图表可知 其中其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题 2 常见处理方法有三种 常见处理方法有三种 第一种 分离变量求最值第一种 分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 0 0 0 第二种 变更主元第二种 变更主元 即关于某字母的一次函数 即关于某字母的一次函数 已知谁的范围就把谁作为主元已知谁的范围就把谁作为主元 请同学们参看 请同学们参看 2010 省统测省统测 2 例例 1 设函数 设函数在区间在区间 D 上的导数为上的导数为 在区间在区间 D 上的导数为上的导数为 若在区间 若在区间 D yf x fx fx g x 上 上 恒成立 则称函数恒成立 则称函数在区间在区间 D 上为上为 凸函数凸函数 已知实数 已知实数 m 是常数 是常数 0g x yf x 432 3 1262 xmxx f x 1 若 若在区间在区间上为上为 凸函数凸函数 求 求 m 的取值范围 的取值范围 yf x 0 3 2 若对满足 若对满足的任何一个实数的任何一个实数 函数 函数在区间在区间上都为上都为 凸函数凸函数 求 求的最的最2m m f x a bba 大值大值 解解 由函数由函数 得得 432 3 1262 xmxx f x 32 3 32 xmx fxx 2 3g xxmx 1 在区间在区间上为上为 凸函数凸函数 yf x 0 3 则则 在区间在区间 0 3 上恒成立上恒成立 2 30g xxmx 解法一 从解法一 从二次函数的区间最值二次函数的区间最值入手 等价于入手 等价于 max 0gx 0 030 2 3 09330 g m gm 解法二 解法二 分离变量法 分离变量法 当当时时 恒成立恒成立 0 x 2 330g xxmx 当当时时 恒成立恒成立03x 2 30g xxmx 等价于等价于的最大值 的最大值 恒成立 恒成立 2 33x mx xx 03x 而而 是增函数 则 是增函数 则 3 h xx x 03x max 3 2hxh 2m 2 当当时时在区间在区间上都为上都为 凸函数凸函数 2m f x a b 则等价于当则等价于当时时 恒成立恒成立 2m 2 30g xxmx 变更主元法变更主元法 再等价于再等价于在在恒成立恒成立 视为关于 视为关于 m 的一次函数最值问题 的一次函数最值问题 2 30F mmxx 2m 2 2 2 0230 11 2 0 230 Fxx x F xx 2ba 请同学们参看请同学们参看 2010 第三次周考 第三次周考 例例 2 设函数 设函数 10 32 3 1 223 Rbabxaaxxxf 求函数 求函数 f x 的单调区间和极值 的单调区间和极值 若对任意的 若对任意的不等式不等式恒成立 求恒成立 求 a 的取值范围的取值范围 2 1 aax fxa 二次函数区间最值的例子 二次函数区间最值的例子 解 解 22 433fxxaxaxaxa 01a 令令得得的单调递增区间为 的单调递增区间为 a 3a 0 x f xf 令令得得的单调递减区间为 的单调递减区间为 a 和 和 3a 0 x f xf 当当 x a 时 时 极小值极小值 当当 x 3a 时 时 极大值极大值 b xf 4 3 3 ba xf 由 由 a 得 对任意的 得 对任意的恒成立恒成立 x f 2 1 aax 22 43axaxaa 则等价于则等价于这个二次函数这个二次函数 的对称轴的对称轴 g x max min gxa gxa 22 43g xxaxa 2xa 2 2 3a a f x a 3a 放缩法 放缩法 01 a 12aaaa 即定义域在对称轴的右边 即定义域在对称轴的右边 这个二次函数的最值问题 单调增函数的最值问题 这个二次函数的最值问题 单调增函数的最值问题 g x 上是增函数上是增函数 9 分 分 22 43 1 2 g xxaxaaa max min 2 21 1 44 g xg aa g xg aa 于是 对任意于是 对任意 不等式 不等式 恒成立 等价于恒成立 等价于 2 1 aax 2 44 4 1 1 215 g aaa a g aaa 又又 10 a 1 5 4 a 点评 重视二次函数区间最值求法 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系点评 重视二次函数区间最值求法 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系 第三种 构造函数求最值第三种 构造函数求最值 题型特征 题型特征 恒成立恒成立恒成立 从而转化为恒成立 从而转化为第一 二种题第一 二种题 xgxf 0 xgxfxh 型型 例例 3 已知函数 已知函数图象上一点图象上一点处的切线斜率为处的切线斜率为 32 f xxax 1 Pb3 32 6 1 3 0 2 t g xxxtxt 求 求的值 的值 a b 当 当时 求时 求的值域 的值域 1 4 x f x 当 当时 不等式时 不等式恒成立 求实数恒成立 求实数 t 的取值范围 的取值范围 1 4 x f xg x 解 解 解得解得 2 32fxxax 1 3 1 f ba 3 2 a b 由 由 知 知 在在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递减 在上单调递减上单调递减 f x 1 0 0 2 2 4 又又 1 4 0 0 2 4 4 16ffff 的值域是的值域是 f x 4 16 令 令 2 1 3 1 4 2 t h xf xg xxtxx 思路思路 1 要使 要使恒成立 只需恒成立 只需 即 即分离变量分离变量 f xg x 0h x 2 2 26t xxx 思路思路 2 二次函数区间最值 二次函数区间最值 二 题型一 二 题型一 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法解法 1 转化为转化为在给定区间上恒成立 在给定区间上恒成立 回归基础题型回归基础题型0 0 xfxf或 解法解法 2 利用子区间 即子集思想 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增或减区间 然后让 首先求出函数的单调增或减区间 然后让 所给区间是求的增或减区间的子集 所给区间是求的增或减区间的子集 做题时一定要看清楚做题时一定要看清楚 在 在 m n 上是减函数 上是减函数 与与 函数的单调减区间是 函数的单调减区间是 a b 要弄清楚 要弄清楚 两句话的区别 前者是后者的子集两句话的区别 前者是后者的子集 2xa 1 2aa 例例 4 已知 已知 函数 函数 Ra xax a xxf 14 2 1 12 1 23 如果函数 如果函数是偶函数 求是偶函数 求的极大值和极小值 的极大值和极小值 xfxg xf 如果函数 如果函数是是上的单调函数 求上的单调函数 求的取值范围 的取值范围 xf a 解 解 14 1 4 1 2 axaxxf 是偶函数 是偶函数 此时此时 fx 1 axxxf3 12 1 3 3 4 1 2 xxf 令令 解得 解得 0 x f32 x 列表如下 列表如下 x 2 3 23 2 2 3323 2 3 x f 0 0 xf递增递增极大值极大值递减递减极小值极小值递增递增 可知 可知 的极大值为的极大值为 的极小值为的极小值为 f x34 32 f f x34 32 f 函数函数是是上的单调函数 上的单调函数 xf 在给定区间在给定区间 R 上恒成立上恒成立判别式法判别式法 2 1 1 41 0 4 fxxaxa 则则 解得 解得 22 1 1 4 41 20 4 aaaa 02a 综上 综上 的取值范围是的取值范围是 QQ 群 557619246 a 20 aa 例例 5 已知函数 已知函数 32 11 2 1 0 32 f xxa xa x a I 求 求的单调区间 的单调区间 f x II 若 若在在 0 1 上单调递增 上单调递增 求求 a 的取值范围 的取值范围 子集思想子集思想 f x I 2 2 1 1 1 fxxa xaxxa 1 2 0 1 0 afxx 当时恒成立 当且仅当当且仅当时取时取 号 号 单调递增 单调递增 1x f x 在 2 1212 0 0 1 1 afxxxaxx 当时由得且 单调增区间 单调增区间 1 1 a 单调增区间 单调增区间 1 1 a II 当 当 则则是上述增区间的子集 是上述增区间的子集 0 1 f x 在上单调递增 0 1 1 时 时 单调递增单调递增 符合题意符合题意0a f x 在 2 0 11 a 10a 1a 综上 综上 a 的取值范围是的取值范围是 0 1 三 题型二 根的个数问题三 题型二 根的个数问题 题题 1 函数函数 f x 与与 g x 或与 或与 x 轴 的交点轴 的交点 即方程根的个数问题即方程根的个数问题 解题步骤解题步骤 第一步 画出两个图像即第一步 画出两个图像即 穿线图穿线图 即解导数不等式 和 即解导数不等式 和 趋势图趋势图 即三次函数的大致趋势即三次函数的大致趋势 是先增后是先增后 减再增减再增 还是还是 先减后增再减先减后增再减 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 主要看极大值和极小值与主要看极大值和极小值与 0 的关的关 系 系 QQ 群 557619246 第三步 解不等式 组 即可 第三步 解不等式 组 即可 例例 6 已知函数 已知函数 且 且在区间在区间上为增函数 上为增函数 23 2 1 3 1 x k xxf kxxg 3 1 xf 2 1 求实数求实数的取值范围 的取值范围 k 2 若函数若函数与与的图象有三个不同的交点 求实数的图象有三个不同的交点 求实数的取值范围 的取值范围 xf xgk 解 解 1 1 由题意 由题意 在区间在区间上为增函数 上为增函数 xkxxf 1 2 xf 2 在区间在区间上恒成立上恒成立 分离变量法 分离变量法 0 1 2 xkxxf 2 即即恒成立 又恒成立 又 故 故 的取值范围为的取值范围为 xk 12 x21 k1 kk1 k 2 2 设 设 3 1 2 1 3 2 3 kxx kx xgxfxh 1 1 2 xkxkxkxxh 令令得得或或由 由 1 1 知 知 0 x hkx 1 x1 k 当当时 时 在在 R R 上递增 显然不合题意上递增 显然不合题意 1 k0 1 2 xxh xh 当当时 时 随随的变化情况如下表 的变化情况如下表 1 k xh x h x x k k 1 k1 1 x h 0 0 xh 极大值极大值 3 1 26 23 kk 极小值极小值 2 1 k 由于由于 欲使 欲使与与的图象有三个不同的交点 即方程的图象有三个不同的交点 即方程有三个不同的实根 有三个不同的实根 0 2 1 k xf xg0 xh 故需故需 即 即 解得 解得0 3 1 26 23 kk 0 22 1 2 kkk 022 1 2 kk k 31 k 综上 所求综上 所求的取值范围为的取值范围为k31 k a 1 1 f x 根的个数知道 部分根可求或已知 根的个数知道 部分根可求或已知 例例 7 7 已知函数 已知函数 32 1 2 2 f xaxxxc 1 1 若 若1x 是是 f x的极值点且的极值点且 f x的图像过原点 求的图像过原点 求 f x的极值 的极值 2 2 若 若 2 1 2 g xbxxd 在 在 1 1 的条件下 是否存在实数 的条件下 是否存在实数b 使得函数 使得函数 g x的图像与函数的图像与函数 f x的图像恒有含的图像恒有含1x 的三个不同交点 若存在 求出实数的三个不同交点 若存在 求出实数b的取值范围 否则说明理由 的取值范围 否则说明理由 高高 1 1 考考 1 1 资资 1 1 源源 2 2 网网 解 解 1 f x的图像过原点 则的图像过原点 则 0 00fc 2 32fxaxx 又又 1x 是是 f x的极值点 则的极值点 则 1 31 201faa 2 32 32 1 0fxxxxx 3 1 2 fxf 222 37 fxf 2 设 设函数函数 g x的图像与函数的图像与函数 f x的图像恒存在含的图像恒存在含1x 的三个不的三个不 同交点 同交点 等价于等价于有含有含的三个根 即 的三个根 即 f xg x 1x 1 1 1 1 2 fgdb 整理得 整理得 Q Q 群 557619246 322 111 2 1 222 xxxbxxb 即 即 恒有含恒有含的三个不等实根的三个不等实根 32 11 1 1 0 22 xbxxb 1x 计算难点来了 计算难点来了 有含有含的根 的根 32 11 1 1 0 22 h xxbxxb 1x 则则必可分解为必可分解为 故用 故用添项配凑法因式分解 添项配凑法因式分解 h x 1 0 x 3 x 22 xx 2 11 1 1 0 22 bxxb 22 11 1 1 1 0 22 xxbxxb 22 1 1 1 2 1 0 2 xxbxxb 十字相乘法分解 十字相乘法分解 2 1 1 1 1 10 2 xxbxbx 2 11 1 1 1 0 22 xxbxb 2 3 1 f x 恒有含恒有含的三个不等实根的三个不等实根 32 11 1 1 0 22 xbxxb 1x 等价于等价于有两个不等于有两个不等于 1 1 的不等实根 的不等实根 2 11 1 1 0 22 xbxb 2 2 11 1 4 1 0 42 11 1 1 1 0 22 bb bb 1 1 3 3 b 题题 2 切线的条数问题 切线的条数问题 以切点以切点为未知数的方程的根的个数为未知数的方程的根的个数 0 x 例例 7 已知函数 已知函数在点在点处取得极小值 处取得极小值 4 使其导数 使其导数的的的取值范围的取值范围 32 f xaxbxcx 0 x 0fx x 为为 求 求 1 的解析式 的解析式 2 若过点 若过点可作曲线可作曲线的三条切线 求实数的三条切线 求实数的的 1 3 f x 1 Pm yf x m 取值范围 取值范围 1 由题意得 由题意得 2 323 1 3 0 fxaxbxca xxa 在在上上 在 在上上 在 在上上 1 0fx 1 3 0fx 3 0fx 因此因此在在处取得极小值处取得极小值 f x 0 1x 4 4abc 1 320fabc 3 2760fabc 由由 联立得 联立得 1 6 9 a b c 32 69f xxxx 2 设切点 设切点 Q t f t yf tftxt 232 3129 69 yttxtttt 222 3129 3129 69 ttxtttt tt 过过 22 3129 26 ttxttt 1 m 232 3129 1 26mtttt 32 221290g ttttm 令令 22 66126 2 0g ttttt 求得 求得 方程 方程有三个根 有三个根 1 2tt 0g t 需 需 1 0 2 0 g g 23 1290 16 122490 m m 16 11 m m 故 故 因此所求实数 因此所求实数的范围为 的范围为 1116m m 11 16 题题 3 已知 已知在给定区间上的极值点个数在给定区间上的极值点个数则有则有导函数导函数 0 的根的个数的根的个数 f x 解法 根分布或判别式法解法 根分布或判别式法 例例 8 解 函数的定义域为解 函数的定义域为 当 当 m 4 时 时 f x x3 x2 10 x R 1 1 3 3 7 7 2 2 x2 7x 10 令 令 解得解得或或 fx 0fx 5 x 2x 令令 解得解得 0fx 25x 可知函数可知函数 f x 的单调递增区间为的单调递增区间为和 和 5 单调递减区间为 单调递减区间为 2 2 5 x2 m 3 x m 6 fx 要使函数要使函数 y f x 在 在 1 有两个极值点 有两个极值点 x2 m 3 fx x m 6 0 的根在 的根在 1 根分布问题 根分布问题 则则 解得解得 m 3 2 3 4 6 0 1 1 3 60 3 1 2 mm fmm m 例例 9 已知函数已知函数 1 1 求 求的单调区间 的单调区间 2 2 令 令 23 2 1 3 xx a xf 0 aRa xf x4 f x x R 有且仅有 有且仅有 3 个极值点 求个极值点 求 a 的取值范围 的取值范围 g x 1 4 解解 1 1 2 axxxaxxf 当当时 令时 令解得解得 令 令解得解得 0 a0 xf0 1 x a x 0 xf0 1 x a 所以所以的递增区间为的递增区间为 递减区间为 递减区间为 xf 0 1 a 0 1 a 当当时 同理可得时 同理可得的递增区间为的递增区间为 递减区间为 递减区间为 0 a xf 1 0 a 1 0 a 2 有且仅有有且仅有 3 个极值点个极值点 QQ 群 557619246 432 11 3 42 g a xxxx 0 有有 3 个根 则个根 则或或 223 1 axxxxxxagx 0 x 2 10 xax 2a 方程方程有两个非零实根 所以有两个非零实根 所以 2 10 xax 2 40 a 或或2a 2a 而当而当或或时可证函数时可证函数有且仅有有且仅有 3 个极值点个极值点2a 2a yg x 1 其它例题 其它例题 1 1 最值问题与主元变更法的例子 最值问题与主元变更法的例子 已知定义在已知定义在上的函数上的函数R 在区间在区间上的最大值是上的最大值是 5 5 最小值是 最小值是 11 11 32 2f xaxaxb 0 a 2 1 求函数 求函数的解析式 的解析式 f x 若 若时 时 恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 1 1 t0 txxf x 解 解 32 2 2 34 34 f xaxaxbfxaxaxaxx 令令 0 0 得得 fx 12 4 0 2 1 3 xx 因为因为 所以可得下表 所以可得下表 0 a x 2 0 0 0 0 1 fx 0 0 f x 极大极大 因此因此必为最大值必为最大值 因此因此 0 f50 f5 b 2 165 1 5 1 2 fafaff 即即 11516 2 af1 a 5 2 23 xxxf 等价于等价于 xxxf43 2 0 txxf 043 2 txxx 令令 则问题就是 则问题就是在在上恒成立时 求实数上恒成立时 求实数的取值范围 的取值范围 xxxttg43 2 0 g t 1 1 tx 为此只需为此只需 即 即 0 1 0 1 g g 0 053 2 2 xx xx 解得解得 所以所求实数 所以所求实数的取值范围是的取值范围是 0 0 1 1 10 xx 2 2 根分布与线性规划例子 根分布与线性规划例子 1 1 已知函数已知函数 32 2 3 f xxaxbxc 若函数若函数在在时有极值且在函数图象上的点时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线处的切线与直线平行平行 求求 f x1 x 0 1 30 xy 的解析式 的解析式 xf 当当在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值时取得极小值时 设点设点所在平面所在平面 f x 0 1 x 1 2 x 2 1 M ba 区域为区域为 S 经过原点的直线经过原点的直线 L 将将 S 分为面积比为分为面积比为 1 3 的两部分的两部分 求直线求直线 L 的方程的方程 解解 由由 函数函数在在时有极值时有极值 2 22fxxaxb f x1 x 220ab 0 1f 1c 又又 在在处的切线与直线处的切线与直线平行平行 f x 0 1 30 xy 故故 0 3fb 1 2 a 7 分分 32 21 31 32 f xxxx 解法一解法一 由由 及及在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值取得极小值 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 即即 令令 则则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点故点所在平面区域所在平面区域 S 为如图为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时同时 DE 为为 ABC 的中位线的中位线 1 3 DECABED SS 四边形 所求一条直线所求一条直线 L 的方程为的方程为 0 x 另一种情况设不垂直于另一种情况设不垂直于 x 轴的直线轴的直线 L 也将也将 S 分为面积比为分为面积比为 1 3 的两部分的两部分 设直线设直线 L 方程为方程为 它它ykx 与与 AC BC 分别交于分别交于 F G 则则 0k 1S 四边形D EG F 由由 得点得点 F 的横坐标为的横坐标为 220 ykx yx 2 21 F x k 由由 得点得点 G 的横坐标为的横坐标为 460 ykx yx 6 41 G x k 即即 OGEOFD SSS 四边形D EG F 6131 1 222 2 1 4121kk 2 16250kk 解得解得 或或 舍去舍去 故这时直线方程为故这时直线方程为 1 2 k 5 8 k 1 2 yx 综上综上 所求直线方程为所求直线方程为 或或 12 分分0 x 1 2 yx 解法二解法二 由由 及及在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值取得极小值 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 即即 令令 则则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点故点所在平面区域所在平面区域 S 为如图为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时同时 DE 为为 ABC 的中位线的中位线 所求一条直线所求一条直线 L 的方程为的方程为 1 3 DECABED SS 四边形 0 x 另一种情况由于直线另一种情况由于直线 BO 方程为方程为 设直线设直线 BO 与与 AC 交于交于 H 1 2 yx 由由 得直线得直线 L 与与 AC 交点为交点为 1 2 220 yx yx 1 1 2 H 2 ABC S 111 2 222 DEC S 11 22 22 11 1 22 HABOAOH SSS AB 所求直线方程为所求直线方程为 或或 QQ 群 557619246 0 x 1 2 yx 3 根的个数问题 根的个数问题 已知函数已知函数的图象如图所示 的图象如图所示 32 f x axbx c3a2b xd a0 求 求的值 的值 cd 若函数 若函数的图象在点的图象在点处的切线方程为处的切线方程为 f x 2 f 2 3xy110 求函数求函数 f x 的解析式 的解析式 若 若方程方程有三个不同的根 求实数有三个不同的根 求实数 a 的取值范围 的取值范围 0 x5 f x 8a 解 由题知 解 由题知 2 f x 3ax2bx c 3a 2b 由图可知 由图可知函数函数 f x 的图像过点的图像过点 0 3 且 且 0 1 f 得得 3 32c320 d abab 0 3 c d 依题意 依题意 3 且且 f 2 5 2 f 解得解得 a 1 b 6 124323 846435 abab abab 所以所以 f x x3 6x2 9x 3 依题意 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 3ax2 2bx 3a 2b 由由 0b 9a x f 5 f 若方程若方程 f x 8a 有三个不同的根 当且仅当有三个不同的根 当且仅当 满足满足 f 5 8a f 1 由由 得得 25a 3 8a 7a 3 a