湖北省荆州市沙市第五中学高中数学-2.1.2数列的通项公式与递推公式导学案(含解析)新人教版必修5

数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 第二课时第二课时 数列的通项公式与递推公式数列的通项公式与递推公式 目标定位 1 了解递推公式是给出数列的一种方法 2 理解递推公式的含义 能根据递推公式写出数列的前几项 重点 3 掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法 难点 数列的递推关系 提出问题 某剧场有 30 排座位 第一排有 20 个座位 从第二排起 后一 排都比前一排多 2 个座位 如图 问题 1 写出前五排座位数 提示 20 22 24 26 28 问题 2 第n排与第n 1 排座位数有何关系 提示 第n 1 排比第n排多 2 个座位 问题 3 第n排座位数an与第n 1 排座位数an 1能用等式表示吗 提示 能 an 1 an 2 导入新知 如果已知数列 an 的第一项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间 的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 化解疑难 1 数列的递推公式是给出数列的另一重要形式 由递推公式可以依次求出数列的各 项 2 有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化 如数列 1 3 5 2n 1 的 一个通项公式为an 2n 1 n N N 用递推公式表示为 a1 1 an an 1 2 n 2 n N N 数列的表示方法 例 1 根据数列 an 的通项公式 把下列数列用图象表示出来 n 5 且n N N 1 an 1 n 2 2 an n 1 n 解 1 数列 an 的前 5 项依次是 1 3 1 3 1 图象如下图 所示 2 数列 an 的前 5 项依次是 2 图象如下图 所示 3 2 4 3 5 4 6 5 类题通法 通项公式法 列表法与图象法表示数列优点 1 用通项公式表示数列 简洁明了 便于计算 公式法是常用的数学方法 2 列表法的优点是不经过计算 就可以直接看出项数与项的对应关系 3 图象能直观形象地表示出随着序号的变化 相应项变化的趋势 活学活用 1 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件 沿途 包括A B 共有 8 站 从A地出发时 装上发往后面 7 站的邮件各一个 到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件 同时装上该 站发往后面各站的邮件各一个 试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成 的数列 解 将A B之间所有站按序号 1 2 3 4 5 6 7 8 编号 通过计算 各站装卸完毕后剩 余邮件个数依次构成数列 7 12 15 16 15 12 7 0 如下表 站号 n 12345678 剩余邮件数 an 7121516151270 由递推公式求数列中的项 例 2 已知数列 an 的第一项a1 1 以后的各项由公式an 1 给出 试写出 2an an 2 这个数列的前 5 项 解 a1 1 an 1 2an an 2 a2 2a1 a1 2 2 3 a3 2a2 a2 2 2 2 3 2 3 2 1 2 a4 2a3 a3 2 2 1 2 1 2 2 2 5 a5 2a4 a4 2 2 2 5 2 5 2 1 3 故该数列的前 5 项为 1 2 3 1 2 2 5 1 3 类题通法 根据递推公式写出数列的前几项 要弄清楚公式中各部分的关系 依次代入计算即 可 另外 解答这类问题时还需注意 若知道的是首项 通常将所给公式整理成用前面的 项表示后面的项的形式 若知道的是末项 通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的 项的形式 活学活用 2 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 以后各项由an an 1 an 2 n 3 给出 1 写出此数列的前 5 项 2 通过公式bn 构造一个新的数列 bn 写出数列 bn 的前 4 项 an an 1 解 1 an an 1 an 2 n 3 且a1 1 a2 2 a3 a2 a1 3 a4 a3 a2 3 2 5 a5 a4 a3 5 3 8 故数列 an 的前 5 项依次为 a1 1 a2 2 a3 3 a4 5 a5 8 2 bn 且a1 1 a2 2 a3 3 a4 5 a5 8 an an 1 b1 b2 b3 a1 a2 1 2 a2 a3 2 3 a3 a4 3 5 b4 a4 a5 5 8 故b1 b2 b3 b4 1 2 2 3 3 5 5 8 由递推公式归纳数列的通项公式 例 3 已知数列 an 的第 1 项是 2 以后的各项由公式an n 2 3 4 an 1 1 an 1 给出 写出这个数列的前 5 项 并归纳出数列 an 的通项公式 解 可依次代入项数进行求值 a1 2 a2 2 a3 2 1 2 2 1 2 2 3 a4 2 3 1 2 3 2 5 a5 2 5 1 2 5 2 7 即数列 an 的前 5 项为 2 2 2 3 2 5 2 7 也可写为 2 1 2 1 2 3 2 5 2 7 即分子都是 2 分母依次加 2 且都是奇数 所以an n N N 2 2n 3 类题通法 根据递推公式写出数列的前几项 然后由前几项分析其特点 规律 归纳总结出数列 的一个通项公式 活学活用 3 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2 写出该数列前 5 项 并归 1 n n 1 纳出 它的一个通项公式 解 a1 1 a2 a1 1 1 2 1 1 2 3 2 a3 a2 1 3 2 3 2 1 6 5 3 a4 a3 1 4 3 5 3 1 12 7 4 a5 a4 1 5 4 7 4 1 20 9 5 故数列的前 5 项分别为 1 3 2 5 3 7 4 9 5 由于 1 2 1 1 1 3 2 2 2 1 2 5 3 2 3 1 3 7 4 2 4 1 4 9 5 2 5 1 5 故数列 an 的一个通项公式为an 2 2n 1 n 1 n 随堂即时演练 1 符合递推关系式an an 1的数列是 2 A 1 2 3 4 B 1 2 2 22 C 2 2 D 0 2 2 2222 解析 选 B B 中从第二项起 后一项是前一项的倍 符合递推公式an an 1 22 2 数列 的递推公式可以是 1 2 1 4 1 8 1 16 A an n N N B an n N N 1 2n 1 1 2n C an 1 an n N N D an 1 2an n N N 1 2 解析 选 C 数列从第二项起 后一项是前一项的 故递推公式为 1 2 an 1 an n N N 1 2 3 已知a1 1 an 1 n 2 则a5 1 an 1 解析 由a1 1 an 1 得a2 2 a3 a4 a5 1 an 1 3 2 5 3 8 5 答案 8 5 4 已知数列 an 满足a1 0 n N N 则数列 an 是 数列 填 递增 an 1 an 1 3 或 递减 解析 由已知a1 0 an 1 an n N N 1 3 得an 0 n N N 又an 1 an an an an 0 1 3 2 3 所以 an 是递减数列 答案 递减 5 已知数列 an 的通项公式为an 写出它的前 5 项 并判断该数列的单调 n n2 1 性 解 对于公式an 依次取n 1 2 3 4 5