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函数模型及其应用 3 2 1几类不同增长的函数模型 在教科书第三章的章头图中 有一大群喝水 嬉戏的兔子 但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859年 有人从欧洲带进澳洲几只兔子 由于澳洲有茂盛的牧草 而且没有兔子的天敌 兔子数量不断增加 不到100年 兔子们占领了整个澳大利亚 数量达到75亿只 可爱的兔子变得可恶起来 75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草 草原的载畜率大大降低 而牛羊是澳大利亚的主要牲口 这使澳大利亚头痛不已 他们采用各种方法消灭这些兔子 直至二十世纪五十年代 科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔 澳大利亚人才算松了一口气 材料 澳大利亚兔子数 爆炸 例1 假设你有一笔资金用于投资 现在有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案 下面我们先来看两个具体问题 例 1假设你有一笔资金用于投资 现在有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案 分析 2 如何建立日回报效益与天数的函数模型 1 依据什么标准来选取投资方案 日回报效益 还是累计回报效益 分析 2 如何建立日回报效益与天数的函数模型 1 依据什么标准来选取投资方案 日回报效益 还是累计回报效益 解 设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述 方案二可以用函数进行描述 方案三可以用函数进行描述 3 三个函数模型的增减性如何 4 要对三个方案作出选择 就要对它们的增长情况进行分析 如何分析 图 1 我们看到 底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多 从中你对 指数爆炸 的含义有什么新的理解 函数图象是分析问题的好帮手 为了便于观察 我们用虚线连接离散的点 根据以上的分析 是否应作这样的选择 投资5天以下先方案一 投资5 8天先方案二 投资8天以上先方案三 由表 1和图 1可知 方案一的函数是常数函数 方案二 方案三的函数都是增函数 但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同 可以看到 尽管方案一 方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍 但它们的增长量是成倍增加的 从第7天开始 方案三比其他两个方案增长得快得多 这种增长速度是方案一 方案二所无法企及的 从每天所得回报看 在第1 4天 方案一最多 在5 8天 方案二最多 第9天开始 方案三比其他两个方案所得回报多得多 到第30天 所得回报已超过2亿元 因此 投资8天以下 不含8天 应选择第一种投资方案 投资8 10天 应选择第二种投资方案 投资11天 含11天 以上 刚应选择第三种投资方案 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随销售利润 单位 万元 的增加而增加 但资金总数不超过5万元 同时奖金总数不超过利润的25 现有三个奖励模型 其中哪个模型能符合公司的要求 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随销售利润 单位 万元 的增加而增加 但资金总数不超过5万元 同时奖金总数不超过利润的25 现有三个奖励模型 其中哪个模型能符合公司的要求 分析 某个奖励模型符合公司要求 就是依据这个模型进行奖励时 奖金总数不超过5万元 由于公司总的利润目标为1000万元 所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润 同时奖金不超过利润的25 于是 只需在区间 10 1000 上 检验三个模型是否符合公司要求即可 不妨先作出函数图象 通过观察函数的图象 得到初步的结论再通过具体计算 确认结果 图略 思考 X的取值范围 即函数的定义域 要满足哪些条件 通过图象说明选用哪个函数模型 为什么 解 借助计算机作出函数的图象 图3 2 2 观察图象发现 在区间 10 1000 上 模型的图象都有一部分在直线的上方 只有模型的图象始终在的下方 这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求 下面通过计算确认上述判断 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万 对于模型 对于模型 对于模型 它在区间 10 1000 上递增 当时 因此该模型不符合要求 由函数图象 并利用计算器 可知在区间内有一个点满足 由于它在区间 10 1000 上递增 因此当时 因此该模型也不符合要求 它在区间 10 1000 上递增 而且当时 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 令 利用计算机作出函数的图象 图 由图象可知它是递减的 因此即所以当时 说明按模型奖金不会超过利润的25 再计算按模型奖励时 奖金是否不超过利润的25 即当时 是否有成立 综上所述 模型确实能很符合公司要求 小结与反思 通过实例和计算机作图体会 认识直线上升 指数爆炸 对数增长等不同函数模型的增长的含义 认识数学的价值 认识数学与现实生活 与其他学科的密切联系 从而体会数学的实用价值 享受数学的应用美 1 四个变量随变量变化的数据如下表 练习 1 005 1 0151 1 0461 1 1407 1 4295 2 3107 5 155 130 105 80 55 30 5 33733 1758 2 94 478 5 4505 3130 2005 1130 505 130 5 30 25 20 15 10 5 0 练习 2 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的 如果某台计算机感染上这种病毒