高中数学——导数难题

5 5 导函数导函数 不等式不等式 1 1 已知函数已知函数 exf xkxx R 若 若 ek 试确定函数 试确定函数 f x 的单调区间 的单调区间 若 若 0k 且对于任意 且对于任意x R 0fx 恒成立 试确定实数恒成立 试确定实数k的取值范的取值范 围 围 设函数 设函数 F xf xfx 求证 求证 1 2 1 2 e2 n n FFF nn N 分析 本小题主要考查函数的单调性 极值 导数 不等式等基本知识 考查 运用导数研究函数性质的方法 考查分类讨论 化归以及数形结合等数学思想 方法 考查分析问题 解决问题的能力 解 由 ek 得 ee x f xx 所以 ee x fx 由 0fx 得 1x 故 f x 的单调递增区间是 1 由 0fx 得 1x 故 f x 的单调递减区间是 1 由 fxfx 可知 fx 是偶函数 于是 0fx 对任意x R成立等价于 0f x 对任意 0 x 成立 由 e0 x fxk 得 lnxk 当 01 k 时 e10 0 x fxkkx 此时 f x 在 0 上单 调递增 故 0 10f xf 符合题意 当 1 k 时 ln 0k 当x变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 0 ln k lnk ln k fx 0 f x 单调递减极小值单调递增 由此可得 在 0 上 ln lnf xfkkkk 依题意 ln0kkk 又 11ekk 综合 得 实数k的取值范围 是0 ek ee xx F xf xfx 12 F x F x 12121212121212 eeeeee2e2 xxxxxxxxxxxxxx 1 1 e2 n FF n 1 1 2 1 e2 1 e2 n n FF n F n F 由此得 21 1 2 1 2 1 1 e2 nn FFF nFF nFF nF n F 故 1 2 1 2 e2 n n FFF nn N 2 2 设设 3 3 x f x 对任意实数 对任意实数t 记 记 2 3 2 3 t g xt xt 求函数 求函数 8 yf xgx 的单调区间 的单调区间 求证 求证 当 当 0 x 时 时 t f xg x 对任意正实数对任意正实数t成立 成立 有且仅有一个正实数 有且仅有一个正实数 0 x 使得 使得 800 t gxg x 对于任意正实数对于任意正实数t成立 成立 分析 本题主要考查函数的基本性质 导数的应用及不等式的证明等基础知识 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力 分类讨论 化归 转化 思想 方法 I 解 3 16 4 33 x yx 由 2 40yx 得 2x 因为当 2 x 时 y 0 当 2 2 x 时 0y 当 2 x 时 0y 故所求函数的单调递增区间是 2 2 单调递减区间是 2 2 II 证明 i 方法一 令 23 3 2 0 33 t x h xf xg xt xt x 则 2 2 3 h xxt 当 0t 时 由 0h x 得 1 3 xt 当 1 3 xx 时 0h x 所以 h x 在 0 内的最小值是 1 3 0h t 故当 0 x 时 t f xg x 对任意 正实数t成立 方法二 对任意固定的 0 x 令 2 3 2 0 3 t h tg xt xt t 则 11 33 2 3 h ttxt 由 0h t 得 3 tx 当 3 0tx 时 0h t 当 3 tx 时 0h t 所以当 3 tx 时 h t 取得最大值 33 1 3 h xx 因此当 0 x 时 f xg x 对 任意正实数t成立 ii 方法一 8 2 2 3 t fg 由 i 得 2 2 tt gg 对任意正实数t成立 即存在正实数 0 2x 使得 2 2 xt gg 对任意正实数t成立 下面证明 0 x 的唯一性 当 0 2x 0 0 x 8t 时 3 0 0 3 x f x 00 16 4 3 x gxx 由 i 得 3 0 0 16 4 33 x x 再取 3 0 tx 得 3 0 3 0 0 3 x x gx 所以 3 0 3 0 000 16 4 33 x x x gxxgx 即 0 2x 时 不满足 00 xt gxg x 对任 意 0t 都成立 故有且仅有一个正实数 0 2x 使得 00 0 xt gxg x 对任意正实数t成立 方法二 对任意 0 0 x 00 16 4 3 x gxx 因为 0 t g x 关于t的最大值是 3 0 1 3 x 所以要使 00 xt gxg x 对任意正实数成立 的充分必要条件是 3 00 161 4 33 xx 即 2 00 2 4 0 xx 又因为 0 0 x 不等式 成立的充分必要条件是 0 2x 所以有且仅有一个正实 数 0 2x 使得 00 xt gxg x 对任意正实数t成立 3 3 定义函数定义函数 f f n n x x 1 1 x n 1 x n 1 x x 2 2 n N n N 1 1 求证 求证 f f n n x x nxnx 2 2 是否存在区间是否存在区间 a a 0 0 a a 0 0 使函数 使函数 h h x x f f 3 3 x x f f 2 2 x x 在在 区间区间 a a 0 0 上的值域为上的值域为 ka ka 0 0 若存在 求出最小实数若存在 求出最小实数 k k 的值及相应的区间的值及相应的区间 a a 0 0 若不存在 说明理由 若不存在 说明理由 分析 本题主要考查函数的基本性质 导数的应用及不等式的证明等基础知识 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力 分类讨论 数形结合思想方法 解 1 证明 f n x nx 1 x n 1 nx 令 g x 1 x n 1 nx 则 g x n 1 x n 1 1 当 x 2 0 时 g x 0 当 x 0 时 g x 0 g x 在 x 0 处取得极小值 g 0 0 同时 g x 是单峰函数 则 g 0 也是最小值 g x 0 即 f n x nx 当且仅当 x 0 时取 等号 注 亦可用数学归纳法证明 2 h x f 3 x f 2 x x 1 x 2 h x 1 x 2 x 2 1 x 1 x 1 3x 令 h x 0 得 x 1 或 x 1 3 当 x 2 1 h x 0 当 x 1 时 1 3 h x 0 当 x 时 h x 0 1 3 故作出 h x 的草图如图所示 讨论如下 当时 h x 最小值 h a ka k 1 a 2 1 3 a 0 4 9 当时 h x 最小值 h a h ka 4 3 a 1 3 1 3 4 27 k 4 27a 1 9 k 4 9 当时 h x 最小值 h a a 1 a 2 ka k 1 a 2 a 4 3 1 9 时取等号 a 4 3 综上讨论可知 k 的最小值为 此时 a 0 0 1 9 4 3 例例 4 4 已知已知 2 2 2 Rx x ax xf 在区间在区间 1 1 上是增函数 上是增函数 1 1 求实数 求实数a的值组成的集合的值组成的集合 A A 2 2 设关于 设关于x的方程的方程 1 f x x 的两个非零实根为的两个非零实根为 1 x 2 x 试问 是否 试问 是否 Rm 使得不等式使得不等式 1 21 2 xxtmm 对对 Aa 及及 1 1 t 恒成立 若存在 求恒成立 若存在 求m的取的取 值范围 若不存在 请说明理由 值范围 若不存在 请说明理由 分析 本题主要考查函数的基本性质 导数的应用及不等式的证明等基础知识 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力 函数方程思想 化归 转化 思想方法 解 1 xf 2 2 2 Rx x ax 22 2 2 2 2 2 2 x xaxx xf 22 2 2 2 2 x axx xf 在 1 1 上 x f 0 2 2 2 22 2 x axx 对 1 1 x 恒成立 即 1 1 x 恒有 02 2 axx 成立 设 2 2 axxxg 1 1 01 1 1101 1 Aag aag 2 xx ax xf 1 2 2 2 02 2 axx 08 2 a 1 x 2 x 是方程 02 2 axx 的两不等实根 且 axx 21 2 21 xx 3 22 84 2 21 2 2121 axxxxxx 1 21 2 xxtmm 对 Aa 及 1 1 t 恒成立 31 2 tmm 对 1 1 t 恒成立 设 2 2 mtmth 1 1 t 0 th 对 1 1 t 恒成立 12 21 02 1 02 1 2 2 mm mm mmh mmh 或 或 2 2 m 满足题意 5 5 已知函数已知函数 0 ln aaexf x 1 1 求函数 求函数 xfy 的反函数的反函数 1 xfy 和和 xf 的导函数的导函数 x f 2 2 假设对 假设对 4ln 3 ln aax 不等式 不等式 0 ln 1 xfxfm 成立 求实成立 求实 数数m的取值范围 的取值范围 分析 本题主要考查反函数的概念及基本性质 导数的应用及不等式的证明等 基础知识 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力 化归 转化 思想 方法 解 1 ln aey x yx eae aee yx ln aex y ln 1 aexf x ln aey x ae e xf x x 2 4ln 3 ln aax 0 ln 1 xfxfm 成立 x x x x e ae ae e aexm lnln ln xaeaemxae xxx ln ln ln 设 xaeaexg xx ln ln xaeaexh xx ln ln 4ln 3 ln aax 4ln 3 ln aax 恒有 xhmxg 成立 1 ae e ae e xg x x x x 4ln 3 ln aax 4 3 aae x aeeae xxx 0 1 ae e x x 10 ae e x x 0 x g xg 在 4ln 3 ln aa 上 magxg 4 ln max 即 maaa 4ln 5ln 3ln 5 12 ln am 01 ae e ae e xh x x x x xh 在 4ln 3 ln aa 上 3 ln min ahxhm 3ln 4ln 2ln aaam 3 8 ln am m的取值范围是 3 8 ln 5 12 ln aa 6 6 设函数设函数 1 1 1 NxnNn n xf n 且 当当 x 6x 6 时时 求求 n n 1 1 的展开式中二项式系数最大的项的展开式中二项式系数最大的项 对任意的实数对任意的实数 x x 证明证明 2 2 2 fxf 的导函数是xfxfxf 是否存在是否存在 Na 使得使得 a an n k k 1 1 1 na 1 恒成立恒成立 若存在若存在 试证明你试证明你 的结论并求出的结论并求出 a a 的值的值 若不存在若不存在 请说明理由请说明理由 解 展开式中二项式系数最大的项是第 4 项 这项是 3 3 5 6 3 120 1C nn 证法一 因 22 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 1 2 1 n n 11 2 1ln 1 2 n n 11 2 1ln 12 n fx nn 证法二 因 22 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 而 11 22 1ln 1 n fx nn 故只需对 1 1 n 和 1 ln 1 n 进行比较 令 ln1g xxx x 有 11 1 x gx xx 由 1 0 x x 得 1x 因为当0 1x 时 0gx g x 单调递减 当1 x 时 0gx g x 单调递增 所以在 1x 处 g x 有极小值1 故当 1x 时 11g xg 从而有 ln1xx 亦即 ln1lnxxx 故有 11 1ln 1 nn 恒成立 所以 222fxffx 原不等式成立 对m N 且 1m 有 2 012 11111 1 mkm