高中数学数形结合

1 数形结合数形结合 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图象的对应关系 曲线与方程的对应关系 以几何元素和几何条件为背景 建立起来的概念 如复数 三角函数等 所 给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 如等式 xy 214 22 一 联想图形的交点一 联想图形的交点 例 1 已知 则方程的实根个数为01 aax x a log A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 1 个或 2 个或 3 个 分析 出两个函数图判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数 画yayx x a log 象 易知两图象只有两个交点 故方程有 2 个实根 选 B 例 2 解不等式 xx 2 令 则不等式的解 就是使的图象yxyxxxyx 121 222 在的上方的那段对应的横坐标 yx 2 如下图 不等式的解集为 x xxx AB 而可由 解得 xxxxx BBA 222故不等式的解集为 xx 22 练习 设定义域为函数 则关于的方程有 7 个不R 1 0 1 1lg x xx xfx0 2 cxbfxf 同实数解的充要条件是 答案 C0 0 0 0 0 0 0 0 cbDcbCcbBcbA 二 联想绝对值的几何意义二 联想绝对值的几何意义 例例 1 1 已知 设 函数在上单调递减 不等式的解集为 如0 cP x cy RQ12 cxxR 果与有且仅有一个正确 试求的范围 PQc 因为不等式的几何意义为 在数轴上求一点 使到的距离之和的12 cxx xPP 2 0 cBA 最小值大于 1 而到二点的最短距离为 即而 函数在上单调递减 PAB12 cAB 2 1 cP x cy R 即1 c 由题意可得 1 2 1 0 cc且 三 联想二次函数三 联想二次函数 2 例例 1 1 已知关于的方程有四个不相等的实根 则实数的取值范围为 xmxx 54 2 m 分析 直接求解 繁难 由方程联想二次函数进行数形结合 以数助形 则简洁 明了 设 又为偶函数 由图可知myxxy 2 2 1 54 1 y51 m 四 联想反函数的性质四 联想反函数的性质 例例 1 1 方程的实根分别为 则 3log 32 2 xxx x 21 x x 21 xx 解 令xyxyy x 3 log 2 3221 互为反函数 其图象关于对称 设 21 y y xy 即 3 3 2211 xxBxxA 21 3xx 3 21 xx 六 联想斜率公式六 联想斜率公式 例例 1 1 求函数的值域 y x x sin cos 2 2 y x x y yy xx sin cos 2 2 21 21 的形式类似于斜率公式 y x x PPxx sin cos cossin 2 2 22 0 表示过两点 的直线斜率 22 1Pxy 由于点在单位圆上 如图 显然 kyk P AP B 00 设过的圆的切线方程为Pyk x 0 22 则有 解得 22 1 1 47 3 2 k k k 即 kk P AP B 00 47 3 47 3 47 3 47 3 y 函数值域为 47 3 47 3 例例 2 2 实系数方程的一根在 0 和 1 之间 另一根在 1 和 2 之间 求的取值范围 02 2 baxx 1 2 a b 解 数形结合由的结构特征 联想二次函数性质及的几何意义来求解 以形助数 则简洁明 1 2 a b 1 2 a b 了 令 则由已知有得到baxxxf2 2 0 2 0 1 0 0 f f f 02 021 0 ba ba b 3 这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的ABC ba 1 2 a b ba 2 1 D 直线的斜率 由此可以看出 即的取值范围是 1 1 2 4 1 BDAD k a b k 1 2 a b 1 4 1 练习 答案 D如果实数 满足 则的最大值为xyxy y x 23 22 ABCD 1 2 3 3 3 2 3 五 联想两点间的距离公式五 联想两点间的距离公式 例例 1 1 设 求证 baRbaxxf 且 1 2 babfaf 解 不妨设 构造如图的 其中 b a ba OAPRt bOBaOAOP 1 则baABbfbPBafaPA 1 1 22 在中 有OAPRt ABPBPA babfaf 六 联想点到直线的距离公式六 联想点到直线的距离公式 例例 1 1 已知是直线上的动点 是的两条切线 P0843 yxPBPA 0122 22 yxyx 是切点 是圆心 求四边形面积的最小值 BA CPACB 解 1 2 1 22 2 PCPAACPASS PACPACB 要使面积最小 只需最小 即定点到定直线上动点距离最小即可PCCP 即点到直线的距离 C 1 1 0843 yx 而 3 43 82413 22 d2213 2 min PACB S 七 联想函数奇偶性七 联想函数奇偶性 例例 1 1 设是定义在上的奇函数 且的图象关于直线对称 则 xfy R xfy 2 1 x 5 4 3 2 1 fffff 解 本题由于不明确 故的函数值不好直接求解 若能联想到奇函数的性质 数形结合 xfy xf 以数助形来解决 则简洁明了 则可知 又且的图象关于直线对称 0 0 f xfy 2 1 x 0 1 f 4 则奇函数可得 则又由对称性知 同理 0 1 f0 2 f0 5 4 3 fff 0 5 4 3 2 1 fffff 八 其它简单方法 八 其它简单方法 例例 1 1 的取值范围 之间 求和的两根都在的方程若关于kkkxxx31032 2 解 0 32 2 xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方 其图象与令 13 1 0yf xf 的解 由的图象可知 要使二根都在 之间 只需 3 0f 0 2 b ffk a 10 10 kk 同时成立 解得 故 5 课后练习 课后练习 1 方程的实根的个数为 A 1 个B 2 个 C 3 个 D 4 个lgsinxx 2 函数的图象恰有两个公共点 则实数 a 的取值范围是 ya xyxa 与 A B C D 1 11 11 11 3 设命题甲 命题乙 则甲是乙成立的 03 x x 14 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 不充分也不必要条件 4 若方程上有唯一解 求 m 的取值范围 lg lg xxmx 2 3303在 5 设 试求下述方程有解时 k 的取值范围 aa 01且 log log a a xakxa 2 22 练习答案练习答案 1 C 2 D 提示 画出的图象ya xyxa 与 情形 1 情形 2 a a a 0 1 1 a a a 0 1 1 3 A 4 解 原方程等价于 xxm x x xxmx xxm x xxm 2 2 2 2 30 30 03 33 30 03 43 令 在同一坐标系内 画出它们的图象 其中注yxxym 1 2 2 43 意 当且仅当两函数的图象在 0 3 上有唯一公共点时 原方程有03 x 唯一解 由下图可见 当 m 1 或时 原方程有唯一解 因此 m 的 30m 取值范围为 3 0 1 5 解 将原方程化为 log log aa xakxa 22 x