高中数学概率大题(经典一)85288

第 1 页 共 10 页 高中数学概率大题 经典一 高中数学概率大题 经典一 一 解答题 共一 解答题 共 10 小题 小题 1 在一次运动会上 某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比 赛 1 如果随机抽派 5 名队员上场比赛 将主力队员参加比赛的人数记为 X 求随机变量 X 的数学期望 2 若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤 不宜同时上场 替补队员中有 2 名队 员身材相对矮小 也不宜同时上场 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力 队员 教练员有多少种组队方案 2 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 且都是整数分 钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表 办理业务所需的时间 分 12345 频率0 10 40 30 10 1 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求 X 的分布列及数学期望 3 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动 进行现场抽奖 盒中装有 9 张大小相同 的精美卡片 卡片上分别印有 世博会会徽 或 海宝 世博会吉祥物 图案 抽奖规则是 参加者从盒中抽取卡片两张 若抽到两张都是 海宝 卡即可获奖 否则 均为不获奖 卡 片用后放回盒子 下一位参加者继续重复进行 1 有三人参加抽奖 要使至少一人获奖的概率不低于 则 海宝 卡至少多少张 2 现有甲乙丙丁四人依次抽奖 用 表示获奖的人数 求 的分布列及 E 的值 4 一袋中有 m m N 个红球 3 个黑球和 2 个白球 现从中任取 2 个球 1 当 m 4 时 求取出的 2 个球颜色相同的概率 2 当 m 3 时 设 表示取出的 2 个球中黑球的个数 求 的概率分布及数学期望 3 如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于 求 m 的最小值 5 某商场为促销设计了一个抽奖模型 一定数额的消费可以获得一张抽奖券 每张抽奖券 可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中一次性摸出 3 个球 至少摸到一 个红球则中奖 求一次抽奖中奖的概率 若每次中奖可获得 10 元的奖金 一位顾客获得两张抽奖券 求两次抽奖所得的奖金 额之和 X 元 的概率分布和期望 E X 6 将一枚硬币连续抛掷 15 次 每次抛掷互不影响 记正面向上的次数为奇数的概率为 P1 正面向上的次数为偶数的概率为 P2 若该硬币均匀 试求 P1与 P2 若该硬币有暇疵 且每次正面向上的概率为 试比较 P1与 P2的大 小 第 2 页 共 10 页 7 某地位于甲 乙两条河流的交汇处 根据统计资料预测 今年汛期甲河流发生洪水的概 率为 0 25 乙河流发生洪水的概率为 0 18 假设两河流发生洪水与否互不影响 现有一台 大型设备正在该地工作 为了保护设备 施工部门提出以下三种方案 方案 1 运走设备 此时需花费 4000 元 方案 2 建一保护围墙 需花费 1000 元 但围墙只能抵御一个河流发生的洪水 当两河流 同时发生洪水时 设备仍将受损 损失约 56000 元 方案 3 不采取措施 此时 当两河流都发生洪水时损失达 60000 元 只有一条河流发生 洪水时 损失为 10000 元 1 试求方案 3 中损失费 随机变量 的分布列 2 试比较哪一种方案好 8 2009 年 10 月 1 日 为庆祝中华人们共和国成立 60 周年 来自北京大学和清华大学的 共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水 清扫卫生 维持秩 序这三个岗位服务 且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是 1 求 6 名志愿者中来自北京大学 清华大学的各几人 2 求清扫卫生岗位恰好北京大学 清华大学人各一人的概率 3 设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 求 分布列及期望 9 在 1 2 3 9 这 9 个自然数中 任取 3 个不同的数 1 求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率 2 求这 3 个数和为 18 的概率 3 设 为这 3 个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为 1 2 3 则有两组相邻的 数 1 2 和 2 3 此时 的值是 2 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 10 某单位组织 4 个部门的职工旅游 规定每个部门只能在韶山 衡山 张家界 3 个景区 中任选一个 假设各部门选择每个景区是等可能的 求 3 个景区都有部门选择的概率 求恰有 2 个景区有部门选择的概率 第 3 页 共 10 页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 10 小题 小题 1 2016 南通模拟 在一次运动会上 某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成 的代表队参加比赛 1 如果随机抽派 5 名队员上场比赛 将主力队员参加比赛的人数记为 X 求随机变量 X 的数学期望 2 若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤 不宜同时上场 替补队员中有 2 名队 员身材相对矮小 也不宜同时上场 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力 队员 教练员有多少种组队方案 解答 解 1 由题意知随机变量 X 的取值是 0 1 2 3 4 5 当 X 0 时 表示主力队员参加比赛的人数为 0 以此类推 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 随机变量 X 的概率分布如下表 E X 0 1 2 3 4 5 2 73 2 由题意知 第 4 页 共 10 页 上场队员有 3 名主力 方案有 C63 C41 C52 C22 144 种 上场队员有 4 名主力 方案有 C64 C42 C51 45 种 上场队员有 5 名主力 方案有 C65 C43 C50 C44C21 2 种 教练员组队方案共有 144 45 2 191 种 2 2012 陕西 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表 办理业务所需的时间 分 12345 频率0 10 40 30 10 1 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求 X 的分布列及数学期望 解答 解 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得 Y 的分布如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A 表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则时间 A 对应三种情形 第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 P A 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 2 X 所有可能的取值为 0 1 2 X 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以 P X 0 P Y 2 0 5 X 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以 P X 1 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟 所以 P X 2 0 1 0 1 0 01 所以 X 的分布列为 X012 P0 50 490 01 EX 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 3 2012 海安县校级模拟 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动 进行现场抽 奖 盒中装有 9 张大小相同的精美卡片 卡片上分别印有 世博会会徽 或 海宝 世博会 吉祥物 图案 抽奖规则是 参加者从盒中抽取卡片两张 若抽到两张都是 海宝 卡即可 获奖 否则 均为不获奖 卡片用后放回盒子 下一位参加者继续重复进行 1 有三人参加抽奖 要使至少一人获奖的概率不低于 则 海宝 卡至少多少张 2 现有甲乙丙丁四人依次抽奖 用 表示获奖的人数 求 的分布列及 E 的值 解答 解 1 记至少一人获奖事件为 A 则都不获奖的事件 设 海宝 卡 n 张 第 5 页 共 10 页 则任一人获奖的概率 由题意 n 7 至少 7 张 海宝 卡 2 的分布列为 4 2011 江苏模拟 一袋中有 m m N 个红球 3 个黑球和 2 个白球 现从中任取 2 个球 1 当 m 4 时 求取出的 2 个球颜色相同的概率 2 当 m 3 时 设 表示取出的 2 个球中黑球的个数 求 的概率分布及数学期望 3 如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于 求 m 的最小值 解答 解 1 由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生包含的事件是从 9 个球中任取 2 个 共有 C92 36 种结果 满足条件的事件是取出的 2 个球的颜色相同 包括三种情况 共有 C42 C32 C22 10 设 取出的 2 个球颜色相同 为事件 A P A 2 由题意知黑球的个数可能是 0 1 2 P 0 P 1 P 2 的分布列是 E 0 1 2 3 由题意知本题是一个等可能事件的概率 事件发生所包含的事件数 Cx 52 满足条件的事件是 Cx1C31 Cx1C21 C31C21 设 取出的 2 个球中颜色不相同 为事件 B 则 第 6 页 共 10 页 P B x2 6x 2 0 x 3 或 x 3 x 的最小值为 6 5 2010 鼓楼区校级模拟 某商场为促销设计了一个抽奖模型 一定数额的消费可以获得 一张抽奖券 每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中一次性 摸出 3 个球 至少摸到一个红球则中奖 求一次抽奖中奖的概率 若每次中奖可获得 10 元的奖金 一位顾客获得两张抽奖券 求两次抽奖所得的奖金 额之和 X 元 的概率分布和期望 E X 解答 解 1 由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生的所有事件是从 6 个球中取三个 共有 C63种结果 而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球 共有 C21C42 C22C41 设 一次抽奖中奖 为事件 A 即一次抽奖中奖的概率为 2 X 可取 0 10 20 P X 0 0 2 2 0 04 P X 10 C21 0 8 0 2 0 32 P X 20 0 8 2 0 64 X 的概率分布列为 E X 0 0 04 10 0 32 20 0 64 16 6 2010 盐城三模 将一枚硬币连续抛掷 15 次 每次抛掷互不影响 记正面向上的次数 为奇数的概率为 P1 正面向上的次数为偶数的概率为 P2 若该硬币均匀 试求 P1与 P2 第 7 页 共 10 页 若该硬币有暇疵 且每次正面向上的概率为 试比较 P1与 P2的大 小 解答 解 抛硬币一次正面向上的概率为 正面向上的次数为奇数次的概率为 P1 P15 1 P15 3 P15 15 P1 C151p1 1 p 14 C153p3 1 p 12 C1515p15 P2 C150p0 1 p 15 C152p2 1 p 13 C1514p14 1 p 1 则 P2 P1 C150p0 1 p 15 C151p1 1 p 14 C152p2 1 p 13 C1514p14 1 p 1 C1515p15 1 p p 15 1 2p 15 而 1 2p 0 P2 P1 7 2010 南通模拟 某地位于甲 乙两条河流的交汇处 根据统计资料预测 今年汛期甲 河流发生洪水的概率为 0 25 乙河流发生洪水的概率为 0 18 假设两河流发生洪水与否互 不影响 现有一台大型设备正在该地工作 为了保护设备 施工部门提出以下三种方案 方案 1 运走设备 此时需花费 4000 元 方案 2 建一保护围墙 需花费 1000 元 但围墙只能抵御一个河流发生的洪水 当两河流 同时发生洪水时 设备仍将受损 损失约 56000 元 方案 3 不采取措施 此时 当两河流都发生洪水时损失达 60000 元 只有一条河流发生 洪水时 损失为 10000 元 1 试求方案 3 中损失费 随机变量 的分布列 2 试比较哪一种方案好 解答 解 1 在方案 3 中 记 甲河流发生洪水 为事件 A 乙河流发生洪水 为事件 B 则 P A 0 25 P B 0 18 所以 有且只有一条河流发生洪水的概率为 P A B P A P P P B 0 34 两河流同时发生洪水的概率为 P A B 0 045 都不发生洪水的概率为 P 0 75 0 82 0 615 设损失费为随机变量 则 的分布列为 第 8 页 共 10 页 10000600000 P 0 34 0 045 0 615 2 对方案 1 来说 花费 4000 元 对方案 2 来说 建围墙需花费 1000 元 它只能抵御一条河流的洪水 但当两河流都发生洪水时 损失约 56000 元 而两河流同时发生洪水的概率为 P 0 25 0 18 0 045 所以 该方案中可能的花费为 1000 56000 0 045 3520 元 对于方案来说 损失费的数学期望为 E 10000 0 34 60000 0 045 6100 元 比较可知 方案 2 最好 方案 1 次之 方案 3 最差 8 2010 海安县校级模拟 2009 年 10 月 1 日 为庆祝中华人们共和国成立 60 周年 来 自北京大学和清华大学的共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿 泉水 清扫卫生 维持秩序这三个岗位服务 且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿 者的概率是 1 求 6 名志愿者中来自北京大学 清华大学的各几人 2 求清扫卫生岗位恰好北京大学 清华大学人各一人的概率 3 设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 求 分布列及期望 解答 解 1 记 至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位 为事件 A 则 A 的 对立事件为 没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位 设有北京大学志愿者 x 个 1 x 6 那么 P A 解得 x 2 即来自北 京大学的志愿者有 2 人 来自清华大学志愿者 4 人 2 记 清扫卫生岗位恰好北京大学 清华大学志愿者各有一人 为事件 E 那么 P E 所以清扫卫生岗位恰好北京大学 清华大学志愿者各一人的概率是 3 的所有可能值为 0 1 2 P 0 P 1 P 2 所以 的分布列为 E 9 2010 苏州模拟 在 1 2 3 9 这 9 个自然数中 任取 3 个不同的数 1 求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率 2 求这 3 个数和为 18 的概率 第 9 页 共 10 页 3 设 为这 3 个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为 1 2 3 则有两组相邻的 数 1 2 和 2 3 此时 的值是 2 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 解答 解 1 由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生所包含的事件数 C93 满足条件的事件 3 个数中至少有 1 个是偶数 包含三种情况一个偶数 两个偶数 三个偶 数 这三种情况是互斥的 根据等