2013年广州市二模理科数学试题

数学 理科 试题 A 第 1 页 共 16 页 试卷类型 B 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 数学 理科 数学 理科 2013 4 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用 2B 铅笔在 考生号 处填涂考生号 用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己所在的市 县 区 学校以及自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面积 是锥体的高 ShV 3 1 Sh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 对于任意向量 下列命题中正确的是abc A B C D Aa ba b abab AAa b ca b c 2 Aa aa 2 直线与圆的位置关系是1ykx 22 20 xyy A 相交 B 相切 C 相离 D 取决于的值k 文 3 理 1 若 是虚数单位 是关于的方程 的一个解 则1 i ix 2 20 xpxq pq R pq A B C D 3 1 13 4 已知函数的图象如图 1 所示 则其导函数的图象可能是 yf x yfx x y O 图 1 y x O A x O B x O C x O D yy y 数学 理科 试题 A 第 2 页 共 16 页 5 若函数的一个对称中心是 则的最小值为cos 6 yx N0 6 A 1 B 2 C 4 D 8 6 一个圆锥的正 主 视图及其尺寸如图 2 所示 若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1 7 的上 下两 部分 则截面的面积为 A B 1 4 C D 9 4 4 7 某辆汽车购买时的费用是 15 万元 每年使用的保险费 路桥费 汽油费等约为 1 5 万元 年维修保养 费用第一年 3000 元 以后逐年递增 3000 元 则这辆汽车报废的最佳年限 即使用多少年的年平均 费用最少 是 A 8 年 B 10 年 C 12 年 D 15 年 8 记实数 中的最大数为 最小数为 则 1 x 2 x n x 12 max n x xx 12 min n x xx 2 max min116xxxx A B 1 C 3 D 3 4 7 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 某商场销售甲 乙 丙三种不同型号的钢笔 甲 乙 丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2 3 4 现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本 其中甲型钢笔有 12 支 则此样本容量 nn 10 已知 为锐角 且 则 3 cos 45 sin 11 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 可以组成 个没有重复数字且能被 5 整除的五位数 结果用 数值表示 12 已知函数 点集 2 2f xxx Mxyf xfy 2 Nxyf xfy 0 则所构成平面区域的面积为 MN 4 6 图 2 数学 理科 试题 A 第 3 页 共 16 页 13 数列的项是由 1 或 2 构成 且首项为 1 在第个 1 和第个 1 之间有个 2 即数列 n ak1k 21k n a 为 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 记数列的前项和为 则 n an n S 20 S 2013 S 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 在 中 是边的中点 点在线段上 且满足 延长交于点ABCDACEBD 1 3 BEBD AEBC F 则的值为 BF FC 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 已知点 点是曲线上任意一点 设点到直线1 2 A P 2 sin4cos P 的距离为 则的最小值为 cos10 dPAd 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分12分 某单位有 三个工作点 需要建立一个公共无线网络发射点 使得发射点到三个工作点ABCO 的距离相等 已知这三个工作点之间的距离分别为 假定80AB m70BC m50CA m 四点在同一平面内 ABCO 1 求的大小 BAC 2 求点到直线的距离 OBC 17 本小题满分12分 已知正方形的边长为 2 分别是边的中点 ABCDEFGH ABBCCDDA 1 在正方形内部随机取一点 求满足的概率 ABCDP 2PH 2 从这八个点中 随机选取两个点 记这两个点之间的ABCDEFGH 数学 理科 试题 A 第 4 页 共 16 页 距离为 求随机变量的分布列与数学期望 E 18 本小题满分 14 分 等边三角形的边长为 3 点 分别是边 上的点 且满足 如图ABCDEABAC AD DB 1 2 CE EA 3 将 沿折起到 的位置 使二面角成直二面角 连结 ADEDE 1 ADE 1 ADEB 1 AB 1 AC 如图 4 1 求证 平面 1 AD BCED 2 在线段上是否存在点 使直BCP 线与平面所成的角为 1 PA 1 ABD60 若存在 求出的长 若不存在 PB 请说明理由 19 本小题满分14分 已知 设命题 函数在区间上与轴有两个不同的交点 命0a p 2 21 2f xxaxa 0 1x 题 在区间上有最小值 若是真命题 求实数的取值范q g xxaax 0 pq a 围 20 本小题满分14分 经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为 点 在轨迹上 且关于轴 0 1F1y MADMy 对称 过线段 两端点除外 上的任意一点作直线 使直线 与轨迹在点处的切线平行 ADllMD 设直线 与轨迹交于点 lMBC 1 求轨迹的方程 M 2 证明 BADCAD BC E D 1 A 图 4图 3 A BC D E 数学 理科 试题 A 第 5 页 共 16 页 3 若点到直线的距离等于 且 的面积为 20 求直线的方程 DAB 2 2 ADABCBC 21 本小题满分14分 设是函数的零点 n a 32 1f xxn x n N 1 证明 01 n a 2 证明 1 n n 12 3 2 n aaa 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 数学 理科 试题参考答案及评分标准数学 理科 试题参考答案及评分标准 说明 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 分 题号题号12345678 答案答案DACABCBD 二 填空题 本大题查基本知识和基本运算 体现选择性 共二 填空题 本大题查基本知识和基本运算 体现选择性 共 7 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 其中分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做一题 第题是选做题 考生只能选做一题 第 13 题第一个空题第一个空 2 分 第二个空分 第二个空 3 分 分 9 54 10 11 12 13 14 15 2 10 2162 363981 1 4 2 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题主要考查解三角形等基础知识 考查正弦定理与余弦定理的应用 本小题满分12分 解 解 1 在 中 因为 ABC80AB m70BC m50CA m 数学 理科 试题 A 第 6 页 共 16 页 由余弦定理得 2 分 222 cos 2 ABACBC BAC ABAC 3 分 222 8050701 2 80 502 因为为 的内角 所以 4BAC ABC 3 BAC 分 2 方法方法 1 因为发射点到 三个工作点的距离相等 OABC 所以点为 外接圆的圆心 5OABC 分 设外接圆的半径为 R 在 中 由正弦定理得 7ABC2 sin BC R A 分 因为 由 1 知 所以 70BC 3 A 3 sin 2 A 所以 即 8 分 70140 3 2 33 2 R 70 3 3 R 过点作边的垂线 垂足为 9 分OBCD 在 中 OBD 70 3 3 OBR 70 35 22 BC BD 所以 11 分 2 222 70 3 35 3 ODOBBD 35 3 3 所以点到直线的距离为 12 分OBC 35 3 3 m 方法方法 2 因为发射点到 三个工作点的距离相等 OABC 所以点为 外接圆的圆心 5 分OABC 连结 OBOC 过点作边的垂线 垂足为 6 分OBCD 由 1 知 3 BAC 所以 3 BOC A B C O D A B C O D 数学 理科 试题 A 第 7 页 共 16 页 所以 9 分 3 BOD 在 中 RtBOD 70 35 22 BC BD 所以 11 分 3535 3 tantan603 BD OD BOD 所以点到直线的距离为 12 分OBC 35 3 3 m 17 本小题主要考查几何概型 随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运算求解能力与数据处 理能力等 本小题满分12分 解 解 1 这是一个几何概型 所有点构成的平面区域是正方形的内部 其面积是 PABCD2 24 1 分 满足的点构成的平面区域是以为圆心 为半径的圆的内部与正方形内 2PH PH2ABCD 部的公共部分 它可以看作是由一个以为圆心 为半径 H2 圆心角为的扇形的内部 即四分之一个圆 与两个 2 HEG 直角边为 1 的等腰直角三角形 和 内部AEHDGH 构成 2 分 其面积是 3 分 2 11 221 11 422 所以满足的概率为 4 分 2PH 1 1 2 484 2 从这八个点中 任意选取两个点 共可构成条不同的线ABCDEFGH 2 8 C28 段 5 分 其中长度为 1 的线段有 8 条 长度为的线段有 4 条 长度为 2 的线段有 6 条 长度为的线段25 有 8 条 长度为的线段有 2 条 2 2 A B CD E F G H 数学 理科 试题 A 第 8 页 共 16 页 所以所有可能的取值为 7 分 12252 2 且 82 1 287 P 41 2 287 P 63 2 2814 P 9 82 5 287 P 21 2 2 2814 P 分 所以随机变量的分布列为 12252 2 P 2 7 1 7 3 14 2 7 1 14 随机变量的数学期望为 12 21321 12252 2 7714714 E 52 22 5 7 分 18 本小题主要考查空间直线与平面垂直 直线与平面所成角等基础知识 考查空间想象能力和运算求 解能力等 本小题满分 14 分 证明 证明 1 因为等边 的边长为 3 且 ABC AD DB 1 2 CE EA 所以 1AD 2AE 在 中 ADE60DAE 由余弦定理得 22 122 1 2 cos603DE 因为 222 ADDEAE 所以 ADDE 折叠后有 2 分 1 ADDE 因为二面角是直二面角 所以平面平面 3 分 1 ADEB 1 ADE BCED 又平面平面 平面 1 ADE BCEDDE 1 AD 1 ADE 1 ADDE 所以平面 4 1 AD BCED 分 2 解法解法 1 假设在线段上存在点 使直线与平面所成的角为 BCP 1 PA 1 ABD60 如图 作于点 连结 5 分PHBD H 1 AH 1 AP A BC D E BC E D 1 A H P 10 分 数学 理科 试题 A 第 9 页 共 16 页 由 1 有平面 而平面 1 AD BCEDPH BCED 所以 6 分 1 AD PH 又 1 ADBDD 所以平面 7 分PH 1 ABD 所以是直线与平面所成的角 8 1 PAH 1 PA 1 ABD 分 设 则 9PBx 03x 2 x BH 3 2 PHx 分 在 中 所以 10Rt 1 PAH 1 60PAH 1 1 2 AHx 分 在 中 11Rt 1 ADH 1 1AD 1 2 2 DHx 分 由 222 11 ADDHAH 得 12 分 22 2 11 12 22 xx 解得 满足 符合题意 13 分 5 2 x 03x 所以在线段上存在点 使直线与平面所成的角为 此时 14 分BCP 1 PA 1 ABD60 5 2 PB 解法解法 2 由 1 的证明 可知 平面 EDDB 1 AD BCED 以为坐标原点 以射线 分别为轴 轴 轴的正半轴 建立空间直角坐标DDBDE 1 DAxyz 系如图 5 分Dxyz 设 2PBa 023a 则 6 分BHa 3PHa 2DHa 所以 7 分 1 0 0 1A 2 3 0Paa 0 3 0E B C E D 1 A H x y z P 数学 理科 试题 A 第 10 页 共 16 页 所以 8 分 1 2 3 1PAaa 因为平面 ED 1 ABD 所以平面的一个法向量为 9 1 ABD 0 3 0DE 分 因为直线与平面所成的角为 1 PA 1 ABD60 所以 10 分 1 1 sin60 PA DE PA DE A 11 2 33 2 4453 a aa 分 解得 12 分 5 4 a 即 满足 符合题意 13 分 5 2 2 PBa 023a 所以在线段上存在点 使直线与平面所成的角为 此时 14 分BCP 1 PA 1 ABD60 5 2 PB 19 本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值 常用逻辑用语等基础知识 考查数形结合思想 分类讨论思想和运算求解能力 抽象概括能力等 本小题满分14分 解 解 要使函数在上与轴有两个不同的交点 2 21 2f xxaxa 0 1x 必须 2分 0 1 01 0 f f a 0 0 即 4分 2 1 2 24 01 24 1 2 a a a aa 0 0 0 解得 1 21 2 a 数学 理科 试题 A 第 11 页 共 16 页 所以当时 函数在上与轴有两个不同的交点 5分 1 21 2 a 2 21 2f xxaxa 0 1x 下面求在上有最小值时的取值范围 g xxaax 0 a 方法方法1 1 因为 6分 1 1 a xaxa g x a xaxa 当时 在和上单调递减 在上无最小值 7分1a g x 0 a a g x 0 当时 在上有最小值 8分1a 1 21 1 x g x xx 1 g x 0 1 当时 在上单调递减 在上单调递增 01a g x 0 a a 在上有最小值 9分 g x 0 2 g aa 所以当时 函数在上有最小值 10分01a g x 0 方法方法2 因为 6分 1 1 a xaxa g x a xaxa 因为 所以 0a 10a 所以函数是单调递减的 7 1 10ya xaxa 分 要使在上有最小值 必须使在上单调递增或为常数 8 g x 0 2 1ya xa a 分 即 即 9分10a 1a 所以当时 函数在上有最小值 10分01a g x 0 若是真命题 则是真命题且是真命题 即是假命题且是真命题 11 pq p qpq 分 所以 12分 1 021 2 01 aa a 或 解得或 13021a 1 1 2 a 分 数学 理科 试题 A 第 12 页 共 16 页 故实数的取值范围为 14分a 1 0 21 1 2 20 本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系 导数的几何意义等基础知识 考查运算 求解能力和推理论证能力等 本小题满分14分 解 解 1 方法方法 1 设动圆圆心为 依题意得 1 x y 2 2 11xyy 分 整理 得 所以轨迹的方程为 2 2 4xy M 2 4xy 分 方法方法 2 设动圆圆心为 依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等 PP 0 1FP1y 根据抛物线的定义可知 动点的轨迹是抛物线 1P 分 且其中定点为焦点 定直线为准线 0 1F1y 所以动圆圆心的轨迹的方程为 2 分PM 2 4xy 2 由 1 得 即 则 2 4xy 2 1 4 yx 1 2 yx 设点 由导数的几何意义知 直线 的斜率为 3 分 2 00 1 4 D xx l 0 1 2 BC kx 由题意知点 设点 2 00 1 4 Axx 2 11 1 4 C xx 2 22 1 4 B xx 则 即 4 22 12 12 0 12 11 1 44 42 BC xx xx kx xx 120 2xxx 分 因为 22 10 10 10 11 44 4 AC xx xx k xx 5 分 22 20 20 20 11 44 4 AB xx xx k xx A B C D O x y l E 数学 理科 试题 A 第 13 页 共 16 页 由于 即 6 分 120 1020 2 0 444 ACAB xxxxxxx kk ACAB kk 所以 7 分BADCAD 3 方法方法 1 由点到的距离等于 可知 8 分DAB 2 2 ADBAD 45 不妨设点在上方 如图 即 直线的方程为 CAD 21 xx AB 2 00 1 4 yxxx 由 2 00 2 1 4 4 yxxx xy 解得点的坐标为 10 分B 2 00 1 4 4 4 xx 所以 000 242 22ABxxx 由 2 知 同理可得 11 分CADBAD 45 0 2 22ACx 所以 的面积 ABC 2 000 1 2 222 224420 2 Sxxx 解得 12 0 3x 分 当时 点的坐标为 0 3x B 1 1 4 3 2 BC k 直线的方程为 即 13 分BC 13 1 42 yx 6470 xy 当时 点的坐标为 0 3x B 49 7 4 3 2 BC k 直线的方程为 即 14BC 493 7 42 yx 6470 xy 分 方法方法 2 由点到的距离等于 可知 8 分DAB 2 2 ADBAD 45 由 2 知 所以 即 CADBAD 45 CAB 90 ACAB 由 2 知 10 4 AC xx k 20 4 AB xx k 数学 理科 试题 A 第 14 页 共 16 页 所以 1020 1 44 ACAB xxxx kk 即 1020 16xxxx 由 2 知 120 2xxx 不妨设点在上方 如图 即 由 解得 10分CAD 21 xx 10 20 4 4 xx xx 因为 2 2 22 20200 11 2 22 44 ABxxxxx 同理 11 0 2 22ACx 分 以下同方法1 21 本小题主要考查函数的零点 函数的导数和不等式的证明等基础知识 考查运算求解能力和推理论 证能力等 本小题满分14分 证明 证明 1 因为 且在上的图像是一条连续曲线 010f 2 10fn f xR 所以函数在内有零