高一物理匀速圆周运动专题

1 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看 匀速圆周运动上承牛顿运动定律 下接万有引力 因此在 高一物理中占据极其重要的地位 同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动 及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础 一 基础知识 1 匀速圆周运动的基本概念和公式 1 线速度大小 方向沿圆周的切线方向 时刻变化 T r t s v 2 2 角速度 恒定不变量 Tt 2 3 周期与频率 f T 1 4 向心力 总指向圆心 时刻变化 向心加速度 2 2 mr r mv F 2 2 r r v a 方向与向心力相同 5 线速度与角速度的关系为 的关系为rv v Tf 所以在 中若一个量确定 其余两个量也就确定了 而rfr T r v 2 2 Tf 还和有关 vr 2 质点做匀速圆周运动的条件 1 具有一定的速度 2 受到的合力 向心力 大小不变且方向始终与速度方向垂直 合力 向心力 与 速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心 3 向心力有关说明 向心力是一种效果力 任何一个力或者几个力的合力 或者某一个力的某个分力 只 要其效果是使物体做圆周运动的 都可以认为是向心力 做匀速圆周运动的物体 向心力 就是物体所受的合力 总是指向圆心 做变速圆周运动的物体 向心力只是物体所受合外 力在沿着半径方向上的一个分力 合外力的另一个分力沿着圆周的切线 使速度大小改变 所以向心力不一定是物体所受的合外力 二 解决圆周运动问题的步骤 1 确定研究对象 2 确定圆心 半径 向心加速度方向 3 进行受力分析 将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向 4 根据向心力公式 列牛顿第二定律方程求解 基本规律 径向合外力提供向心力 向合 FF 三 常见问题及处理要点 1 皮带传动问题 例 1 如图 1 所示 为一皮带传动装置 右轮的半径为 r a 是它边缘上的一点 左侧 是一轮轴 大轮的半径为 4r 小轮的半径为 2r b 点在小轮上 到小轮中心的距离为 r c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上 若在传动过程中 皮带不打滑 则 A a 点与 b 点的线速度大小相等 2 B a 点与 b 点的角速度大小相等 C a 点与 c 点的线速度大小相等 D a 点与 d 点的向心加速度大小相等 4r d c 2r b r a r 图 1 解析 解析 皮带不打滑 故 a c 两点线速度相等 选 C c 点 b 点在同一轮轴上角速度 相等 半径不同 由 b 点与 c 点线速度不相等 故 a 与 b 线速度不等 A 错 同 rv 样可判定 a 与 c 角速度不同 即 a 与 b 角速度不同 B 错 设 a 点的线速度为 则 a 点向v 心加速度 由 所以 故 D 正 r v aa 2 rvc2 rvd4 acd vvv22 da aa 确 本题正确答案 C D 点评 点评 处理皮带问题的要点为 皮带 链条 上各点以及两轮边缘上各点的线速度大 小相等 同一轮上各点的角速度相同 2 水平面内的圆周运动 转盘 物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动 物体与转盘间分无绳和有绳两种情 况 无绳时由静摩擦力提供向心力 有绳要考虑临界条件 例 1 如图 2 所示 水平转盘上放有质量为 m 的物体 当物块到转轴的距离为 r 时 连接物块和转轴的绳刚好被拉直 绳上张力为零 物体和转盘间的最大静摩擦力是其正 压力的倍 求 1 当转盘的角速度时 细绳的拉力 r g 2 1 1 T F 2 当转盘的角速度时 细绳的拉力 r g 2 3 2 2T F r O 图 2 解析 解析 设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为 则 0 解得rmmg 2 0 r g 0 1 因为 所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力 则物 01 2 r g 与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力 细绳的拉力仍为 0 即 0 1 T F 3 2 因为 所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力 02 2 3 r g 则细绳将对物体施加拉力 由牛顿第二定律得 解得 2T FrmmgFT 2 22 2 2 mg FT 点评 点评 当转盘转动角速度时 物体有绳相连和无绳连接是一样的 此时物体做 0 圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的 求出 可见 是 r g 00 物体相对圆台运动的临界值 这个最大角速度与物体的质量无关 仅取决于和 r 这 0 一结论同样适用于汽车在平路上转弯 圆锥摆 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动 其特点是由物体 所受的重力与弹力的合力充当向心力 向心力的方向水平 也可以说是其中弹力的水平分 力提供向心力 弹力的竖直分力和重力互为平衡力 例 2 小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动 试分析图 3 中的 小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角 与线速度 v 周期 T 的关系 小球的半径 远小于 R FN G F 图 3 解析 解析 小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上 不在半球的球心 向 心力 F 是重力 G 和支持力的合力 所以重力和支持力的合力方向必然水平 如图 3 所 N F 示有 2 22 4 sin sin tan T mR R mv mg 由此可得 sintangRv g R T cos 2 可见 越大 即轨迹所在平面越高 v 越大 T 越小 点评 点评 本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯 飞机在水平面内做匀速圆周飞行 等在水平面内的匀速圆周运动的问题 共同点是由重力和弹力的合力提供向心力 向心力 方向水平 3 竖直面内的圆周运动 竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类 图 4 G F 绳 F G 图 4 这类问题的特点是 由于机械能守恒 物体做圆周运动的速率时刻在改变 所以物体 4 在最高点处的速率最小 在最低点处的速率最大 物体在最低点处向心力向上 而重力向 下 所以弹力必然向上且大于重力 而在最高点处 向心力向下 重力也向下 所以弹力 的方向就不能确定了 要分三种情况进行讨论 1 弹力只可能向下 如绳拉球 这种情况下有 即mg R mv mgF 2 否则不能通过最高点 gRv 2 弹力只可能向上 如车过桥 在这种情况下有 mg R mv Fmg 2 否则车将离开桥面 做平抛运动 gRv 3 弹力既可能向上又可能向下 如管内转 或杆连球 环穿珠 这种情况下 速 度大小 v 可以取任意值 但可以进一步讨论 a 当时物体受到的弹力必然是向下gRv 的 当时物体受到的弹力必然是向上的 当时物体受到的弹力恰好为gRv gRv 零 b 当弹力大小时 向心力有两解 当弹力大小时 向心力mgF Fmg mgF 只有一解 当弹力时 向心力等于零 这也是物体恰能过最高点的临界mgF mgF 条件 结合牛顿定律的题型 例 3 如图 5 所示 杆长为 球的质量为 杆连球在竖直平面内绕轴 O 自由转动 lm 已知在最高点处 杆对球的弹力大小为 求这时小球的瞬时速度大小 mgF 2 1 图 5 解析 解析 小球所需向心力向下 本题中 所以弹力的方向可能向上也可mgmgF 2 1 能向下 1 若 F 向上 则 l mv Fmg 2 2 gl v 2 若 F 向下 则 l mv Fmg 2 2 3gl v 点评 点评 本题是杆连球绕轴自由转动 根据机械能守恒 还能求出小球在最低点的即时 速度 需要注意的是 若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动 则运动 过程中小球的机械能不再守恒 这两类题一定要分清 例 4 如图 10 光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A B 相距 长的ml1 0 0 ml1 柔软细线一端拴在 A 上 另一端拴住一个质量为 500g 的小球 小球的初始位置在 AB 连 线上 A 的一侧 把细线拉直 给小球以 2m s 的垂直细线方向的水平速度 使它做圆周运 动 由于钉子 B 的存在 使细线逐步缠在 A B 上 若细线能承受的最大拉力 NFTm7 则从开始运动到细线断裂的时间为多少 5 A B 图 10 解析 解析 小球转动时 由于细线逐步绕在 A B 两钉上 小球的转动半径逐渐变小 但 小球转动的线速度大小不变 小球交替地绕 A B 做匀速圆周运动 线速度不变 随着转动半径的减小 线中拉力 不断增大 每转半圈的时间 t 不断减小 T F 在第一个半圆内 l mv FT 2 1 v l t 1 在第二个半圆内 0 2 2 ll mv FT v ll t 0 2 在第三个半圆内 0 2 3 2ll mv FT v ll t 2 0 3 在第 n 个半圆内 0 2 1 lnl mv FTn v lnl tn 1 0 令 得 即在第 8 个半圆内线还未断 n 取 8 经历的时间为NFF TmTn 7 1 8 n sl nn nl v lnnl v tttt n 2 8 2 1 1 321 0021 6 结合能量的题型 例 4 一内壁光滑的环形细圆管 位于竖直平面内 环的半径为 R 比细管的半径大 得多 在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 A B 质量分别为 沿环 1 m 2 m 形管顺时针运动 经过最低点的速度都是 当 A 球运动到最低点时 B 球恰好到最高点 0 v 若要此时作用于细管的合力为零 那么 R 和应满足的关系是 1 m 2 m 0 v 解析 解析 由题意分别对 A B 小球和圆环进行受力分析如图 6 所示 对于 A 球有 R vm gmFN 2 01 11 对于 B 球有 R vm gmFN 2 2 22 根据机械能守恒定律Rgmvmvm2 2 1 2 1 2 2 2 2 02 由环的平衡条件0 1 2 NN FF 而 11NN FF 22NN FF 由以上各式解得0 5 2 02121 vmmgRmm B v FN2 m2g FN1 v0 m1g A FN2 FN1 图 6 点评 点评 圆周运动与能量问题常联系在一起 在解这类问题时 除要对物体受力分析 运用圆周运动知识外 还要正确运用能量关系 动能定理 机械能守恒定律 连接问题的题型 例 5 如图 7 所示 一根轻质细杆的两端分别固定着 A B 两个质量均为 m 的小球 O 点是一光滑水平轴 已知 使细杆从水平位置由静止开始转动 当lAO lOB2 B 球转到 O 点正下方时 它对细杆的拉力大小是多少 7 O B A 图 7 解析 解析 对 A B 两球组成的系统应用机械能守恒定律得 22 2 1 2 1 2 BA mvmvmgllmg 因 A B 两球用轻杆相连 故两球转动的角速度相等 即 l v l v BA 2 设 B 球运动到最低点时细杆对小球的拉力为 由牛顿第二定律得 T F l mv mgF B T 2 2 解以上各式得 由牛顿第三定律知 B 球对细杆的拉力大小等于 mgFT8 1 mg8 1 方向竖直向下 说明 说明 杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同 这是与后面解决双子星问题 的共同点 四 难点问题选讲 1 极值问题 例 6 如图 8 所示 用细绳一端系着的质量为的物体 A 静止在水平转盘上 kgM6 0 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为的小球 B A 的重心到 O 点kgm3 0 的距离为 若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 为使小球 B 保持静止 求转m2 0NFf2 盘绕中心 O 旋转的角速度的取值范围 取 2 10smg O B A 图 8 解析 解析 要使 B 静止 A 必须相对于转盘静止 具有与转盘相同的角速度 A 需要的 向心力由绳拉力和静摩擦力合成 角速度取最大值时 A 有离心趋势 静摩擦力指向圆心 O 角速度取最小值时 A 有向心运动的趋势 静摩擦力背离圆心 O 对于 B mgFT 对于 A 2 1 MrFF fT 2 2 MrFF fT 联立解得 srad 5 6 1 srad 9 2 2 所以sradsrad 5 6 9 2 8 点评 点评 在水平面上做圆周运动的物体 当角速度变化时 物体有远离或向着圆心运 动的 半径有变化 趋势 这时要根据物体的受力情况 判断物体受的某个力是否存在以 及这个力存在时方向朝哪 特别是一些接触力 如静摩擦力 绳的拉力等 2 微元问题 例 7 如图 9 所示 露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成 列车先沿光 滑水平轨道行驶 然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道 若列车全长为 l l R 远大于一节车厢的长度和高度 那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大 R 2 才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道 车厢间的距离不计 O R v0 图 9 解析 解析 当列车进入轨道后 动能逐渐向势能转化 车速逐渐减小 当车厢占满环时的 速度最小 设运行过程中列车的最小速度为 v 列车质量为 m 则轨道上的那部分车的质 量为 l Rm 2 由机械能守恒定律得gR l Rm mvmv 2 2 1 2 1 22 0 由圆周运动规律可知 列车的最小速率 联立解得gRv l gR gRv 2 0 4 3 数理问题 例 8 如图 10 光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A B 相距 长的ml1 0 0 ml1 柔软细线一端拴在 A 上 另一端拴住一个质量为 500g 的小球 小球的初始位置在 AB 连 线上 A 的一侧 把细线拉直 给小球以 2m s 的垂直细线方向的水平速度 使它做圆周运 动 由于钉子 B 的存在 使细线逐步缠在 A B 上 若细线能承受的最大拉力 NFTm7 则从开始运动到细线断裂的时间为多少 A B 图 10 解析 解析 小球转动时 由于细线逐步绕在 A B 两钉上 小球的转动半径逐渐变小 但 小球转动的线速度大小不变 小球交替地绕 A B 做匀速圆周运动 线速度不变 随着转动半径的减小 线中拉力 不断增大 每转半圈的时间 t 不断减小 T F 在第一个半圆内 l mv FT 2 1 v l t 1 在第二个半圆内 0 2 2 ll mv FT v ll t 0 2 在第三个半圆内 0 2 3 2ll mv FT v ll t 2 0 3 在第 n 个半圆内 0 2 1 lnl mv FTn v lnl tn 1 0 9 令 得 即在第 8 个半圆内线还未断 n 取 8 经历的时间为NFF TmTn 7 1 8 n sl nn nl v lnnl v tttt n 2 8 2 1 1 321 0021 模拟试题模拟试题 1 关于互成角度 不为零度和 180 的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合 运动 下列说法正确的是 A 一定是直线运动 B 一定是曲线运动 C 可能是直线 也可能是曲线运动 D 以上答案都不对 2 一架飞机水平匀速飞行 从飞机上每隔 1s 释放一个铁球 先后释放 4 个 若不计空 气阻力 则这 4 个球 A 在空中任何时刻总是排列成抛物线 它们的落地点是等间距的 B 在空中任何时刻总是排列成抛物线 它们的落地点是不等间距的 C 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线 它们的落地点是不等间距的 D 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线 它们的落地点是等间距的 3 图 1 中所示为一皮带传动装置 右轮的半径为 r a 是它边缘上的一点 左侧是一轮轴 大轮的半径为 小轮的半径为 点在小轮上 到小轮中心的距离为 点和r4r2brc 点分别位于小轮和大轮的边缘上 若在传动过程中 皮带不打滑 则 d A a 点与 b 点的线速度大小相等 B a 点与 b 点的角速度大小相等 C a 点与 c 点的线速度大小相等 D a 点与 d 点的周期大小相等 4r c 2r b r a r d 图 1 4 在抗洪抢险中 战士驾驶摩托艇救人 假设江岸是平直的 洪水沿江向下游流去 水 流速度为 摩托艇在静水中的航速为 战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 1 v 2 v d 如战士想在最短时间内将人送上岸 则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为 A B C D 2 1 2 2 2 vv dv 0 2 1 v v d 1 2 v dv 5 火车轨道在转弯处外轨高于内轨 其高度差由转弯半径与火车速度确定 若在某转弯 处规定行驶速度为 则下列说法中正确的是 v 当以的速度通过此弯路时 火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力v 当以的速度通过此弯路时 火车重力 轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提v 供向心力 当速度大于 v 时 轮缘挤压外轨 当速度小于 v 时 轮缘挤压外轨 A B C D 6 在做 研究平抛物体的实验 时 让小球多次沿同一轨道运动 通过描点法画小球做 10 平抛运动的轨迹 为了能较准确地描绘运动轨迹 下面列出了一些操作要求 将你认为正 确的选项前面的字母填在横线上 A 通过调节使斜槽的末端保持水平 B 每次释放小球的位置必须不同 C 每次必须由静止释放小球 D 记录小球位置用的木条 凹槽 每次必须严格地等距离下降 E 小球运动时不应与木板上的白纸 或方格纸 相接触 F 将球的位置记录在纸上后 取下纸 用直尺将点连成折线 7 试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速的实验方法 根据实验器材 弹射 器 含弹丸 见图 2 所示 铁架台 带有夹具 米尺 1 在安装弹射器时应注意 2 实验中需要测量的量是 3 由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等 在实验中应采取的