2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

2019 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 4 数列 数列 一 选择题 1 2019 年高考上海卷 理 在数列中 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元 n a21 n n a 素 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 i jijij aa aaa 1 2 7 1 2 12ij A 18 B 28 C 48 D 63 答案 A 2 2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已知数列满足 n a 则的前 10 项和等于 12 4 30 3 nn aaa n a A B C D 10 6 1 3 10 1 1 3 9 10 3 1 3 10 3 1 3 答案 C 3 2019 年高考新课标 1 理 设的三边长分别为 的面积为 nnn A B C nnn a b c nnn A B C n S 若 则 1 2 3 n 11111 2bc bca 111 22 nnnn nnnn caba aa bc A Sn 为递减数列 B Sn 为递增数列 C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 答案 B 4 2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 函数的图像如图所示 y f x 在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是 a b 2 n n 12 n x xx 12 12 n n f xf xf x xxx n A B C D 3 4 2 3 4 3 4 5 2 3 答案 B 5 2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 已知等比数列的公比为 q 记 n a 1 1 1 2 1 nm nm nm nm baaa 则以下结论一定正确的是 A 数列为等差数 1 1 1 2 1 nm nm nm nm caaam nN n b 列 公差为 B 数列为等比数列 公比为 m q n b 2m q C 数列为等比数列 公比为 D 数列为等比数列 公比为 n c 2 m q n c m m q 答案 C 6 2019 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 等比数列 n a的前 n项和为 n S 已知 123 10aaS 9 5 a 则 1 a A 3 1 B 3 1 C 9 1 D 9 1 答案 C 7 2019 年高考新课标 1 理 设等差数列的前项和为 则 n an 11 2 0 3 nmmm SSSS m A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 8 2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 下面是关于公差的等差数0d 列的四个命题 n a 1 n pa数列是递增数列 2 n pna数列是递增数列 3 n a p n 数列是递增数列 4 3 n pand 数列是递增数列 其中的真命题为 A B C D 12 p p 34 pp 23 pp 14 p p 答案 D 9 2019 年高考江西卷 理 等比数列 x 3x 3 6x 6 的第四项等于 A 24 B 0 C 12 D 24 答案 A 二 填空题 10 2019 年高考四川卷 理 在等差数列中 且为和的等比中项 求数列 n a 21 8aa 4 a 2 a 3 a 的首项 公差及前项和 n an 答案 解 设该数列公差为 前项和为 由已知 可得 dn n s 2 1111 228 38adadadad 所以 11 4 30add da 解得 或 即数列的首相为 4 公差为 0 或首相为 1 公差为 3 1 4 0ad 1 1 3ad n a 所以数列的前项和或 n4 n sn 2 3 2 n nn s 11 2019 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 等差数列 n a的前 n项和为 n S 已知 1015 0 25SS 则 n nS的最小值为 答案 49 12 2019 年高考湖北卷 理 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数 1 3 6 10 第个三角形数为 记第个边形数为 以下列出了n 2 111 222 n n nn nk N n k 3k 部分边形数中第个数的表达式 kn 三角形数 2 11 3 22 N nnn 正方形数 2 4N nn 五边形数 2 31 5 22 N nnn 六边形数 2 62N nnn 可以推测的表达式 由此计算 N n k 10 24N 选考题 答案 1000 13 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 在正项等比 数列中 则满足的最大正整数 的值为 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 n 答案 12 14 2019 年高考湖南卷 理 设为数列的前 n 项和 则 n S n a 1 1 2 n nn n SanN 1 2 3 a 12100 SSS 答案 1 16 100 11 1 3 2 15 2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 当时 有如下表达 1xR x 式 2 1 1 1 n xxx x 两边同时积分得 11111 2 22222 00000 1 1 1 n dxxdxx dxx dxdx x 从而得到如下等式 231 1111111 1 ln2 2223212 n n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法 计算 012 231 1111111 2223212 n n nnnn n CCCC 答案 1 13 1 12 n n 16 2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 含答案 已知 n a是等差数列 1 1a 公 差0d n S为其前n项和 若 125 a a a成等比数列 则 8 S 答案 64 17 2019 年上海市春季高考数学试卷 含答案 若等差数列的前 6 项和为 23 前 9 项和为 57 则数列的前 项和 n n S 答案 2 57 66 nn 18 2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 在等差数列中 已知 n a 则 答案 38 10aa 57 3aa 20 19 2019 年高考陕西卷 理 观察下列等式 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 第n个等式可为 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 答案 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 20 2019 年高考新课标 1 理 若数列 n a 的前n项和为 Sn 21 33 n a 则数列 n a 的通项公式是 n a 答案 n a 1 2 n 21 2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯WORD版 如图 互不 相同的点 和分别在角O的两条边上 所有相互平行 且所有梯形 12 n A AX 12 n B BB nn A B 的面积均相等 设若则数列的通项公式是 11nnnn A B BA nn OAa 12 1 2 aa n a 答案 22 2019 年高考北京卷 理 若等比数列 an 满足 23Nnnan a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和Sn 答案 2 23 2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 已知等比 1 22 n 数列是递增数列 是的前项和 若是方程的两个根 则 n a n S n an 13 aa 2 540 xx 6 S 答案 63 三 解答题 24 2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 设函数 证明 22 222 1 23 n n n xxx fxxxR nN n 对每个 存在唯一的 满足 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 对任意 由 中构成的数列满足 n pN n x n x 1 0 nnp xx n 答案 解 是 x 的单调递增函数 也 22 4 2 3 2 2 2 432 1 0 n xxxx xxf n x yx n n n 是单调递增的时 当 是 n 的单调递增函数 011 1 01 0 nn ff且 010 1 0 321 nnnn xxxxxfx 且满足存在唯一 x x x x xx x xxxx xxfx nn n 1 1 4 1 1 1 4 1 2222 1 1 0 212 22 4 2 3 2 2 时当 1 3 2 0 23 2 1 1 4 1 0 2 nnn n n nnn xxx x x xxf 综上 对每个 存在唯一的 满足 证毕 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 由题知 0 432 1 01 22 4 2 3 2 2 n xxxx xxfxx n nnnn nnnpnn 上式相减 0 1 432 1 22 1 22 4 2 3 2 2 pn x n x n xxxx xxf pn pn n pn n pnpnpnpn pnpnpn 22 1 22 4 2 3 2 2 22 4 2 3 2 2 1 432432pn x n x n xxxx x n xxxx x pn pn n pn n pnpnpnpn pn n nnnn n 22 1 22 44 2 33 2 22 1 4 3 2 pn x n x n xxxxxxxx xx pn pn n pn n n n pnnpnnpnnpn pnn n xx npnn pnn 1 111 法二 25 2019 年高考上海卷 理 3 分 6 分 9 分 给定常数 定义函数 数0c 2 4 f xxcxc 列满足 123 a a a 1 nn af anN 1 若 求及 2 求证 对任意 1 2ac 2 a 3 a 1 nn nNaac 3 是否存在 使得成等差数列 若存在 求出所有这样的 若不存在 说明理由 1 a 12 n a aa 1 a 答案 1 因为 故 0c 1 2 ac 2111 2 4 2af aacac 3122 2 4 10af aacacc 2 要证明原命题 只需证明对任意都成立 f xxc xR 2 4 f xxcxcxcxc 即只需证明 2 4 xcxcxc 若 显然有成立 0 xc 2 4 0 xcxcxc 若 则显然成立 0 xc 2 4 4xcxcxcxcxc 综上 恒成立 即对任意的 f xxc nN 1nn aac 3 由 2 知 若为等差数列 则公差 故 n 无限增大时 总有 n a0dc 0 n a 此时 1 2 4 8 nnnnn af aacacac 即 8dc 故 21111 2 4 8af aacacac 即 111 2 4 8acacac 当时 等式成立 且时 此时为等差数列 满足题意 1 0ac 2n 0 n a n a 若 则 1 0ac 11 4 48acac 此时 也满足题意 23 0 8 2 8 n aacanc 综上 满足题意的的取值范围是 1 a 8 cc 26 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 10 分 设数列 即当 122 3 3 34444 n a 1 1 1 1 k kk kk 个 时 记 对于 定义 11 22 kkk k n kN 1 1 k n ak 12nn Saaa nN lN 集合 l P1 nn n SanNnl 是的整数倍 且 1 求集合中元素的个数 2 求集合中元素的个数 11 P 2000 P 答案 本题主要考察集合 数列的概念与运算 计数原理等基础知识 考察探究能力及运用数学归纳法分 析解决问题能力及推理论证能力 1 解 由数列的定义得 n a1 1 a2 2 a2 3 a3 4 a3 5 a3 6 a4 7 a4 8 a 4 9 a4 10 a5 11 a 1 1 S1 2 S3 3 S0 4 S3 5 S6 6 S2 7 S2 8 S6 9 S10 10 S 5 11 S 11 1 aS 44 0 aS 55 1 aS 66 2 aS 1111 1 aS 集合中元素的个数为 5 11 P 2 证明 用数学归纳法先证 12 12 iiS ii 事实上 当时 故原式成立 1 i3 12 1 3 12 SS ii 假设当时 等式成立 即 故原式成立 mi 12 12 mmS mm 则 时 1 mi 2222 12 32 1 1 1 2 1 22 12 12 22 12 mmmmmmSSS mmmmmm 32 1 352 2 mmmm 综合 得 于是 12 12 iiS ii 1 12 12 12 12 22 12 12 1 iiiiiiSS iiii 由上可知 是的倍数 12 ii S 12 i 而 所以是 12 2 1 12 12 1 ijia jii 12 12 12 ijSS iijii 的倍数 12 2 1 12 1 ija jii 又不是的倍数 12 1 12 1 iiS ii 22 i 而 22 2 1 22 12 1 ijia jii 所以不是的 22 1 12 22 12 1 12 1 ijiiijSS iijii 22 2 1 12 1 ija jii 倍数 故当时 集合中元素的个数为 12 iil l P 2 i1 i 231 于是当时 集合中元素的个数为 1i 2j1j 12 iil l Pji2 又 471312312000 故集合中元素的个数为 2000 P100847312 27 2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 在公差为的等差数列d 中 已知 且成等比数列 n a10 1 a 321 5 22 aaa 1 求 2 若 求 n ad 0 d 321n aaaa 答案 解 由已知得到 222 21 311 22 54 1 50 2 11 25 5 aa aadaddd 22 41 1212212525340 4611 nn dd ddddd anan 或 由 1 知 当时 0d 11 n an 当时 111n 123123 1011 21 0 22 nnn nnnn aaaaaaaaa A A AA A A 当时 12n 123123111213 2 12311123 0 11 21 11 21 21220 2 2 222 nnn n aaaaaaaaaaaa nnnn aaaaaaaa A A AA A AA A A A A AA A A 所以 综上所述 123 2 21 111 2 21220 12 2 n nn n aaaa nn n A A A 28 2019 年高考湖北卷 理 已知等比数列满足 I 求数列 n a 23 10aa 123 125a a a 的通项公式 n a II 是否存在正整数 使得 若存在 求的最小值 若不存在 说明理由 m 12 111 1 m aaa m 答案 解 I 由已知条件得 又 2 5a 2 110a q 13q 或 所以数列的通项或 n a 2 5 3n n a II 若 不存在这样的正整数 1q 12 1111 0 5 m aaa 或m 若 不存在这样的正整数 3q 12 111919 1 10310 m m aaa m 29 2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 设等差数列的前 n 项和为 且 n a n S 42 4SS 2 21 nn aa 求数列的通项公式 n a 设数列前 n 项和为 且 为常数 令 求数列的前 n n b n T 1 2 n n n a T 2nn cb nN n c 项和 n R 答案 解 设等差数列的首项为 公差为 n a 1 a d 由 得 42 4SS 2 21 nn aa 11 11 4684 21 22 1 1 adad anand 解得 1 1a 2d 因此 21 n an nN 由题意知 1 2 n n n T 所以时 2n 1 12 1 22 nnn nn nn bTT 故 1 2 21 221 1 24 n nn n n cbn nN 所以 01231 11111 0 1 2 3 1 44444 n n Rn 则 1231 111111 0 1 2 2 1 444444 nn n Rnn 两式相减得 1231 311111 1 444444 nn n Rn 11 1 44 1 1 4 1 4 n n n 整理得 1 131 4 94 n n n R 所以数列数列的前 n 项和 n c 1 131 4 94 n n n R 30 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 其中 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 Nn 为实数 c 1 若 且成等比数列 证明 2 若是等差数列 证明 0 c 421 bbb或或 knk SnS 2 Nnk n b0 c 答案 证明 是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 n aad 0 d n Sn d nn naSn 2 1 1 0 cd n a n S b n n 2 1 成等比数列 421 bbb或或 41 2 2 bbb 2 3 2 1 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad0 2 1 2 1 dad0 dda 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 1 2 1 左边 右边 aknankSnk 222 aknSn k 222 左边 右边 原式成立 2 是等差数列 设公差为 带入得 n b 1 d 11 1 dnbbn cn nS b n n 2 对恒成立 11 1 dnb cn nSn 2 2 1 2 1 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd Nn 0 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由 式得 dd 2 1 1 0 d0 1 d 由 式得 0 c 法二 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb或或 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2