数学建模作业8-牙膏销售量模型

佛山科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 牙膏销售量模型 专业班级 姓 名 学 号 一 问题提出一 问题提出 根据牙膏销售量与价格 广告费等表格 1 中的数据 建立三个模型 要求 1 画出散点图 y 对 x1 的散点图 1 y 对 x2 的散点图 2 2 确定回归模型系数 求解出教程中模型 3 3 对模型进行改进 确定回归模型系数 求解出教程中模型 5 4 对模型进一步改进 求解出教程中模型 10 二 问题分析二 问题分析 由于牙膏是生活必需品 对大多数顾客来说 在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同 品牌之间的价格差异 而不是它们的价格本身 因此 在研究各个因素对销售量的影响时 用 价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适 三 模型假设三 模型假设 记牙膏销售量为 其他厂家平均价格和公司销售价格之差 价格差 为 公司投入的y 1 x 广告费用为 其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和 基于上面的 2 x 3 x 4 x 134 xxx 分析 我们仅利用和来建立的预测模型 1 x 2 xy 四 模型建立四 模型建立 显示模型函数的构造过程 1 为了大致地分析 为了大致地分析 y 与与和和的关系 首先利用表的关系 首先利用表 1 的数据分别作出的数据分别作出 y 对对和和的散的散 1 x 2 x 1 x 2 x 点图 点图 建立程序 chengxu1 m 如下 y 7 38 8 51 9 52 7 50 9 33 8 28 8 75 7 87 7 10 8 00 7 89 8 15 9 10 8 86 8 90 8 87 9 26 9 00 8 75 7 95 7 65 7 27 8 00 8 50 8 75 9 21 8 27 7 67 7 93 9 26 x1 0 05 0 25 0 60 0 0 25 0 20 0 15 0 05 0 15 0 15 0 20 0 10 0 40 0 45 0 35 0 30 0 50 0 50 0 40 0 05 0 05 0 10 0 20 0 10 0 50 0 60 0 05 0 0 05 0 55 x2 5 50 6 75 7 25 5 50 7 00 6 50 6 75 5 25 5 25 6 00 6 50 6 25 7 00 6 90 6 80 6 80 7 10 7 00 6 80 6 50 6 25 6 00 6 50 7 00 6 80 6 80 6 50 5 75 5 80 6 80 a polyfit x1 y 1 y1 polyval a x1 b polyfit x2 y 2 x3 5 00 0 05 7 25 y2 polyval b x3 subplot 2 1 1 plot x1 y x1 y1 b title 1 y x1 subplot 2 1 2 plot x2 y o x3 y2 b title 2 y x2 从图 1 可以发现 随着的增加 y 的值有比较明显的线性增长趋势 图中的直线是用线 1 x 性模型 01 1 1 yx 拟合的 其中是随机变量 而在图 2 中 当增大时 有向上弯曲增加的趋势 图中的 2 xy 曲线是用二次函数模型 2 01222 2 yxx 拟合的 综合上面的分析 结合模型 1 和 2 建立如下的回归模型 2 01 12232 3 yxxx 3 式右端和称为回归变量 自变量 是给定价差 广告费 1 x 2 x 2 01 12232 xxx 1 x 用时 牙膏销售量的平均值 其中的参数称为回归系数 由表 1 的数据估计 2 xy 0123 影响 y 的其他因素作用都包含在随机误差中 如果模型选择合适 应该大致服从均值为 0 的正态分布 五 模型求解五 模型求解 显示模型的求解方法 步骤及运算程序 结果 2 确定回归模型系数 求解出教程中模型 确定回归模型系数 求解出教程中模型 3 建立程序chengxu2 m如下 x1 0 05 0 25 0 60 0 0 25 0 20 0 15 0 05 0 15 0 15 0 20 0 10 0 40 0 45 0 35 0 30 0 50 0 50 0 40 0 05 0 05 0 10 0 20 0 10 0 50 0 60 0 05 0 0 05 0 55 x2 5 50 6 75 7 25 5 50 7 00 6 50 6 75 5 25 5 25 6 00 6 50 6 25 7 00 6 90 6 80 6 80 7 10 7 00 6 80 6 50 6 25 6 00 6 50 7 00 6 80 6 80 6 50 5 75 5 80 6 80 X ones 30 1 x1 x2 x2 2 Y 7 38 8 51 9 52 7 50 9 33 8 28 8 75 7 87 7 10 8 00 7 89 8 15 9 10 8 86 8 90 8 87 9 26 9 00 8 75 7 95 7 65 7 27 8 00 8 50 8 75 9 21 8 27 7 67 7 93 9 26 b bint r rint stats regress Y X b bint stats 结果如下 b 17 3244 1 3070 3 6956 0 3486 bint 5 7282 28 9206 0 6829 1 9311 7 4989 0 1077 0 0379 0 6594 stats 0 9054 82 9409 0 0000 0 0490 表表 2 模型 模型 3 的计算结果 的计算结果 参数参数估计值参数置信区间 0 17 3244 5 7282 28 9206 1 1 3070 0 6829 1 9311 2 3 6956 7 4989 0 1077 3 0 3486 0 0379 0 6594 0 9054 F 82 9409 p 0 0001 0 0490 2 R 2 s 结果分析 结果分析 表 2 显示 0 9054 指因变量 销售量 的 90 54 可由模型确定 值远远 2 RyF 超过检验的临界值 远小于 因而模型 3 从整体来看是可用的 Fp 表 2 的回归系数给出了模型 3 中的估计值 即 0123 检查他们的置信区间发现 只 17 3244 1 3070 3 6956 0 3486 0312 有的置信区间包含零点 但区间右端点距零点很近 表明回归变量 对因变量 y 的影响 2 2 x 不是太显著 但由于是显著的 我们仍将变量保留在模型中 2 2 x 2 x 六 模型改进六 模型改进 3 对模型进行改进 确定回归模型系数 求解出教程中模型 对模型进行改进 确定回归模型系数 求解出教程中模型 5 模型 3 中回归变量和对因变量 y 的影响是相互独立的 即牙膏销售量 y 的均值与 1 x 2 x 广告费用的二次关系由回归系数和确定 而不依赖于价格差 同样 的均值与 2 x 2 3 1 xy 的线性关系由回归系数确定 而不依赖于 根据直觉和经验可以猜想 和之间的 1 x 1 2 x 1 x 2 x 交互作用会对有影响 不妨简单地用 的乘积代表它们的相互作用 于是将模型 3 y 1 x 2 x 增加一项 得到 2 01 12232412 5 yxxxx x 在这个模型中 的均值与的二次关系为 由系数确定 y 2 x 2 241232 x xx 234 并依赖于价格 1 x 建立程序 chengxu3 m 如下 x1 0 05 0 25 0 60 0 0 25 0 20 0 15 0 05 0 15 0 15 0 20 0 10 0 40 0 45 0 35 0 30 0 50 0 50 0 40 0 05 0 05 0 10 0 20 0 10 0 50 0 60 0 05 0 0 05 0 55 x2 5 50 6 75 7 25 5 50 7 00 6 50 6 75 5 25 5 25 6 00 6 50 6 25 7 00 6 90 6 80 6 80 7 10 7 00 6 80 6 50 6 25 6 00 6 50 7 00 6 80 6 80 6 50 5 75 5 80 6 80 X ones 30 1 x1 x2 x2 2 x1 x2 Y 7 38 8 51 9 52 7 50 9 33 8 28 8 75 7 87 7 10 8 00 7 89 8 15 9 10 8 86 8 90 8 87 9 26 9 00 8 75 7 95 7 65 7 27 8 00 8 50 8 75 9 21 8 27 7 67 7 93 9 26 b bint r rint stats regress Y X b bint stats 结果如下 b 29 1133 11 1342 7 6080 0 6712 1 4777 bint 13 7013 44 5252 1 9778 20 2906 12 6932 2 5228 0 2538 1 0887 2 8518 0 1037 stats 0 9209 72 7771 0 0000 0 0426 表表 3 模型 模型 5 的计算结果 的计算结果 参数参数估计值参数置信区间 0 29 1133 13 7013 44 5252 1 11 1342 1 9778 20 2906 2 7 6080 12 6932 2 5228 3 0 6712 0 2538 1 0887 4 1 4777 2 8518 0 1037 0 9209 F 72 7771 p 0 0001 0 0426 2 R 2 s 表 3 与表 2 的结果相比 有所提高 说明模型 5 比模型 3 有所进步 并且 所 2 R 有参数的置信区间 特别是 的交互作用项的系数的置信区间不包含零点 所以有 1 x 2 x 12 x x 4 理由相信模型 5 比模型 3 更符合实际 4 对模型进一步改进 求解出教程中模型 对模型进一步改进 求解出教程中模型 10 模型的进一步改进如下 模型的进一步改进如下 完全二次多项式模型 完全二次多项式模型 与和的完全二次多项式模型 1 x 2 x 22 01 13 124152 10 yxx xxx 相比 模型 5 只少项 我们不妨增加这一项 建立模型 10 这样做的好处之一是 2 2 x MATELAB 统计工具箱中有直接的命令 rstool 求解 并且以交互式画面给出的估计值和预yy 测区间 建立程序 chengxu4 m 如下 x1 0 05 0 25 0 60 0 0 25 0 20 0 15 0 05 0 15 0 15 0 20 0 10 0 40 0 45 0 35 0 30 0 50 0 50 0 40 0 05 0 05 0 10 0 20 0 10 0 50 0 60 0 05 0 0 05 0 55 x2 5 50 6 75 7 25 5 50 7 00 6 50 6 75 5 25 5 25 6 00 6 50 6 25 7 00 6 90 6 80 6 80 7 10 7 00 6 80 6 50 6 25 6 00 6 50 7 00 6 80 6 80 6 50 5 75 5 80 6 80 y 7 38 8 51 9 52 7 50 9 33 8 28 8 75 7 87 7 10 8 00 7 89 8 15 9 10 8 86 8 90 8 87 9 26 9 00 8 75 7 95 7 65