3.2.2复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 许昌县实验中学许昌县实验中学 王莹王莹 一 教学目标 一 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则 深刻理理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则 深刻理 解它是乘法运算的逆运算 解它是乘法运算的逆运算 2 2 过程与方法 过程与方法 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 复数的代数形式的乘除运算与多项式的乘除运算类似 教学复数的代数形式的乘除运算与多项式的乘除运算类似 教学 过程中我用类比的方法引导学生 提高学生的学习兴趣 过程中我用类比的方法引导学生 提高学生的学习兴趣 二 教学重难点二 教学重难点 教学重点 复数代数形式的除法运算 教学重点 复数代数形式的除法运算 教学难点 对复数除法法则的运用 教学难点 对复数除法法则的运用 三 教具准备 多媒体三 教具准备 多媒体 四 教学过程 四 教学过程 复习提问 复习提问 已知两复数已知两复数z z1 1 a b a bi i z z2 2 c d c di i a a b b c c d R d R 1 1 加法 减法法则 加法 减法法则 z z1 1 z z2 2 a a bibi c c didi a a c c b b d d i i z z1 1 z z2 2 a a bibi c c didi a a c c b b d d i i 即即 两个复数相加两个复数相加 减减 就是就是 实部与实部实部与实部 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加 减减 a bi a bi c di c di a c a c b d i b d i 2 2 加法运算律加法运算律 交换律交换律 z z1 1 z z2 2 z z2 2 z z1 1 结合律结合律 z z1 1 z z2 2 z z3 3 z z1 1 z z2 2 z z3 3 新课引入 新课引入 探究复数乘法运算 探究复数乘法运算 引例引例 a a b b c c d d ac ad bc bdac ad bc bd 两个复数的乘法是否可以用代数式的乘法运算 两个复数的乘法是否可以用代数式的乘法运算 设设z z1 1 a bi z z2 2 c di 是任意两个复数 那么它们的乘积为 是任意两个复数 那么它们的乘积为 a bi c di ac adi bci bdi i2 2 ac adi bci bd ac bd ad bc i 两个复数的乘法可以用两个代数式的乘法 把两个复数的乘法可以用两个代数式的乘法 把i i2 2换成换成 1 然后实 然后实 虚部分别合并 虚部分别合并 我们发现两个复数的乘积是一个确定的复数 我们发现两个复数的乘积是一个确定的复数 讲解新课 讲解新课 1 1 复数的乘法运算规则 复数的乘法运算规则 规定复数的乘法按照以下的法则进行 规定复数的乘法按照以下的法则进行 设设z z1 1 a a bibi z z2 2 c c didi a a b b c c d d R R 是任意两个复数 那么它是任意两个复数 那么它 们的积们的积 a a bibi c c didi acac bdbd bcbc adad i i 其实就是把两个复数相乘 类似两个多项式相乘 在所得的结其实就是把两个复数相乘 类似两个多项式相乘 在所得的结 果中把果中把i i2 2换成 换成 1 1 并且把实部与虚部分别合并 并且把实部与虚部分别合并 两个复数的积仍然两个复数的积仍然 是一个复数是一个复数 例题讲解例题讲解 例例 1 计算 计算 3 4i 2 3i 分析 类似两个多项式相乘 把分析 类似两个多项式相乘 把 i2 换成换成 1 解 原式解 原式 6 9i 8i 12i2 2 6 17i 12 6 17i 探究运算律 探究运算律 复数的乘法是否满足交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 复数的乘法是否满足交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 请验证乘法是否满足交换律请验证乘法是否满足交换律 对任意复数对任意复数z z1 1 a bi z z2 2 c di a b c d R 则则z z1 1 z z2 2 a bi c di ac adi bci bdi2 2 ac adi bci bd ac bd ad bc i 而而z z2 2 z z1 1 c di a bi ac bci adi bdi2 2 ac bd ad bc i z z1 1 z z2 2 z z2 2 z z1 1 同样的方法可以证明乘法的结合律和分配律同样的方法可以证明乘法的结合律和分配律 2 乘法运算律乘法运算律 对任意对任意z z1 1 z z2 2 z z3 3 C 有有 z z1 1 z z2 2 z z2 2 z z1 1 交换律交换律 z z1 1 z z2 2 z z3 3 z z1 1 z z2 2 z z3 3 结合律结合律 z z1 1 z z2 2 z z3 3 z z1 1 z z2 2 z z1 1 z z3 3 分配律分配律 例题讲解例题讲解 例例 2 计算计算 1 1 1 1 i i 2 2 2 2 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 解 解 1 1 1 1 i i 2 2 1 2 1 2 i ii i2 2 1 2 1 2 i 1 2i 1 2 i i 2 2 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 3 32 2 4i4i 2 2 9 16 25 9 16 25 点评 实数集中的完全平方公式 平方差等公式在复数集中仍然适点评 实数集中的完全平方公式 平方差等公式在复数集中仍然适 用用 3 共轭复数共轭复数 定义 实部相等 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 定义 实部相等 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 其中 虚部不等于其中 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 记法 复数记法 复数 z a bi 的共轭复数记作的共轭复数记作 a bi z 口答 说出下列复数的共轭复数口答 说出下列复数的共轭复数 z 2 3i 2 z 6i 3 z 3 2 3i 2 3i 6i 6i 3 3 zzz 注意注意 实数的共轭复数是它本身实数的共轭复数是它本身 如上如上 思考 思考 若若 z1 z2 是共轭复数 那么是共轭复数 那么 z1 z2 是一个怎样的数 是一个怎样的数 解 令解 令 z1 a bi 则则 z2 a bi 则则 z1 z2 a bi a bi a2 abi abi bi2 a2 b2 结论 任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数结论 任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数 探究探究 类比实数的除法是乘法的逆运算类比实数的除法是乘法的逆运算 我们规定复数的除法是乘法的我们规定复数的除法是乘法的 逆运算逆运算 试探求复数除法法则试探求复数除法法则 4 4 除法运算规则 除法运算规则 满足满足 c di x yi a bi c di x yi a bi 的复数的复数 x yi x y R x yi x y R 叫复数叫复数 a bia bi 除以复除以复 数数 c dic di 的商 记为 的商 记为 a bi a bi c di c di 或者或者 dic bia 设复数设复数a a bibi a a b b R R 除以 除以c c didi c c d d R R 其商为 其商为 x x yiyi x x y y R R 即即 a a bibi c c didi x x yiyi x x yiyi c c didi cxcx dydy dxdx cycy i i cxcx dydy dxdx cycy i i a a bibi 由复数相等定义可知由复数相等定义可知 bcydx adycx 解这个方程组 得解这个方程组 得 22 22 dc adbc y dc bdac x 于是有于是有 a a bibi c c didi 2222 dc adbc dc bdac i i 利用利用 c c didi c c didi c c2 2 d d2 2 于是将于是将 dic bia 的分母有理化得 的分母有理化得 原式原式 22 abiabi cdiacbidibcad i cdicdi cdicd 222222 acbdbcad iacbdbcad i cdcdcd a a bibi c c didi i dc adbc dc bdac 2222 点评 点评 是常规方法 是常规方法 是利用初中我们学习的化简无理分式是利用初中我们学习的化简无理分式 时 都是采用的分母有理化思想方法 而时 都是采用的分母有理化思想方法 而 c c didi c c didi c c2 2 d d2 2是是 正实数正实数 所以可以分母所以可以分母 实数实数 化化 把这种方法叫做分母实数化法把这种方法叫做分母实数化法 例例 3 3 计算计算 12 34 ii 解 解 12 34 ii 12 34 i i 22 12 34 3 8645 1012 34 34 342555 iiiii i ii 小结小结 1 1 两复数的乘除法两复数的乘除法 2 2 共轭复数共轭复数 则它们的乘积为实数 两复数互为共轭复数 叫共轭复数 与两复数biabia iadbcbdacdicbia i dc adbc dc bdac dicbia 2222 作业作业 课本课本 P112 A 组第组第 4 题题 五五 教学反思 教学反思 复数的乘法法则是 复数的乘法法则是 a a bibi c c didi acac bdbd bcbc adad i i 复数复数 的代数式相乘 可按多项式类似的办法进行 不必去记公式的代数式相乘 可按多项式类似的办法进行 不必去记公式 复数的除法法则是 复数的除法法则是 2222 dc adbc dc bdac dic bia i i