高考导数专题复习

第 1 页 共 21 页 高考数学专题复习 导数 目录 一 有关切线的相关问题 二 导数单调性 极值 最值的直接应用 三 交点与根的分布 1 判断零点个数 2 已知零点个数求解参数范围 四 不等式证明 1 作差证明不等式 2 变形构造函数证明不等式 3 替换构造不等式证明不等式 五 不等式恒成立求参数范围 1 恒成立之最值的直接应用 2 恒成立之分离常数 3 恒成立之讨论参数范围 六 函数与导数性质的综合运用 第 2 页 共 21 页 导数运用中常见结论 1 曲线在处的切线的斜率等于 且切线方程为 yf x 0 xx 0 fx 000 yfxxxf x 2 若可导函数在 处取得极值 则 反之 不成立 yf x 0 xx 0 0fx 3 对于可导函数 不等式的解集决定函数的递增 减 区间 f x fx 0 0 f x 4 函数在区间 I 上递增 减 的充要条件是 恒成立 不 f xxI fx 0 0 fx 恒为 0 5 函数 非常量函数 在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值 则可等价转化 f x f x 为方程在区间 I 上有实根且为非二重根 若为二次函数且 I R 则有 0fx fx 0 6 在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数 进而得到或 f x f x fx 0 fx 在 I 上恒成立0 7 若 恒成立 则 若 恒成立 则xI f x0 min f x0 xI f x0 max f x 0 8 若 使得 则 若 使得 则 0 xI 0 f x0 max f x0 0 xI 0 f x0 min f x0 9 设与的定义域的交集为 D 若D 恒成立 则有 f x g xx f xg x min 0f xg x 10 若对 恒成立 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmax f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmin f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x maxmax f xg x 11 已知在区间上的值域为 A 在区间上值域为 B f x 1 I g x 2 I 第 3 页 共 21 页 若对 使得 成立 则 11 xI 22 xI 1 f x 2 g xAB 12 若三次函数 f x 有三个零点 则方程有两个不等实根 且极大值大于 0fx 12 xx 0 极小值小于 0 13 证题中常用的不等式 ln1 0 xxx 1 x x ln 1 1 xx x 1 x ex 1 x ex ln1 1 12 xx x x 22 ln11 0 22 x x xx sinx x 0 x lnx x0 x e 第 4 页 共 21 页 1 有关切线的相关问题 例题 2015 高考新课标 1 理 21 已知函数f x 3 1 ln 4 xaxg xx 当a为何值时 x轴为曲线 的切线 yf x 答案 3 4 a 跟踪练习 1 2011 高考新课标 1 理 21 已知函数 曲线在点 ln 1 axb f x xx yf x 处的切线方程为 1 1 f230 xy 求 的值 ab 解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 2 2013 课标全国 理 21 设函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点P 0 2 且在点P处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 解 1 由已知得f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而f x 2x a g x ex cx d c 故b 2 d 2 a 4 d c 4 从而a 4 b 2 c 2 d 2 第 5 页 共 21 页 3 2014 课标全国 理 21 设函数 1 0ln x x be f xaex x 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线为 1 2ye x 求 a b 解析 函数 f x的定义域为 0 11 2 ln xxxx abb fxaexeee xxx 由题意可得 1 2 1 ffe 故1 2ab 6 分 二 导数单调性 极值 最值的直接应用 一 单调性 1 根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题 2015 高考江苏 19 已知函数 23 Rbabaxxxf 1 试讨论的单调性 xf 答案 1 当时 在上单调递增 0a f x 当时 在 上单调递增 在上单调递减 0a f x 2 3 a 0 2 0 3 a 当时 在 上单调递增 在上单调递减 0a f x 0 2 3 a 2 0 3 a 当时 时 时 0a 2 0 3 a x 0fx 2 0 3 a x 0fx 第 6 页 共 21 页 所以函数在 上单调递增 在上单调递减 f x 0 2 3 a 2 0 3 a 练习 1 已知函数 1 ln1 a f xxax x a R 当 1 2 a 时 讨论 f x 的单调性 答案 1 ln1 0 a f xxaxx x 2 22 l11 0 aaxxa fxax xxx 令 2 1 0 h xaxxa x 当 0a 时 1 0 h xxx 当 0 1 0 0 xh xfx 函数 f x 单调递减 当 1 0 0 xh xfx 函数 f x 单调递增 当 0a 时 由 0fx 即 2 10axxa 解得 12 1 1 1xx a 当 1 2 a 时 12 xx 0h x 恒成立 此时 0fx 函数 f x 单调递减 当 1 0 2 a 时 1 110 a 0 1 x 时 0 0h xfx 函数 f x 单调递减 1 1 1 x a 时 0 0h xfx 函数 f x 单调递增 1 1 x a 时 0 0h xfx 函数 f x 单调递减 当 0a 时 1 10 a 当 0 1 0 0 xh xfx 函数 f x 单调递减 当 1 0 0 xh xfx 函数 f x 单调递增 综上所述 当 0a 时 函数 f x 在 0 1 单调递减 1 单调递增 当 1 2 a 时 12 xx 0h x 恒成立 此时 0fx 函数 f x 在 0 单调递减 当 1 0 2 a 时 函数 f x 在 0 1 递减 1 1 1 a 递增 1 1 a 递减 第 7 页 共 21 页 2 已知为实数 函数 函数 令函数 a 1 exf xax 1 1 g x ax F xf xg x 当时 求函数的单调区间 0a F x 解 函数 定义域为 1 e 1 x ax F x ax 1 x x a 当时 0a 22 22 2 22 21 21 ee 1 1 xx a ax a xa a F x axax 令 得 9 分 0F x 2 2 21a x a 当 即时 210a 1 2 a 0F x 当时 函数的单调减区间为 11 分 1 2 a F x 1 a 1 a 当时 解得 1 0 2 a 2 2 21a x a 12 2121 aa xx aa 121a aa 令 得 0F x 1 x a 1 1 xx a 2 xx 令 得 13 分 0F x 12 xx x 当时 函数的单调减区间为 1 0 2 a F x 1 a 121 a aa 函数单调增区间为 15 分 21 a a F x 2121 aa aa 当 即时 由 2 知 函数的单调减区间为及210a 1 2 a F x 2 2 2 根据判别式进行讨论 例题 2015 高考四川 理 21 已知函数 22 2 ln22f xxaxxaxaa 其中 0a 1 设是的导函数 评论的单调性 g x f x g x 答案 1 当时 在区间上单调递 1 0 4 a g x 114114 0 22 aa 第 8 页 共 21 页 增 在区间上单调递减 当时 在区间上 114114 22 aa 1 4 a g x 0 单调递增 解析 1 由已知 函数的定义域为 f x 0 222ln2 1 a g xfxxax x 所以 2 22 11 2 2 22 24 2 xa a g x xxx 当时 在区间上单调递增 1 0 4 a g x 114114 0 22 aa 在区间上单调递减 114114 22 aa 当时 在区间上单调递增 1 4 a g x 0 练习 已知函数 ln a f xxx x a R 1 求函数的单调区间 f x 解 函数的定义域为 f x 0 2 22 1 1 axxa fx xxx 令 得 记 0fx 2 0 xxa 14a 当时 所以单调减区间为 5 分 1 4 a 0fx f x 0 当时 由得 1 4 a 0fx 12 114114 22 aa xx 若 则 1 0 4 a 12 0 xx 由 得 由 得 0fx 2 0 xx 1 xx 0fx 21 xxx 所以 的单调减区间为 单调增区间为 f x 114 0 2 a 114 2 a 7 分 114114 22 aa 若 由 1 知单调增区间为 单调减区间为 0a f x 0 1 1 第 9 页 共 21 页 若 则 0a 12 0 xx 由 得 由 得 0fx 1 xx 0fx 1 0 xx 的单调减区间为 单调增区间为 9 分 f x 114 2 a 114 0 2 a 综上所述 当时 的单调减区间为 1 4 a f x 0 当时 的单调减区间为 1 0 4 a f x 114 0 2 a 单调增区间为 114 2 a 114114 22 aa 当时 单调减区间为 单调增区间为0a f x 114 2 a 10 分 114 0 2 a 2 已知函数 1 2ln f xa xx a x R 求函数 f x的单调区间 解 函数的定义域为 0 2 22 122 1 axxa fxa xxx 1 分 1 当0a 时 2 20h xaxxa 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x在 0 上单调递减 4 分 2 当0a 时 2 44a 若01a 由 0fx 即 0h x 得 2 11 a x a 或 2 11 a x a 5 分 由 0fx 即 0h x 得 22 1111aa x aa 6 分 所以函数 f x的单调递增区间为 2 11 0 a a 和 2 11 a a 单调递减区间为 22 1111 aa aa 7 分 第 10 页 共 21 页 若1a 0h x 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x 在 0 上单调递增 3 含绝对值的函数单调性讨论 例题 已知函数 lnf xx xax 1 若a 1 求函数在区间的最大值 f x 1 e 2 求函数的单调区间 f x 3 若恒成立 求的取值范围 0f x a 解 1 若a 1 则 1lnf xx xx 当时 1 xe 2 lnf xxxx 2 121 210 xx fxx xx 所以在上单调增 2 分 f x 1 e 2 max 1f xf eee 2 由于 lnf xx xax 0 x 当时 则 0a 2 lnf xxaxx 2 121 2 xax fxxa xx 令 得 负根舍去 0fx 2 0 8 0 4 aa x 且当时 当时 0 0 xx 0fx 0 xx 0fx 所以在上单调减 在上单调增 4 分 f x 2 8 0 4 aa 2 8 4 aa 当时 0a 当时 xa 2 121 2 xax fxxa xx 令 得 舍 0fx 2 1 8 4 aa x 2 8 4 aa xa 若 即 则 所以在上单调增 2 8 4 aa a 1a 0fx f x a 第 11 页 共 21 页 若 即 则当时 当时 2 8 4 aa a 01a 1 0 xx 0fx 1 xx 所以在区间上是单调减 在上单调 0fx f x 2 8 0 4 aa 2 8 4 aa 增 6 分 当时 0 xa 2 121 2 xax fxxa xx 令 得 记 0fx 2 210 xax 2 8a 若 即 则 故在上单调减 2 80a 02 2a 0fx f x 0 a 若 即 2 80a 2 2a 则由得 且 0fx 2 3 8 4 aa x 2 4 8 4 aa x 34 0 xxa 当时 当时 当 时 3 0 xx 0fx 34 xx x 0fx 4 xx 所以在区间上是单调减 在 0fx f x 2 8 0 4 aa 上单调增 在上单调减 22 88 44 aaaa 2 8 4 aa 8 分 综上所述 当时 单调递减区间是 单调递增区间1a f x 2 8 0 4 aa f x 是 2 8 4 aa 当时 单调递减区间是 单调的递增区间是12 2a f x 0 a f x a 当时 单调递减区间是 0 和 2 2a f x 2 8 4 aa 2 8 4 aa a 第 12 页 共 21 页 单调的递增区间是和 10 分 f x 22 88 44 aaaa a 3 函数的定义域为 f x 0 x 由 得 0f x ln x xa x 当时 不等式 恒成立 所以 0 1 x 0 xa ln 0 x x Ra 当时 所以 12 分1x 10a ln 0 x x 1a 当时 不等式 恒成立等价于恒成立或恒成立 1x ln x ax x ln x ax x 令 则 ln x h xx x 2 2 1ln xx h x x 因为 所以 从而 1x 0h x 1h x 因为恒成立等价于 所以 ln x ax x min ah x 1a 令 则 ln x g xx x 2 2 1ln xx g x x 再令 则在上恒成立 在 2 1lne xxx 1 20e xx x 1 x e x 上无最大值 1 x 综上所述 满足条件的的取值范围是 16 分a 1 2 设a为实数 函数 2 f xx xa 2 求函数 f x的单调区间 第 13 页 共 21 页 4 分奇数还是偶数进行讨论 例题 2015 高考天津 理 20 已知函数 其中 n n f xxxxR n n2N I 讨论的单调性 f x 答案 I 当为奇数时 在 上单调递减 在内单调递n f x 1 1 1 1 增 当为偶数时 在上单调递增 在上单调递减 II 见解析 n f x 1 f x 1 III 见解析 第 14 页 共 21 页 2 当为偶数时 n 当 即时 函数单调递增 0fx 1x f x 当 即时 函数单调递减 0fx 1x f x 所以 在上单调递增 在上单调递减 f x 1 f x 1 5 已知单调区间求参数范围 例题 14 年全国大纲卷文 函数 f x ax3 3x2 3x a 0 1 讨论函数 f x 的单调性 2 若函数 f x 在区间 1 2 是增函数 求 a 的取值范围 解 1 的判别式 36 1 a 2 363fxaxx 2 3630fxaxx i 若 a 1 则 且当且仅当 a 1 x 1 故此时 f x 在 R 上 0fx 0fx 是增函数 ii 由于 a 0 故当 a 1 时 有两个根 0fx 第 15 页 共 21 页 12 1111 aa xx aa 若 0 a0 x 0 时 所以当 a 0 时 f x 在区间 1 2 是增函数 0fx 若 a 0 时 f x 在区间 1 2 是增函数当且仅当且 解得 1 0 f 2 0 f 5 0 4 a 综上 a 的取值范围是 5 0 0 4 二 极值 一 判断有无极值以及极值点个数问题 例题 2015 高考山东 理 21 设函数 其中 2 ln1f xxa xx aR 讨论函数极值点的个数 并说明理由 f x 2 当 时 0a 2 8198aaaaa 当时 8 0 9 a 0 0g x 第 16 页 共 21 页 所以 函数在上单调递增无极值 0fx f x 1 当 时 8 9 a 0 设方程的两根为 2 210axaxa 1212 x xxx 因为 12 1 2 xx 所以 12 11 44 xx 由可得 110g 1 1 1 4 x 所以 当时 函数单调递增 1 1 xx 0 0g xfx f x 当时 函数单调递减 12 xx x 0 0g xfx f x 当时 函数单调递增 2 xx 0 0g xfx f x 因此函数有两个极值点 f x 3 当 时 0a 0 由可得 110g 1 1 x 当时 函数单调递增 2 1 xx 0 0g xfx f x 当时 函数单调递减 2 xx 0 0g xfx f x 因此函数有一个极值点 f x 综上 当 时 函数在上有唯一极值点 0a f x 1 当时 函数在上无极值点 8 0 9 a f x 1 当时 函数在上有两个极值点 8 9 a f x 1 例题 2015 高考安徽 理 21 设函数 2 f xxaxb 讨论函数在内的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 sin fx 2 2 第 17 页 共 21 页 解析 2 sin sinsinsin sin fxxaxbxxab 22 x sin 2sin cosfxxax 22 x 因为 所以 22 x cos0 22sin2xx 当时 函数单调递增 无极值 2 abR sin fx 当时 函数单调递减 无极值 2 abR sin fx 当 在内存在唯一的 使得 22a 2 2 0 x 0 2sin xa 时 函数单调递减 时 函数单调递增 0 2 xx sin fx 0 2 xx sin fx 因此 时 函数在处有极小值22a bR sin fx 0 x 2 0 sin 24 aa fxfb 2 已知极值点个数求参数范围 例题 14 年山东卷 理 设函数 为常数 ln 2 2 x x k x e xf x k 是自然对数的底数 2 71828e I 当时 求函数的单调区间 0k f x II 若函数在内存在两个极值点 求 k 的取值范围 f x 0 2 第 18 页 共 21 页 的取值范围为 综上 则 令 单调递增 时 当 单调递减 时 当 则令 时 当 解 2 1ln0lnln 2 022 0 2 01 0 01 0 ln 2 2 2 0 2 0 0e0 kx0k 0 2 12 2 1 2 ln 2 22 x 3 24 2 e ee ekkkkekg e kkegkeg gkg kxke kexg kxexg xfx xfx xxf kx x x kxex xx k x xexe xf k x x x x xx 练习 1 2014 年天津卷 理 第 19 页 共 21 页 2 2014 湖南 本小题满分 13 分 已知常数 函数 0a 2 ln 1 2 x f xax x 讨论在区间上的单调性 f x 0 若存在两个极值点 且 求的取值范围 f x 12 x x 12 0f xf x a 解析 2 4 1 2 a fx ax x 2 2 24 1 12 a xax axx 2 2 4