临界与极值问题

专题十三专题十三 临界和极值问题临界和极值问题 考纲要求 II 重点知识梳理 1 关于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是 掌握原理 具体分 析 统观全局 抓住要害 物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力 不 同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度 同时 在具体的问题中 要分清绳 或沿圆环内侧运动 与杆 或管 的区别 即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向 只能沿绳指向圆心 因此 在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速 度 而杆对球即可能是拉力也可能是压力 在杆 或管 约束下能在竖直面内作gRv 圆周运动的条件是最高点速度 v 0 2 极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值 或 对转折点的取值 取值既要遵循客观事实 又要使问题简化 使状态变化趋势明朗化 分类典型例题 题型一 竖直平面内作圆周运动的临界问题题型一 竖直平面内作圆周运动的临界问题 解决这类问题需要注意 我们不能只盯着最高点 而要对小球作全面的 动态的分析 目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点 只要保证小球在这一点上恰能作圆周 运动 就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动 如此这类临界问题得以根本解决 这 一关键点并非总是最高点 也可以是最低点 或其他任何位置 例 例 1 1 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道 处于水平向右的匀强电 场中 以带负电荷的小球从高 h 的 A 处静止开始下滑 沿轨道 ABC 运动后进入圆环内作圆 周运动 已知小球所受到电场力是其重力的 3 4 圆滑半径为 R 斜面倾角为 sBC 2R 若使小球在圆环内能作完整的圆周运动 h 至少为多少 解析 解析 小球所受的重力和电场力都为恒力 故可两 力等效为一个力 F 如图所示 可知 F 1 25mg 方向与 竖直方向左偏下 37 从图 6 中可知 能否作完整的圆周 运动的临界点是能否通过 D 点 若恰好能通过 D 点 即 达到 D 点时球与环的弹力恰好为零 由圆周运动知识得 R v mF D 2 即 R v mmg D 2 25 1 由动能定理有 2 2 1 37sin2cot 4 3 37cos D mvRRhmgRRhmg 联立 可求出此时的高度 h 变式训练 变式训练 1 如图所示 细杆的一端与一小球相连 可绕过 O 点的水平轴自由转动 现给小球一初速度 使它做圆周运动 图中 分别表示小球轨道的最低点和最高点 ab 则杆对球的作用力可能是 AB A 处为拉力 为拉力ab B 处为拉力 为推力ab C 处为推力 为拉力ab D 处为推力 为推力ab 题型二 关于摩擦力的临界与极值问题题型二 关于摩擦力的临界与极值问题 解决这类问题需要注意 对于临界条件不明显的物理极值问题 解题的关键在于通过 对物理过程的分析 使隐蔽的临界条件暴露 从而找到解题的突破口 根据有关规律求出 极值 例 例 2 2 如图所示 在电场强度 E 5 N C 的匀强电场和磁感应强度 B 2 T 的匀强磁场中 沿平行于电场 垂直于磁场方向放一长绝缘杆 杆上套一个质量为 m 10 4 kg 带电量 q 2 10 4 C 的小球 小球与杆间的动摩擦因数 0 2 小球从静止开始沿杆运动的加速 度和速度各怎样变化 解析 解析 带电小球在竖直方向上受力平衡 开始沿水平方向 运动的瞬间加速度 a1 8 m s2 m mgqE 小球开始运动后加速度 a2 qE mg qvB m 由于小球做加速运动 洛伦兹力 F磁增大 摩擦力 Ff逐渐减小 当 mg F磁时 Ff 0 加速度最大 其最大值为 a3 10 m s2 m qE 随着速度 v 的增大 F磁 mg 杆对球的弹力 N 改变方向 又有摩擦力作用 其加速度 a4 qE qvB mg m 可见 Ff随 v 的增大而增大 a4逐渐减小 当 Ff F电时 加速度 a5 0 此时速度最大 此后做匀速运动 由 qE qvB mg 解得 v 15 m s 结论 小球沿杆运动的加速度由 8 m s2逐渐增大到 10 m s2 接着又逐渐减小到零 最后以 15 m s 的速度做匀速运动 变式训练 变式训练 2 2 如图所示 质量 M 4kg 的木板长 L 1 4m 静止在光滑水平面上 其上面 右端静止一质量 m 1kg 的小滑块 可看作质点 滑块与木板间的动摩擦因数 0 4 先 用一水平恒力 F 28N 向右拉木板 要使滑块从木板上恰好滑下来 力 F 至少应作用多长 时间 g 10m s2 变式训练 变式训练 2 2 s1 min t 变式训练 变式训练 3 3 物体放置在水平地面上 物理与地面之间的动摩擦 因数为 物体重为 G 欲使物体沿水平地面做匀速直线运动 所 用的最小拉力 F 为多大 该题的已知量只有 和 G 说明最小拉力的表达式中最多只含 有 和 G 但是 物体沿水平地面做匀速直线运动时 拉力 F 可由 夹角的不同值而有不同的取值 因此 可根据题意先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析 N F f mg 解 设拉力 F 与水平方向的夹角为 根据题意可列平衡方程式 即 0cos fF GFN sin Nf 由联立 解得 sincoscos sin1 cossin 2 GG F sin 1 2 G 其中 1 tan GF 2 min 1 题型三 功率计算中的极值问题题型三 功率计算中的极值问题 例 例 3 3 一轻绳一端固定在 O 点 另一端拴一小球 拉起小球使轻绳水平 然后无初速度 的释放 如图所示 小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中 小球所受重力的瞬时功率 在何处取得最大值 解 当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时 重力的功率为 P mg cos mg sin 小球从水平位置到图中 C 位置时 机械能守恒有 2 2 1 cosmvmgL 解 可得 2 sincos2gLmgP 令 y cos sin sinsincos2 2 1 sincos2 2 1 sincos 222 422 y 2 cos sin2sinsincos2 22222 又 根据基本不等式 定和求积知 abccba3 当且仅当 y 有最大值 22 sincos2 3 3 coscos1cos2 22 得由 v mg A B C O L T 结论 当时 y 及功率 P 有最大值 3 3 cos 题型四 场计算中的极值问题题型四 场计算中的极值问题 例 例 4 4 如图所示 相距 2L 的 A B 两点固定着两个正点电荷 带电量均为 Q 在它们的中 垂线上的 C 点 由静止释放一电量为 q 质量为 m 的正检验电荷 不计重力 试求检验 电荷运动到何处加速度最大 最大加速度为多少 解 由于对称性 在 AB 的中点受力为零 在 AB 中垂线 上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的 当 q 运动到中垂线 上的 D 点时 由图可知 sin cos 2sin2 2 1 L kQq FF 合 故其加速度为 sin sin 2 cossin2 3 22 2 mL kQq mL kQq m F a 合 发现加速度是一个关于 的函数 令 3 sinsin f cossin3cos 2 f f的导数为则 0cossin3cos 0 2 即令f 3 3 sin 解得不合题意有极值 900 即3 9 2 3 3 3 3 3 3 arcsin 2 有极大值为时 f 所以当时 加速度有最大值为 3 3 arcsin 3 9 4 2 mL KQq 变式训练 变式训练 4 4 如图 12 4 所示 一带电质点 质量为 电量为 以平行于轴的速mqOx 度从轴上的点射入图中第一象限所示的区域 为了使该质vya 点能从轴上的点以垂直于轴的速度射出 可在适当的xbOxv 地方加一个垂直于平面 磁感应强度为 B 的匀强磁场 若此xy 磁场仅分布在一个圆形区域内 试求这圆形磁场区域的最小半径 重力忽略不计 F1F2 QQ AB D L L C 解析解析 质点在磁场中作半径为 R 的圆周运动 得 1 R v mqBv 2 qB mv R 根据题意 质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R 的圆上的 1 4 圆弧 这段圆弧应与 入射方向的速度 出射方向的速度相切 过点作平行于轴的直线 过点作平行于axb 轴的直线 则与这两直线均相距 R 的 O 为圆心 R 为半径的圆 圆中虚线圆 上的圆y 弧 MN M 点和 N 点应在所求圆形磁场区域的边界上 在通过 M N 两点的不同的圆周中 最小的一个是以 MN 连 线为直径的圆周 所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为 2 qB mv RRRMNr 2 2 2 2 2 1 2 1 22 所求磁场区域如图 12 5 中实线圆所示 题型五 路计算中的极值问题题型五 路计算中的极值问题 例 例 5 5 如图所示 电源内阻不能忽略 R1 10 R2 8 当开关 K 板到位置 l 时电流表 的示数为 0 2A 当开关板到位置 2 时 电流表示数可能值的范围 1 0 2A I2 0 25A 变式训练 变式训练 5 5 如图所示 已知电源的电动势为 内电阻为 r A B 两个定值电阻的阻值分别为 R1和 R2 令调节可变电阻 C 使其获得不同的电功率 试确定使可变电阻 C 出现最大电功 率时 C 的电阻值 R3 并导出其最大电功率的表达式 答案答案 当当时 其电功率最大 最大值时 其电功率最大 最大值 rRR rRR R 12 12 3 rRRrR4 R P 211 2 2 3 能力训练 1 用一根细线一端系一小球 可视为质点 另一端固定在一光滑锥顶上 如图 1 所示 设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为 线的张力为 T 则 T 随 2变化的图 象是图 2 中的 C 2 在抗洪抢险中 战士驾驶摩托艇救人 假设江岸是平直的 洪水沿江向下游流去 水流 速度为 v1 摩托艇在静水中的航速为 v2 战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d 如战士想在最短时间内将人送上岸 则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为 C A dv2 B 0 C dv1 v2 D dv2 v1 2 1 2 2 vv 3 在如图所示的电路中 R1 R2 R3和 R4皆为定值电阻 R5为可变电阻 电源的电动势 为 E 内阻为 r 设电流表 A 的读数为 I 电压表 V 的读数为 U 当 R5的滑动触点向图 中 a 端移动时 D A I 变大 U 变小 B I 变大 U 变大 C I 变小 U 变大 D I 变小 U 变小 4 如图所示在方向竖直向下的匀强电场中 一个带负电 q 质量为 m 且重力大于所受电场 力的小球 从光滑的斜面轨道的点 A 由静止下滑 若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆 形轨道的最高点 B 而作圆周运动 问点 A 的高度 h 至少应为多少 5R 2 5 如图所示 两轮靠皮带传动 绷紧的皮带始终保持 3m s 的速度水平的匀速运动 一质 量为 1kg 的小物体无初速度的放到皮带轮的 A 处 若物体与皮带的动摩擦因数 0 2 AB 间距为 5 25m 1 求物体从 A 到 B 所需的时间 2 要使物体经 B 点后水平抛出 则皮带轮半径 R 不能超过多大 5 1 2 5s 2 0 9m 图 1 图 2 6 如图所示 正交的电磁场方向均在水平方向上 电场强度为 E 磁感应强度为 B 质 量为 m 带电量为 q 的小球与水平桌面间的动摩擦因数为 已知 qE mg 当小 球由静止释放后 求小球的最大速度 桌面绝缘且足够大 6 提示 由能量守恒定律有 提示 由能量守恒定律有 qEvmt qvmB mg vmt 0 vm B E qB mg 7 如图所示 半径为 R 的绝缘圆筒内有垂直于圆筒端面的 磁感应强度为 B 的匀强磁场 筒上有两小孔 A C 它们在同一直径上 一质量为 m 电量 q 的粒子从 A 沿 AO 方向射 入匀强磁场 结果恰从孔 C 沿 OC 方向射出 若不计粒子与圆筒碰撞的能量与电量损失 求粒子运动的 1 最短路程 2 路程最短时速度的大小 3 路程最短时运动的时间 7 t m BqR mBqRv 8 质量为 m 带电量为 q 的小球在 O 点以初速度 v0 沿与水平成 30 角的方向射出 如图 所示 物体运动过程中 除重力