全等三角形证明之能力拔高(经典题目)

1 全等三角形能力拔高题全等三角形能力拔高题 姓名 姓名 一 角度转化问题一 角度转化问题 1 已知 如图 AB AE AD AC E B DE CB 求证 AD AC 2 已知 如图 AD AE AB AC DAE BAC 求证 BD CE 3 已知 如图 在 MPN 中 H 是高 MQ 和 NR 的交点 且 MQ NQ 求证 HN PM 2 4 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 l 经过顶点 C 过 A B 两点分别作 l 的垂线 AE BF E F 为垂足 当直线 l 不与底边 AB 相交时 求证 EF AE BF 5 已知 如图 AE AB BC AB AE AB ED AC 求证 ED AC 二 二次全等问题二 二次全等问题 1 已知 如图 线段 AC BD 交于 O AOB 为钝角 AB CD BF AC 于 F DE AC 于 E AE CF 求证 BO DO 3 2 已知 如图 AC 与 BD 交于 O 点 AB DC AB DC 若过 O 点作直线 l 分别交 AB DC 于 E F 两点 求证 OE OF 3 如图 E 在 AB 上 1 2 3 4 那么 AC 等于 AD 吗 为什么 4 已知 如图 DE AC BF AC AD BC DE BF 求证 AB DC 4 M FE C B A 5 已知 如图 AD 平分 BAC DE AB 于 E DF AC 于 F DB DC 求证 EB FC 练习 1 已知 B E 90 CE CB AB CD 求证 ADC 是等腰三角形 2 如图 AB AC ME AB MF AC 垂足分别为 E F ME MF 求证 MB MC 5 G F E D C B A 3 已知 ABC 和 ECD 都是等边三角形 且点 B C D 在一条直线上求证 BE AD 4 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC DE AB 交 AB 于 E BC 30 BD CD 3 2 则 DE 5 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为 结论 推出一个正确的命题 只写出一种情况 AB AC DE DF BE CF 已知 EG AF 求证 6 如图 在 Rt ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 点 D 是 AB 的中点 AF CD 于 H 交 BC 于 F BE AC 交 AF 的延长线于 E 求证 BC 垂直且平分 DE E D C A B 6 思维拓展 证明线段的和 差 倍 分问题时 常采用 割长 补短 等方法 构造全等三角形 提示提示 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线 段相等 段相等 割 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 补 1 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 求证 AB AC BD 2 如图 AD BC E 为 AB 的中点 DE 平分 ADC CE 平分 BCD 求证 AD BC CD A C E B D A B E C D 7 提升练习 1 如图所示 OP 为 MON 的平分线 请利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形 请在图 1 中作出 然后解答下列问题 1 如图 2 所示 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 3 所示 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而其他条件不变 1 中所 得的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 图 1 图 2 图 3 2 如图 已知 ABC 中 AB AC BAC 90 分别过 B C 向经过点 A 的直线 EF 作垂线 垂足为 E F 1 证明 EF 与斜边 BC 不相交时 则有 EF BE CF 如图 1 2 如图 2 EF 与斜边 BC 相交时 其他条件不变 你能得到什么结论 请给出证明 OP M NA B C D E B E A C D 8 3 已知 如图 所示 在ABC 和ADE 中 ABAC ADAE BACDAE 且点BAD 在一条直线上 连接BECDMN 分别为 BECD 的中点 1 求证 BECD ANAM 2 在图 的基础上 将ADE 绕点A按顺时针方向旋转180 其他条件不变 得 到图 所示的图形 请直接写出 1 中的两个结论是否仍然成立 4 已知 如图 是等边三角形 过边上的点作 交于点 ABC ABDDGBC ACG 在的延长线上取点 使 连接 GDEDEDB AECD 1 求证 AGEDAC 2 过点作 交于点 请你连接 并判断是怎样的三角EEFDC BCFAFAEF 形 试证明你的结论 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 C G A E D B F 9 5 ABC 中 2120ABBCABC 将ABC 绕点B顺时针旋转角 0 90 得ABCAB 111 交AC于点E 11 AC分别交ACBC 于DF 两 点 如图 1 观察并猜想 在旋转过程中 线段 1 EA与FC有怎样的数量关系 并证明你 的结论 A D B E C F 1 A 1 C A D B E C F 1 A 1 C 6 如图 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AD 是 BC 边上的中线 过 C 作 AD 的垂线 交 AB 于点 E 交 AD 于点 F 求证 ADC BDE A B C D E F 10 7 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 M 是 AB 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边 经过点 D 且直角顶点 E 在 AB 边上滑动 点 E 不与点 A B 重合 另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F 如图 14 1 当点 E 在 AB 边的中点位置时 通过测量 DE EF 的长度 猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 连接点 E 与 AD 边的中点 N 猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想 如图 14 2 当点 E 在 AB 边上的任意位置时 请你在 AD 边上找到一点 N 使得 NE BF 进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明 8 已知中 为边的中点 RtABC 90ACBCCD AB90EDF 绕点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 EDF DACCBEF 当绕点旋转到于时 如图 1 易证EDF DDEAC E 1 2 DEFCEFABC SSS 11 当绕点旋转到不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否EDF DDEAC和 成立 若成立 请给予证明 若不成立 又有怎样的数量关系 DEF S CEF S ABC S 请写出你的猜想 不需证明 9 已知 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一动点 连接 AD 以 AD 为 一边且在 AD 的左侧作等腰直角 ADE 解答下列各题 如果 AB AC BAC 90 1 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图甲 线段 BD CE 之间的位置关系怎 样 说明理由 2 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图乙 1 中的结论是否还成立 为什么 A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 12 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 10 如图 1 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别为边 BC CD 的中点 AF DE 相交于点 G 则 可得结论 AF DE AF DE 不需要证明 1 如图 2 若点 E F 不是正方形 ABCD 的边 BC CD 的中点 但满足 CE DF 则上面的 结论 是否仍然成立 请直接回答 成立 或 不成立 2 如图 3 若点 E F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上 且 CE DF 此时上面的结论 是否仍然成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说 明理由 11 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中 点 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F 求证 AE EF 90AEF DCG 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 AMEECF AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC