第九章习题详解

习题习题 9 9 1 选择题 1 正方形的两对角线处各放置电荷 Q 另两对角线各放置电荷 q 若 Q 所受到合力为 零 则 Q 与 q 的关系为 A Q 23 2q B Q 23 2q C Q 2q D Q 2q 答案 A 2 下面说法正确的是 A 若高斯面上的电场强度处处为零 则该面内必定没有净电荷 B 若高斯面内没有电荷 则该面上的电场强度必定处处为零 C 若高斯面上的电场强度处处不为零 则该面内必定有电荷 D 若高斯面内有电荷 则该面上的电场强度必定处处不为零 答案 A 3 一半径为 R 的导体球表面的面点荷密度为 则在距球面 R 处的电场强度 A 0 B 2 0 C 4 0 D 8 0 答案 C 4 在电场中的导体内部的 A 电场和电势均为零 B 电场不为零 电势均为零 C 电势和表面电势相等 D 电势低于表面电势 答案 C 9 2 填空题 1 在静电场中 电势梯度不变的区域 电场强度必定为 答案 零 2 一个点电荷 q 放在立方体中心 则穿过某一表面的电通量为 若将点电荷由 中心向外移动至无限远 则总通量将 答案 q 6 0 将为零 3 电介质在电容器中作用 a b 答案 a 提高电容器的容量 b 延长电容器的使用寿命 4 电量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内 则球内球外的静电能之比 答案 1 5 9 3 电量都是的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形的中q 心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形的边长有无关系 解 如题 9 3 图示 1 以处点电荷为研究对象 由力平衡知 为负电荷A q 20 2 2 0 3 3 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 解得 qq 3 3 2 与三角形边长无关 题 9 3 图 题 9 4 图 9 4 两小球的质量都是 都用长为 的细绳挂在同一点 它们带有相同电量 静止时两ml 线夹角为2 如题9 4图所示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计 求每个小球所带 的电量 解 如题 9 4 图示 2 2 0 sin2 4 1 sin cos l q FT mgT e 解得 tan4sin2 0mg lq 9 5 根据点电荷场强公式 当被考察的场点距源点电荷很近 r 0 时 则场强 2 0 4r q E 这是没有物理意义的 对此应如何理解 解 仅对点电荷成立 当时 带电体不能再视为点电荷 再用上式求 0 2 0 4 r r q E 0 r 场强是错误的 实际带电体有一定形状大小 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会 是无限大 9 6 在真空中有 两平行板 相对距离为 板面积为 其带电量分别为 和 ABdSq 则这两板之间有相互作用力 有人说 又有人说 因为 qff 2 0 2 4d q fqE 所以 试问这两种说法对吗 为什么 到底应等于多少 S q E 0 f S q 0 2 f 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的 第二种说法 把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的 正确解答应为一 S q E 0 个板的电场为 另一板受它的作用力 这是两板间相互作 S q E 0 2 S q S q qf 0 2 0 22 用的电场力 9 7 长 15 0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 5 0 x10 9 C m的正电荷 试求 1 l 在导线的延长线上与导线B端相距 5 0cm处点的场强 2 在导线的垂直平分线上与导 1 aP 线中点相距 5 0cm 处点的场强 2 dQ 解 如题 9 7 图所示 1 在带电直线上取线元 其上电量在点产生场强xdqdP 为 2 0 d 4 1 d xa x EP 题 9 7 图 2 2 2 0 d 4 d xa x EE l lPP 2 1 2 1 4 0 l a l a 4 22 0 la l 用 代入得15 lcm 9 100 5 1 mC 5 12 acm 方向水平向右 2 1074 6 P E 1 CN 2 同理 方向如题 9 7 图所示 2 2 2 0 d d 4 1 d x x EQ 由于对称性 即只有分量 l Qx E0d Q E y 2 2 2 2 2 2 2 0d d d d 4 1 d x x x EQy 2 2 4 d d l QyQy EE 2 2 2 3 2 2 2 d d l l x x 22 022 2 4 l dld 以 代入得 9 100 5 1 cmC 15 lcm5d2 cm 方向沿轴正向 2 1096 14 QyQ EE 1 CN y 9 8 一个半径为的均匀带电半圆环 电荷线密度为 求环心处点的场强 R O 解 如 9 8 图在圆上取 Rddl 题 9 8 图 它在点产生场强大小为 dddRlq O 方向沿半径向外 2 0 4 d d R R E 则 dsin 4 sindd 0R EEx dcos 4 cos dd 0R EEy 积分 RR Ex 00 0 2 dsin 4 0dcos 4 0 0 R Ey 方向沿轴正向 R EE x 0 2 x 9 9 均匀带电的细线弯成正方形 边长为 总电量为 1 求这正方形轴线上离中心为lq 处的场强 2 证明 在处 它相当于点电荷产生的场强 rElr qE 解 如 9 9 图示 正方形一条边上电荷在点产生物强方向如图 大小为 4 q P P E d 4 4 coscos d 2 2 0 21 l r EP 2 2 cos 2 2 1 l r l 12 coscos 24 4 d 2 2 2 2 0 l r l l r EP 在垂直于平面上的分量 P E d cosdd P EE 424 4 d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E 题 9 9 图 由于对称性 点场强沿方向 大小为POP 2 4 4 4 d4 2 2 2 2 0 l r l r lr EEP l q 4 方向沿 2 4 4 2 2 2 2 0 l r l r qr EP OP 9 10 1 点电荷位于一边长为a的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿过立方体的一q 个面的电通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立方体各面 的电通量是多少 解 1 由高斯定理 0 d q SE s 立方体六个面 当在立方体中心时 每个面上电通量相等q 各面电通量 0 6 q e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长的立方体 使处于边长的立方体中心 则a2qa2 边长的正方形上电通量a2 0 6 q e 对于边长的正方形 如果它不包含所在的顶点 则 aq 0 24 q e 如果它包含所在顶点则 q0 e 如题 9 10 图所示 题 9 10 图 9 11 均匀带电球壳内半径6cm 外半径10cm 电荷体密度为2 C m3求距球心 5 10 5cm 8cm 12cm 各点的场强 解 高斯定理 0 d q SE s 0 2 4 q rE 当时 5 rcm0 q 0 E 时 8 rcm q 3 4 p 3 r 3 内 r 方向沿半径向 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048 3 1 CN 外 cm 时 12 r 3 4 q 3 外 r 内 3 r 沿半径向外 4 2 0 3 3 1010 4 4 3 4 r rr E 内外 1 CN 9 12 半径为和 的两无限长同轴圆柱面 单位长度上分别带有电量和 1 R 2 R 2 R 1 R 试求 1 2 3 处各点的场强 r 1 R 1 Rr 2 Rr 2 R 解 高斯定理 0 d q SE s 取同轴圆柱形高斯面 侧面积rlS 2 则 rlESE S 2d 对 1 1 Rr 0 0 Eq 2 21 RrR lq 沿径向向外 r E 0 2 3 2 Rr 0 q 0 E 题 9 13 图 9 13 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为和 试求空间各处 1 2 场强 解 如题 9 13 图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度分别为与 1 2 两面间 nE 2 1 21 0 面外 1 nE 2 1 21 0 面外 2 nE 2 1 21 0 垂直于两平面由面指为面 n 1 2 9 14 半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为 若在球内挖去一块半径为 的小R rR 球体 如题9 14图所示 试求 两球心与点的场强 并证明小球空腔内的电场是均匀O O 的 解 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合 见题 9 14 图 a 1 球在点产生电场 O0 10 E 球在点产生电场 O d 4 3 4 3 0 3 20 OO r E 点电场 O d3 3 0 3 0 OO r E 2 在产生电场 O d 4 d 3 4 3 0 3 01 OOE 球在产生电场 O 0 02 E 点电场 O 0 0 3 E OO 题 9 14 图 a 题 9 14 图 b 3 设空腔任一点相对的位矢为 相对点位矢为 如题 8 13 b 图 P O r Or 则 0 3 r EPO 0 3 r E OP 000 3 3 3 d OOrrEEE OPPOP 腔内场强是均匀的 9 15 一电偶极子由 1 0 10 6C 的两个异号点电荷组成 两电荷距离d 0 2cm 把这电q 偶极子放在1 0 105 N C的外电场中 求外电场作用于电偶极子上的最大力矩 解 电偶极子在外场中受力矩p E EpM 代入数字qlEpEM max 4536 max 100 2100 1102100 1 MmN 9 16 两点电荷 1 5 10 8C 3 0 10 8C 相距 42cm 要把它们之间的距离变为 1 q 2 q 1 r 25cm 需作多少功 2 r 解 2 2 2 1 0 21 2 0 21 4 4 d d r r r r qq r rqq rFA 11 21 rr 6 1055 6 J 外力需作的功 6 1055 6 AAJ 题 9 17 图 9 17 如题9 17图所示 在 两点处放有电量分别为 的点电荷 间距离为ABqqAB 2 现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点 求移动过程中电场力作的R 0 qOC 功 解 如题 9 17 图示 0 4 1 O U0 R q R q 0 4 1 O U 3 R q R q R q 0 6 R qq UUqA o CO 0 0 6 9 18 如题9 18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于 试求环中心点处的场强和电势 RO 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 和段电荷在点产生的场强互相抵消 取ABCDO ddRl 则产生点如图 由于对称性 点场强沿轴负方向 ddRq OE dOy 题 9 18 图 cos 4 d d 2 2 2 0 R R EE y R 0 4 2 sin 2 sin R 0 2 2 电荷在点产生电势 以ABO0 U A B 2 000 1 2ln 4 4 d 4 d R R x x x x U 同理产生 CD2ln 4 0 2 U 半圆环产生 00 3 4 4 R R U 00 321 4 2ln 2 UUUUO 9 19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2 104 m s的匀速率作圆周运动 求带电直线上 的线电荷密度 电子质量 9 1 10 31kg 电子电量 1 60 10 19C 0 me 解 设均匀带电直线电荷密度为 在电子轨道处场强 r E 0 2 电子受力大小 r e eEFe 0 2 r v m r e 2 0 2 得 13 2 0 10 5 12 2 e mv 1 mC 9 20 空气可以承受的场强的最大值为 30 kV cm 超过这个数值时空气要发生火花放E 电 今有一高压平行板电容器 极板间距离为 0 5cm 求此电容器可承受的最高电d 压 解 平行板电容器内部近似为均匀电场 4 105 1d EUV 9 21 证明 对于两个无限大的平行平面带电导体板 题9 21图 来说 1 相向的两面上 电 荷的面密度总是大小相等而符号相反 2 相背的两面上 电荷的面密度总是大小相等而符 号相同 证 如题 9 21 图所示 设两导体 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 AB 1 2 3 4 题 9 21 图 1 则取与平面垂直且底面分别在 内部的闭合柱面为高斯面时 有AB 0 d 32 SSE s 2 0 3 说明相向两面上电荷面密度大小相等 符号相反 2 在内部任取一点 则其场强为零 并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加AP 而成的 即 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 又 2 0 3 1 4 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等 符号相同 9 22 三个平行金属板 和的面积都是200cm2 和相距4 0mm 与相距ABCABAC 2 0 mm 都接地 如题9 22图所示 如果使板带正电3 0 10 7C 略去边缘效应 BCA 问板和板上的感应电荷各是多少 以地的电势为零 则板的电势是多少 BCA 解 如题 9 22 图示 令板左侧面电荷面密度为 右侧面电荷面密度为A 1 2 题 9 22 图 1 即 ABAC UU ABABACAC EEdd 2 d d 2 1 AC AB AB AC E E 且 1 2 S qA 得 3 2 S qA S qA 3 2 1 而 7 1 102 3 2 AC qSq C C101 7 2 SqB 2 3 0 1 103 2dd ACACACA EU V 9 23两个半径分别为和 的同心薄金属球壳 现给内球壳带电 试计算 1 R 2 R 1 R 2 Rq 1 外球壳上的电荷分布及电势大小 2 先把外球壳接地 然后断开接地线重新绝缘 此时外球壳的电荷分布及电势 3 再使内球壳接地 此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量 解 1 内球带电 球壳内表面带电则为 外表面带电为 且均匀分布 其电q q q 势 22 0 2 0 4 4 d d RR R q r rq rEU 题 9 23 图 2 外壳接地时 外表面电荷入地 外表面不带电 内表面电荷仍为 所以球壳电q q 势由内球与内表面产生 q q 0 4 4 2020 R q R q U 3 设此时内球壳带电量为 则外壳内表面带电量为 外壳外表面带电量为 q q q 电荷守恒 此时内球壳电势为零 且 q 0 4 4 4 202010 R qq R q R q UA 得 q R R q 2 1 外球壳上电势 2 20 21 202020 4 4 4 4 R qRR R qq R q R q UB 9 24 半径为的金属球离地面很远 并用导线与地相联 在与球心相距为处有RRd3 一点电荷 试求 金属球上的感应电荷的电量 q 解 如题 9 24 图所示 设金属球感应电荷为 则球接地时电势 q 0 O U 题 9 24 图 由电势叠加原理有 O U0 3 4 4 00 R q R q 得 q 3 q 9 25 有三个大小相同的金属小球 小球1 2带有等量同号电荷 相距甚远 其间的库仑力 为 试求 0 F 1 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1 2后移去 小球1 2之间的库仑力 2 小球3依次交替接触小球1 2很多次后移去 小球1 2之间的库仑力 解 由题意知 2 0 2 0 4r q F 1 小球接触小球 后 小球和小球 均带电3131 2 q q 小球再与小球接触后 小球与小球均带电3223 qq 4 3 此时小球 与小球间相互作用力12 0 0 2 2 0 1 8 3 4 8 3 4 2 F r q r q q F 2 小球依次交替接触小球 很多次后 每个小球带电量均为 312 3 2q 小球 间的作用力12 0 0 2 9 4 4 3 2 3 2 2 F r qq F 9 26 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳 介质相对介电常 1 R 2 R 数为 金属球带电 试求 r Q 1 电介质内 外的场强 2 电介质层内 外的电势 3 金属球的电势 解 利用有介质时的高斯定理 qSD S d 1 介质内场强 21 RrR 3 0 3 4 4r rQ E r rQ D r 内 介质外场强 2 Rr 3 0 3 4 4r rQ E r Qr D 外 2 介质外电势 2 Rr r Q EU 0 r 4 rd 外 介质内电势 21 RrR 2020 4 11 4R Q Rr q r 11 4 20 Rr Q r r 3 金属球的电势 rdrd 2 2 1 R R R EEU 外内 2 2 2 0 2 0 44 dr R R R r r Qdr r Q 11 4 210 RR Q r r 9 27 如题9 27图所示 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质 试 r 求 在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值 解 如题 9 27 图所示 充满电介质部分场强为 真空部分场强为 自由电荷面密度 2 E 1 E 分别为与 2 1 由得 0 dqSD 11 D 22 D rdrd rr EEU 外内 而 101 ED 202 ED r d 21 U EE r r E E 10 20 1 2 题 9 27 图 题 9 28 图 9 28 两个同轴的圆柱面 长度均为 半径分别为和 且 l 1 R 2 R 2 R 1 Rl 2 R 1 R 两柱面之间充有介电常数的均匀电介质 当两圆柱面分别带等量异号电荷和 时 求 QQ 1 在半径处 厚度为dr 长为 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和r 1 Rr 2 Rl 整个薄壳中的电场能量 2 电介质中的总电场能量 3 圆柱形电容器的电容 解 取半径为的同轴圆柱面r S 则 rlDSD S 2d 当时 21 RrR Qq rl Q D 2 1 电场能量密度 222 22 82lr QD w 薄壳中 rl rQ rlr lr Q wW 4 d d 2 8 dd 2 222 2 2 电介质中总电场能量 2 1 1 2 22 ln 4 4 d d R RV R R l Q rl rQ WW 3 电容 C Q W 2 2 ln 2 2 12 2 RR l W Q C 题 9 29 图 9 29 如题9 29 图所示 0 25F 0 15F 0 20F 上电压为 1 C 2 C 3 C 1 C 50V 求 AB U 解 电容上电量 1 C 111 UCQ