3.4合并同类项

素材一 整式的加减课标解读 一 课标要求 整式的加减一节主要内容包括合并同类项 去括号法则 整式 的加减的运算法则和求多项式的值等 义务教育教学课程标准 2011 年版 对整式加减相关内容提出的教学要求是 1 合并同 类项和去括号法则 能进行简单的整式加减法 2 会求整式的值 能根据特定的问题查阅资料 找到所需要的公式 并会带入具体的 值进行计算 二 课标解读 1 整式的加减法是学生进入第三学段后最先遇到的有关式子运 算 是由具体的数字用运算发展到代数运算的转折点 整式的加减 是今后学习整式的乘除分式的化简等涉及 代数 式运算的基础 由于整式中的字母可以表示任意有理数 因此整式的加减运算可以 类比和应用有理数的运算与加法 乘法的运算律的学习 进一步体 会 有理 数与 整 式运算的相通性 2 整式的加减法运算的实质是 合并同类项 需要应用到去 括号 加法和乘法的运算律等相关知识 因此 整式的加减的学习 通常从 同类项 的概念和 去括号 的法则开始 同类项是单项 式 多项式等概念后 另一种研究整式的加减需要学习的重要概念 判断两个单项式是否为同类项 关键要紧扣两个条件 一是含有相 同的字母 二是相同字母的指数分别相同 它们缺一不可 同时需 要注意 同类项与单向式系数是否相同无关 与单项式所有字母的 排列顺序无关 所有的常数项都是同类项 这些是判别同类项的基 本要领 3 合并同类项是整式加减运算的基础 也是以后学习解方程 解不等式的基础 合并同类项的根据是加法交换律 结合律及乘法 的分配律 合并同类项的法则是类比有理数的加减法运算律得到的 因此 合并同类项是有理数加减运算的延伸与拓展 具有承上启下 由 有理 数运算过渡到 整 式运算的桥梁作用 4 去括号是数式运算重要的基础知识和基本方法 在今后代数 式运算 分解因式 解方程 组 与不等式 组 的问题中经常用 到 去括号的法则打破了有理数混合运算 有括号先算括号里面的 限制 是某些运算变得更加简便 如计算 45 35 8 若先算括号 里面的 则相对较为复杂 而先去括号后再进行加减计算的相对容 易得出结果 去括号法则对七年级学生来说 在理解和应用上应该 有一个逐步深入的思维过程 初次接触应该有一定的难度 是本节 教学的重点难点 5 用字母可以表示数或数量关系 也可以表述特定意义的公式 或具有某些规律的数 用整式表示和分析实际问题中的数量关系 能使数量之间的关系更简明 更具有普遍意义 当整式中所含字母 的取值确定后 可以求得此时整式的值 通常做法是 先将整式化 间 即先去括号 合并同类项 再将字母的值代入计算 这样可以 化繁为简 使运算简便 这也说明 式的运算更具有一般性 数的 运算是式的运算的特殊情形 6 同类项概念的产生源于生活中的归类思想 同类项概念及合 并同类项法则的产生 都是因为数式运算的需要 由有理数概念与 运算的学习 过渡到整式的相关概念与运算的学习 集中体现了由 特殊到一般 由具体到抽象的认知过程 学生通过本小节内容的学 习 能够感受到数学知识 思想和方法的形成与发展过程 逐步增 强自身的数学思维能力 素材二 相关概念及知识点的回顾 整式为单项式和多项式的统称 是有理式的一部分 在有理式 中可以包含加 减 乘 除 乘方五种运算 但在整式中除数不能 含有字母 单项式与多项式统称为整式 例题 是整式 不是整式 单项式 由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单 项式 单独一个数或一个字母也是单项式 如 Q 1 a 等 系数 1 单项式中的常数因数叫做单项式的系数如 3x 的系数是 3 2 如果一个单项式只含有字母因数 是正数的单项式系数为 1 是负数的单项式系数为 1 如 系数为 1 系数为 1 3 如果只是一个数字 系数是本身 如 5 的系数还是 5 次数 一个单项式中 所有字母指数的和叫做这个单项式的次数 例 如 中字母 x 的次数是 1 字母 y 的次数是 2 则 的次数为 1 2 3 又如 次数为 2 1 3 因为 3 的次数 3 不算入单项 式的次数中 单独一个非零数的次数是 0 易错混点 1 单项式的系数包括前面的符号 如 a 的系数是 1 2 单项式是由数字因数和字母因数组成的 单项式不含加减 运算 含有除法运算时 分母不含字母 分子不含加减运算 如 就不是单项式 也不是单项式 因为它们都含加减 运算 但第二题也不是分式 因为 是一个数 所以它是多项式 3 单项式的次数与多项式的次数是不同概念 要注意区分 4 系数是 1 或 1 时 省略 1 不写 指数是 1 时 1 也省略不 写 在这两个知识点上容易出现错误 加减法则 单项式加减即合并同类项 也就是合并前各同类项系数的和 字母不变 例如 等 同时还要运用到去括号法则和添括号法则 乘法法则 单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一 个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 例如 除法法则 同底数幂 次方 相除 底数不变 指数相减 多项式 由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式 化为最 简式 即 常数 指数不为负数 项 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 其中不含字母 的项叫做常数项 一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式 多项式中的符号 看作各项的性质符号 一元 N 次多项式最多 N 1 项 例 在多项式 中 2x 和 3 是它的项 其中 3 是常数项 在多项式 中它的项分别是 2x 和 18 其中 18 是常数项 它是三项式 次数 多项式中 次数最高的项的次数 就是这个多项式的次 数 如 中 这一项的次数最高 这个多项 式的次数就是 这个多项式就是八次三项式 排列 有时为了计算需要 可以将多项式各项的位置根据加法 交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列 例如 把多项式 按字母 x 指数从大到小的顺 序排列 写成 这叫做把多项式按字母 x 的降幂排列 若按 x 指数从小到大排列 则就是把多项式按字母 x 的升幂排列 写成 也可以是多项式中的其他字母 易错混点 1 多项式的次数是次数最高项的次数 而不是各项次数的和 应理解透概念 2 看清是降幂还是升幂排列 3 降幂和升幂排列都是以某一个字母 未知量 来排序 整式的加减 就是单项式和多项式的加减 可利用去括号法则和合 并同类项来完成 例如 乘法 1 整数指数律 同底数幂的乘法 底数是相同的幂即为同底数幂 幂 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即 m n 为正整数 如 幂的乘方 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 m n 为正整数 如 幂的乘方 积的乘方 积的乘方 先把积中的每一个因数分别乘方 再把所得的幂相 乘 用字母表示为 n 为正整数 如 2 多项式乘法 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘 把它们的系数 同底数幂分别相乘 对 于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因 式 例如 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再 把所得的积相加 例如 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项 再把所得的积相加 例如 乘法公式 也叫做简乘公式 就是把一些特殊的多项式相乘的 结果加以总结 直接应用 公式中的每一个字母 一般可以表示数 字 单项式 多项式 有的还可以推广到分式 根式 常用公式 完全平方公式 三数和平方公式 平方差公式 立方和公式 立方差公式 完全立方公式 欧拉公式 二项式定理 和的展开式 因式分解 定义 因式分解 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 也叫作分解因式 分解因 式与整式乘法为相反变形 方法因式分解没有普遍适用的法则 初中数学教材中主要介绍了提 公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘法 配方法 待定系数 法 拆项法等方法 提公因式法 又叫提取公因式法 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式 如果多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提取出来作为 多项式的一个因式 提取公因式后的式子放在括号里 作为另一个 因式 这种因式分解的方法叫提公因式法 例如 公因式为 因式分解结果为 公式法 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法 叫公式法 因式分解常用乘法公式 因式分解中的平方差公式 因式分解中的完全平方公式 因式分解中的三数完全平方公式 十字相乘法 运用十字交叉线来分解系数 把二次三项式分解 因式的方法叫十字相乘法 如果二次三项式 中的常数项 能分解成两个因数 的积 而且一次 项系数 又恰好是 那么 就可进行以下的因式分解 完全平方式也可用此公式分解 例如 十字相乘法 分组分解法 利用分组来分解因式的方法叫分组分解法 若是四项式 一般二二分组或一三分组 例如 是一三分组 1 整式的除法 同底数幂的除法 同底数幂相除 底数不变 指数相减 m n 是正整数且 例如 任何不等于零的数的零