浙江省吴越联盟2017届高三（上）第二次联考数学试卷（解析版）

第 1 页 共 21 页 2016 2017 学年浙江省吴越联盟高三 上 第二次联考数学试卷学年浙江省吴越联盟高三 上 第二次联考数学试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M 0 1 2 3 4 N 2 4 6 P M N 则 P 的子集有 A 2 个B 4 个C 6 个 D 8 个 2 若 x 1 是 x a x a 2 0 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围 是 A 1 B 1 1 C 1 1 D 1 3 已知直线 a b 以及平面 则下列命题正确的是 A 若 a b 则 a bB 若 a b 则 a b C 若 a b b 则 a D 若 a b 则 4 若点 M x y 为平面区域上的一个动点 则 x y 的取值范围是 A 2 0 B 1 0 C 1 2 D 0 2 5 已知函数 f x 是 R 上的奇函数 当 x 0 时为减函数 且 f 2 0 则 x f x 2 0 A x 0 x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x 0 x 2 或 x 2 D x 0 x 2 或 2 x 4 6 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F 右顶点为 A 若线段 FA 的中垂线与 双曲线 C 有公共点 则双曲线 C 的离心率的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 3 D 3 7 某次志愿活动 需要从 6 名同学中选出 4 人负责 A B C D 四项工作 每 人负责一项 若甲 乙均不能负责 D 项工作 则不同的选择方案有 第 2 页 共 21 页 A 240 种B 144 种C 96 种D 300 种 8 已知 a b 都是正实数 且直线 2x b 3 y 6 0 与直线 bx ay 5 0 互相垂直 则 2a 3b 的最小值为 A 12B 10C 8D 25 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 9 若 则 10 二项式的展开式中 x3的系数是 11 已知抛物线 C y2 2px 的焦点坐标为 F 2 0 则 p 若已知点 A 6 3 且点 M 在抛物线 C 上 则 MA MF 的最小值为 12 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的俯视图的面积为 该三棱 锥的体积为 13 已知数列 an 满足 a1 2 则数列 an 的通项公式为 an 若从数列 an 的前 10 项中随机抽取一项 则该项不小于 8 的概率是 14 已知 ABC 和点 M 满足 若存在实数 m 使得成 立 则点 M 是 ABC 的 实数 m 15 已知函数 f x mx2 lnx 2x 在定义域内是增函数 则实数 m 的取值范围 为 第 3 页 共 21 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 16 设函数 1 求函数 f x 的最大值 2 已知 ABC 中 角 A B C 为其内角 若 求 A 的值 17 已知公比为 q 的等比数列 an 的前 6 项和 S6 63 且成等差 数列 1 求数列 an 的通项公式 an 2 设 bn 是首项为 2 公差为 a1的等差数列 其前 n 项和为 Tn 是否存在 n N 使得不等式 Tn bn成立 若存在 求出 n 的值 若不存在 请说明理 由 第 4 页 共 21 页 18 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 AA1C1C 底面 ABC AA1 A1C AC 2 AB BC 且 AB BC O 为 AC 中点 证明 A1O 平面 ABC 求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值 19 已知椭圆 C 的中心在原点 一个焦点 F 2 0 且长轴长与短轴长的比是 1 求椭圆 C 的方程 2 设点 M m 0 在椭圆 C 的长轴上 点 P 是椭圆上任意一点 当最 小时 点 P 恰好落在椭圆的右顶点 求实数 m 的取值范围 20 已知函数 f x lnx ax 第 5 页 共 21 页 1 若函数 f x 在 x 1 处的切线方程为 y 2x m 求实数 a 和 m 的值 2 若函数 f x 在定义域内有两个不同的零点 x1 x2 求实数 a 的取值范 围 第 6 页 共 21 页 2016 2017 学年浙江省吴越联盟高三 上 第二次联考学年浙江省吴越联盟高三 上 第二次联考 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M 0 1 2 3 4 N 2 4 6 P M N 则 P 的子集有 A 2 个B 4 个C 6 个 D 8 个 考点 交集及其运算 分析 根据交集的定义写出 M N 即可求出 P 的子集个数 解答 解 集合 M 0 1 2 3 4 N 2 4 6 P M N 2 4 则 P 的子集有 2 4 2 4 共 4 个 故选 B 2 若 x 1 是 x a x a 2 0 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围 是 A 1 B 1 1 C 1 1 D 1 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 先求出不等式的 等价条件 根据充分不必要条件的定义进行判断即 可 解答 解 由 x a x a 2 0 得 a x a 2 要使 x 1 是 x a x a 2 0 的充分不必要条件 则 解得 1 a 1 第 7 页 共 21 页 故选 C 3 已知直线 a b 以及平面 则下列命题正确的是 A 若 a b 则 a bB 若 a b 则 a b C 若 a b b 则 a D 若 a b 则 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关 系 分析 对 4 个命题分别进行判断 即可得出结论 解答 解 对于 A 若 a b 则 a b 或 a b 相交 异面 不正确 对于 B 若 a 则经过 a 的平面与 交于 c a c b b c a c a b 正确 对于 C 若 a b b 则 a 或 a 不正确 对于 D 若 a b 则 位置关系不确定 不正确 故选 B 4 若点 M x y 为平面区域上的一个动点 则 x y 的取值范围是 A 2 0 B 1 0 C 1 2 D 0 2 考点 简单线性规划 分析 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合 得到最优解 把最优解的坐标代入目标函数得答案 解答 解 由约束条件作出可行域如图 第 8 页 共 21 页 由图可知 A 1 1 B 0 2 令 z x y 化为 y x z 当直线 y x z 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最小 z 有最大值为 0 直线 y x z 过 B 时 直线在 y 轴上的截距最大 z 有最小值为 2 x y 的取值范围是 2 0 故选 A 5 已知函数 f x 是 R 上的奇函数 当 x 0 时为减函数 且 f 2 0 则 x f x 2 0 A x 0 x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x 0 x 2 或 x 2 D x 0 x 2 或 2 x 4 考点 奇偶性与单调性的综合 分析 奇函数满足 f 2 0 可得 f 2 f 2 0 对于不等式 当 x 2 0 时 f x 2 0 f 2 利用 x 0 时 f x 为减函数 可得 0 x 2 2 当 x 2 0 时 不等式化为 f x 2 0 f 2 利用其单调性奇偶性 可得 0 x 2 即可得出 解答 解 奇函数满足 f 2 0 f 2 f 2 0 对于 x f x 2 0 当 x 2 0 时 f x 2 0 f 2 x 0 时 f x 为减函数 第 9 页 共 21 页 0 x 2 2 2 x 4 当 x 2 0 时 不等式化为 f x 2 0 f 2 当 x 0 时 f x 为减函数 函数 f x 在 0 上单调递减 2 x 2 0 0 x 2 综上可得 不等式的解集为 x 0 x 2 或 2 x 4 故选 D 6 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F 右顶点为 A 若线段 FA 的中垂线与 双曲线 C 有公共点 则双曲线 C 的离心率的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 3 D 3 考点 双曲线的简单性质 分析 求出左焦点 F 右顶点的坐标 求得线段 FA 的中点的坐标 再利用线 段 FA 的中垂线与双曲线 C 有公共点 列出不等式 即可求出离心率的范围 解答 解 设双曲线的方程为 a 0 b 0 则左焦点 F c 0 右顶点为 A a 0 线段 FA 的中点坐标为 M 0 线段 FA 的中垂线与双曲线 C 有公共点 第 10 页 共 21 页 a 如图 则 a c 2a 3a c e 3 故选 D 7 某次志愿活动 需要从 6 名同学中选出 4 人负责 A B C D 四项工作 每 人负责一项 若甲 乙均不能负责 D 项工作 则不同的选择方案有 A 240 种B 144 种C 96 种D 300 种 考点 排列 组合的实际应用 分析 由题意知这是一个计数问题 首先利用分步计数原理做出 6 个人在 4 个不同的位置的排列 因为条件中要求甲和乙均不能负责 D 项工作 写出甲和 乙有一个人负责 D 项工作的结果数 用所有减去不合题意的 得到结果 解答 解 由题意知本题是一个分类计数问题 从 6 名学生中选 4 人分别负 责 A B C D 四项不同工作共有 6 5 4 3 360 种 甲 乙两人有一个负责 D 项工作有 2 5 4 3 种 不同的选派方法共有 360 120 240 种 故选 A 第 11 页 共 21 页 8 已知 a b 都是正实数 且直线 2x b 3 y 6 0 与直线 bx ay 5 0 互相垂直 则 2a 3b 的最小值为 A 12B 10C 8D 25 考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 分析 由直线垂直可得 ab 的式子 变形可得 1 进而可得 2a 3b 2a 3b 13 由基本不等式求最值可得 解答 解 a b 都是正实数 且直线 2x b 3 y 6 0 与直线 bx ay 5 0 互 相垂直 2b b 3 a 0 变形可得 3a 2b ab 两边同除以 ab 可得 1 a b 都是正实数 2a 3b 2a 3b 13 13 2 25 当且仅当 即 a b 5 时 上式取到最小值 25 故选 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 9 若 则 考点 两角和与差的余弦函数 两角和与差的正弦函数 分析 原式中的角度变形后 利用诱导公式化简 将已知等式代入计算即可 求出值 解答 解 cos sin 故答案为 10 二项式的展开式中 x3的系数是 112 第 12 页 共 21 页 考点 二项式系数的性质 分析 利用通项公式即可得出 解答 解 通项公式 Tr 1 1 r28 r 令 3 解得 r 6 x3的系数 112 故答案为 112 11 已知抛物线 C y2 2px 的焦点坐标为 F 2 0 则 p 4 若已知点 A 6 3 且点 M 在抛物线 C 上 则 MA MF 的最小值为 8 考点 抛物线的简单性质 分析 利用抛物线的焦点坐标 真假求解 P 即可 判断 A 的位置 利用抛物 线的性质求解 MA MF 的最小值 解答 解 抛物线 C y2 2px 的焦点坐标为 F 2 0 则 p 4 已知点 A 6 3 且点 M 在抛物线 C y2 8x 上 可知 A 的抛物线内部 则 MA MF 的最小值为 M 到抛物线的准线的距离 抛物线的准线方程为 x 2 则 MA MF 的最小值为 8 故答案为 4 8 12 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的俯视图的面积为 该三 棱锥的体积为 第 13 页 共 21 页 考点 由三视图求面积 体积 分析 该三棱锥的俯视图为腰长为 1 等腰直角三角形 即可得出面积与体 积 解答 解 该三棱锥的俯视图为腰长为 1 等腰直角三角形 其面积 该三棱锥的体积 V 故答案为 13 已知数列 an 满足 a1 2 则数列 an 的通项公式为 an 2 2 n 1 若从数列 an 的前 10 项中随机抽取一项 则该项不小于 8 的概率是 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分析 推导出数列 an 是首项 a1 2 公比为 2 的等比数列 由此能求出 an 列举出数列 an 的前 10 项 其中不小于 8 的有 4 项 由此能求出从数列 an 的 前 10 项中随机抽取一项 则该项不小于 8 的概率 解答 解 数列 an 满足 a1 2 数列 an 是首项 a1 2 公比为 2 的等比数列 an 2 2 n 1 数列 an 的前 10 项为 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 其中不小于 8 的有 4 项 从数列 an 的前 10 项中随机抽取一项 则该项不小于 8 的概率 p 故答案为 14 已知 ABC 和点 M 满足 若存在实数 m 使得成 立 则点 M 是 ABC 的 重心 实数 m 3 第 14 页 共 21 页 考点 平面向量的基本定理及其意义 分析 解题时应注意到 则 M 为 ABC 的重心 解答 解 由 知 点 M 为 ABC 的重心 设点 D 为底边 BC 的中 点 则 所以有 3 故 m 3 故答案为 重心 3 15 已知函数 f x mx2 lnx 2x 在定义域内是增函数 则实数 m 的取值范围 为 1 考点 函数的单调性与导数的关系 分析 函数 f x mx2 lnx 2x 在定义域 x 0 内是增函数 0 对于任意 x 0 利用导数 即可得出 解答 解 函数 f x mx2 lnx 2x 在定义域 x 0 内是增函数 0 化为 令 g x 解 g x 0 得 0 x 1 解 g x 0 得 x 1 因此当 x 1 时 g x 取得最大值 g 1 1 m 1 故答案为 1 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 第 15 页 共 21 页 算步骤算步骤 16 设函数 1 求函数 f x 的最大值 2 已知 ABC 中 角 A B C 为其内角 若 求 A 的值 考点 两角和与差的余弦函数 三角函数的最值 分析 1 利用三角恒等变换化简函数的解析式 再利用余弦函数的值域求 得函数 f x 的最大值 2 ABC 中 由题意求得 cos 2A 从而求得 A 的值 解答 解 1 函数 f x 的最大值为 2 2 ABC 中 2A A 17 已知公比为 q 的等比数列 an 的前 6 项和 S6 63 且成等差 数列 1 求数列 an 的通项公式 an 2 设 bn 是首项为 2 公差为 a1的等差数列 其前 n 项和为 Tn 是否存在 n N 使得不等式 Tn bn成立 若存在 求出 n 的值 若不存在 请说明理 由 考点 数列的求和 数列与函数的综合 分析 1 利用等差数列与等比数列的通项公式 求和公式即可得出 2 利用等差数列的求和公式可得 bn Tn 假设存在 n N 使得不等式 Tn bn成立 解出即可得出 第 16 页 共 21 页 解答 解 1 公比为 q 的等比数列 an 的前 6 项和 S6 63 且 成等差数列 q 1 63 4a1 a2 即 3q 4 q 解得 q 2 a1 1 an 2n 1 2 bn 2 n 1 3 n Tn 假设存在 n N 使得不等式 Tn bn成立 则 3 n 解得 1 n 6 可得 n 2 3 4 5 18 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 AA1C1C 底面 ABC AA1 A1C AC 2 AB BC 且 AB BC O 为 AC 中点 证明 A1O 平面 ABC 求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值 考点 用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面垂直的判定 分析 证明 A1O AC 利用平面 AA1C1C 平面 ABC 可得 A1O 平面 ABC 建立空间直角坐标系 求出平面 AA1B 的一个法向量 第 17 页 共 21 页 利用向量的夹角公式求出直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 根据因为直线 A1C 与平 面 A1AB 所成角 和向量 n 与所成锐角互余 可得结论 解答 证明 因为 A1A A1C 且 O 为 AC 的中点 所以 A1O AC 又由题意可知 平面 AA1C1C 平面 ABC 平面 AA1C1C 平面 ABC AC 且 A1O 平面 AA1C1C A1O 平面 ABC 解 如图 以 O 为原点 OB OC A1所在直线分别为 x y z 轴建立空 间直角坐标系 由题意可知 A1A A1C AC 2 AB BC AB BC OB O 0 0 0 A 0 1 0 A1 0 0 C 0 1 0 C1 0 2 B 1 0 0 则有 设平面 AA1B 的一个法向量为 x y z 则有 令 y 1 得 所以 因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 和向量 n 与所成锐角互余 所以 第 18 页 共 21 页 19 已知椭圆 C 的中心在原点 一个焦点 F 2 0 且长轴长与短轴长的比是 1 求椭圆 C 的方程 2 设点 M m 0 在椭圆 C 的长轴上 点 P 是椭圆上任意一点 当最 小时 点 P 恰好落在椭圆的右顶点 求实数 m 的取值范围 考点 椭圆的标准方程 椭圆的应用 分析 设椭圆 C 的标准方程 根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立 方程求得 a 和 b 进而可得椭圆的方程 设 P