王老汉的烦恼2

王老汉的烦恼王老汉的烦恼 概率与频率的应用概率与频率的应用 铃 伴随着清脆铃声的响起 我踏上了讲台 同学们 今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题 好吗 同学们都显出了极浓的兴趣 我于是在黑板上展示了问题 王老汉养了一池塘鱼 现在要与 销售商签订合同 但王老汉的烦恼来了 他不知道鱼塘中大约有多 少条鱼 也不知道鱼塘中鱼的总重量为多少 怎么办呢 学生被问题吸引住了 开始积极动脑筋 各抒己见 有的说 可以先算出一定体积的鱼的数量 有的说 可以利用浮头现象 有的说 可以再建一个池塘 等等 这些方法经过学生认真琢 磨 发现并不可行 这个问题在学生脑海中形成悬念 然后我告诉 他们 这也是一类概率的问题 学生显得很兴奋 建议用 列表法 或 树状图法 来解决 之后发现无从下手 问题再次陷入 瓶颈 状态 这时有学生提出了模拟试验 大家七嘴八舌地发表自己的看 法 有的说 用转盘 有的说 用骰子 有的说 用纸牌 有的说 摸球 等等 十分活跃 我趁机肯定了大家的想法 接下来用多媒体展示 在一个不透明的口袋里装有只有顔色不同的黑白两种顔色的球 共 20 个 某学习小组做摸球试验 将球搅匀后从中随机摸出一个球 并记下顔色 再把它放回袋中 不断重复 下表是活动进行中的一 组统计数据 摸球的 次数 n 1001502005008001000 摸到白 球的次 数 m 5896116295484601 摸到白 球的频 率 m n 0 580 640 580 590 6050 601 1 请估计 当 n 很大时 摸到白球的频率将会接近 2 假如你去摸一次 你摸到白球的概率是 摸到黑球 的概率是 3 试估算口袋中黑 白两种顔色的球各有多少个 同学们略加思考 就把这个问题解决掉了 因为我们上节课已 经分析过 通过试验来估计不确定事件发生概率的大小 通常是在 试验次数越多 事件发生的频率值逐渐稳定时 才可以将这个频率 的稳定值作为该事件发生的概率 同时我向同学们提问 为什么題中提到每摸一个球放回后 要把球搅匀 同学们立马回答 使试验具有随机性 我立即肯 定了同学们的说法 接下来 我提醒 如果球的总数很大时 一个一个摸球能做 到吗 马上有学生说 太麻烦 太累人了 我趁机问 那该 怎么办 有的学生说 我一次可以多摸几个 请举例说明一 下 我可以设黑球有 x 个 假设一次摸 10 个球 其中 2 个白球 则 2 10 10 10 x 从而求出 x 大家纷纷表示赞同 于是我又问 那么如果我又摸一次 其中有 4 个白球 则有 4 10 10 10 x 从 而 x 可求出 那么你认为结果应该按哪个计算呢 这时学生都陷 入深思中 一会后 很多学生举手 其中一个学生说 可以求 2 10 与 4 10 的平均数 等于 10 10 x 很好 如果做 100 次或 500 次试验呢 求 100 次或 500 次的平均数 学生都明白了 这样学生就得出要想使试验结果更加精确 可以求多次试验的平均 数 于是得出方法二 多次试验的平均数 10 10 x 然后针对这两种方法 让学生分组讨论它们的优缺点 最后汇 总 得到第一种方法 要使结果更加精确 那么试验次数必须足够 多 但实践中不可能无限地做试验 因此现实意义不大 第二种方 法 当总数较少时 精确度较差 但对于总数力大时 这个方法还 是可行的 看到同学们理解得这么好 我又提出了 若盒子中没有白球 该怎样估计黑球数呢 由于这个问题存在难度 所以分组讨论再 拿出解决方案 经过探讨 有的小组说 可以拿出几个黑球涂上 白色 也有的说 可以向盒子中放入同质地同大小的白球 听到 这些学生都纷纷赞同 见学生已经掌握了用部分来估计总体的思想 我便引导学生来 解决 王老汉的难题 由于前面准备工作充分 达到水到渠成之效 几乎全班同学都 举手跃跃欲试 有的说 我往池塘放入一定数量池塘中原来没有 的鱼 有的说 我想先捞出 100 条 做上记号 放回一段时间后 再捞出 200 条 发现 10 条有记号的鱼 然后通过 10 200 100 x 就 可以求出鱼的数目 并称出这 200 条鱼的重量 求出平均每一条鱼 的重量 就可以估计池塘中鱼的重量 看看同学们回答得多完整 特别是 一段时间 后充分表明了学生体会到了做试验的随机性 我接着问 那么 大家想一下用这种方法还能解决现实生活 中的哪些问题呢 有的说 能知道我县有多少辆上海通用轿车 有的说 能知道树林中有多少只鸟 有的说 能知道一次摸 奖活动中的中奖概率 等等 接下来我设计了以下思考题 问题一 你能设计一个方案估算出树林中某种动物的多少吗 问题二 往一个装有很多黑棋的袋子中放入 20 个红棋 每次倒 出 10 个 记下所倒红棋数目 再把它们放回去 共倒了 200 次 倒 出红棋 3