概率论与数理统计历年真题-2013.4

全国全国 2013 年年 4 月自考概率论与数理统计 经管类 真题讲解月自考概率论与数理统计 经管类 真题讲解 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 共分 共 2020 分 分 1 甲 乙两人向同一目标射击 A 表示 甲命中目标 B 表示 乙命中目标 C 表示 命中目 标 则 C A A B B C AB D A B 答案 D 解析 命中目标 甲命中目标 或 乙命中目标 或 甲 乙同时命中目标 所以可表 示为 A B 故选择 D 提示 注意事件运算的实际意义及性质 1 事件的和 称事件 A B 至少有一个发生 为事件 A 与 B 的和事件 也称为 A 与 B 的并 A B 或 A B 性质 若 则 A B B 2 事件的积 称事件 A B 同时发生 为事件 A 与 B 的积事件 也称为 A 与 B 的交 记做 F A B 或 F AB 性质 若 则 AB A 3 事件的差 称事件 A 发生而事件 B 不发生 为事件 A 与 B 的差事件 记做 A B 性质 若 则 4 事件运算的性质 i 交换律 A B B A AB BA ii 结合律 A B C A B C AB C A BC iii 分配律 A B C A C B C A B C A C B C iv 摩根律 对偶律 2 设 A B 是随机事件 P AB 0 2 则 P A B A 0 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 答案 A 解析 故选择 A 提示 见 1 题 提示 3 3 设随机变量 X 的分布函数为 F X 则 A F b 0 F a 0 B F b 0 F a C F b F a 0 D F b F a 答案 D 解析 根据分布函数的定义及分布函数的性质 选择 D 详见 提示 提示 1 分布函数定义 设 X 为随机变量 称函数 为的分布函数 2 分布函数的性质 0 F x 1 对任意 x1 x2 x1 x2 都有 F x 是单调非减函数 F x 右连续 设 x 为 f x 的连续点 则 f x 存在 且 F x f x 3 已知 X 的分布函数 F x 可以求出下列三个常用事件的概率 其中 a0 如果二维随机变量 X Y 的概 率密度为 则称 X Y 服从区域 D 上的均匀分布 记为 X Y 2 正态分布 若二维随机变量 X Y 的概率密度为 其中 都是常数 且 则称 X Y 服从二维正态分布 记为 X Y 17 设 C 为常数 则 C 的方差 D C 答案 0 解析 根据方差的性质 常数的方差为 0 提示 1 方差的性质 D c 0 c 为常数 D aX a2D X a 为常数 D X b D X b 为常数 D aX b a2D X a b 为常数 2 方差的计算公式 D X E X2 E2 X 18 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布 则 E e 2x 答案 解析 因为随机变量 X 服从参数1 的指数分布 则 则 故填写 提示 连续型随机变量函数的数学期望 设 X 为连续性随机变量 其概率密度为 又随 机变量 则当收敛时 有 19 设随机变量 X B 100 0 5 则由切比雪夫不等式估计概率 答案 解析 由已知得 所以 提示 切比雪夫不等式 随机变量具有有限期望和 则对任意给定的 总 有 或 故填写 20 设总体 X N 0 4 且 x1 x2 x3为来自总体 X 的样本 若 则 常数 C 答案 1 解析 根据 x2定义得 C 1 故填写 1 提示 1 应用于 小样本 的三种分布 x2 分布 设随机变量 X1 X2 Xn相互独立 且均服从标准正态分布 则 服从自由度为 n 的 x2 分布 记为 x2 x2 n F 分布 设 X Y 相互独立 分别服从自由度为 m 和 n 的 x2分布 则服从自由度为 m 与 n 的F 分布 记为F F m n 其中称 m 为分子自由度 n 为分母自由度 t 分布 设 X N 0 1 Y x2 n 且 X Y 相互独立 则服从自由度为 n 的 t 分布 记为 t t n 2 对于 大样本 课本 p134 定理 6 1 设 x1 x2 xn为来自总体 X 的样本 为样本均值 1 若总体分布为 则的精确分布为 2 若总体 X 的分布未知或非正态分布 但 则的渐近分布为 21 设 x1 x2 xn为来自总体 X 的样本 且 为样本均值 则 答案 解析 课本 P153 例 7 14 给出结论 而 所以 故填写 说明 本题是根据例 7 14 改编 因为的证明过程比较复杂 在 2006 年课本改 版时将证明过程删掉 即本次串讲所用课本 也是学员朋友们使用的课本 中没有这个结论的证明过 程 只给出了结果 感兴趣的学员可查阅旧版课本 高等数学 二 第二分册概率统计 P164 例 5 8 22 设总体 x 服从参数为的泊松分布 为未知参数 为样本均值 则的矩估计 答案 解析 由矩估计方法 根据 在参数为的泊松分布中 且的无偏估计为样 本均值 所以填写 提示 点估计的两种方法 1 矩法 数字特征法 估计 A 基本思想 用样本矩作为总体矩的估计值 用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值 B 估计方法 同 A 2 极大似然估计法 A 基本思想 把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果 用它来求出参数的 最大值作为估计值 B 定义 设总体的概率函数为 其中为未知参数或未知参数向量 为可能 取值的空间 x1 x2 xn是来自该总体的一个样本 函数称为 样本的似然函数 若某统计量满足 则称为的极大似然估计 C 估计方法 利用偏导数求极大值 i 对似然函数求对数 ii 对求偏导数并令其等于零 得似然方程或方程组 iii 解方程或方程组得即为的极大似然估计 对于似然方程 组 无解时 利用定义 见教材 p150 例 7 10 3 间接估计 理论根据 若是的极大似然估计 则即为的极大似然估计 方法 用矩法或极大似然估计方法得到的估计 从而求出的估计值 23 设总体 X 服从参数为的指数分布 x1 x2 xn为来自该总体的样本 在对进行极大似然 估计时 记 xn 为似然函数 则当 x1 x2 xn都大于 0 时 xn 答案 解析 已知总体服从参数为的指数分布 所以 从而 故填写 24 设 x1 x2 xn为来自总体的样本 为样本方差 检验假设 选取检验统计量 则 H0成立时 x2 答案 解析 课本 p176 8 3 1 25 在一元线性回归模型中 其中 1 2 n 且 相互独立 令 则 答案 解析 由一元线性回归模型中 其中 1 2 且 相互独立 得一元线性回归方程 所以 则 由 20 题 提示 3 得 故填写 说明 课本 p186 关于本题内容的部分讲述的不够清楚 请朋友们注意 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 共分 共 1616 分 分 26 甲 乙两人从装有 6 个白球 4 个黑球的盒子中取球 甲先从中任取一个球 不放回 而后乙再 从盒中任取两个球 求 1 甲取到黑球的概率 2 乙取到的都是黑球的概率 分析 本题考察 古典概型 的概率 解析 1 设甲取到黑球的概率为 p 则 2 设乙取到的都是黑球的概率为 p 则 27 某种零件直径 X 单位 mm 未知 现用一种新工艺生产此种零件 随机取 出 16 个零件 测其直径 算得样本均值 样本标准差 s 0 8 问用新工艺生产的零件平均直 径与以往有无显著差异 附 分析 本题考察假设检验的操作过程 属于 单正态总体 方差未知 对均值的检验 类型 解析 设欲检验假设 H0 H1 选择检验统计量 根据显著水平 0 05 及 n 16 查 t 分布表 得临界值 t0 025 15 2 1315 从而得到拒绝域 根据已知数据得统计量的观察值 因为 拒绝 可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异 提示 1 假设检验的基本步骤 1 提出统计假设 根据理论或经验对所要检验的量作出原假设 零假设 H0和备择假设 H1 要 求只有其一为真 如对总体均值检验 原假设为 H0 备择假设为下列三种情况之一 其中 i 为双侧检验 ii iii 为单侧检验 2 选择适当的检验统计量 满足 必须与假设检验中待检验的 量 有关 在原假设成 立的条件下 统计量的分布或渐近分布已知 3 求拒绝域 按问题的要求 根据给定显著水平查表确定对应于的临界值 从而得到对原 假设 H0的拒绝域 W 4 求统计量的样本值观察值并决策 根据样本值计算统计量的值 若该值落入拒绝域 W 内 则 拒绝 H0 接受 H1 否则 接受 H0 2 关于课本 p181 表 8 4 的记忆的建议 与区间估计对照分类记忆 四 综合题 本大题共四 综合题 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 1212 分 共分 共 2424 分 分 28 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 求 X Y 关于 X Y 的边缘概率密度 2 记 Z 2X 1 求 Z 的概率密度 分析 本题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度 解析 1 由已知条件及边缘密度的定义得 所以 同理可得 2 使用 直接变换法 求 Z 2X 1 的概率密度 记随机变量 X Z 的分布函数为 Fx x Fz Z 则 由分布函数 Fz Z 与概率密度的关系有 由 1 知 所以 提示 求随机变量函数的概率密度的 直接变换法 基本步骤 问题 已知随机变量 X 的概率密度为 求 Y g X 的概率密度 解题步骤 1 2 29 设随机变量 X 与 Y 相互独立 X N 0 3 Y N 1 4 记 Z 2X Y 求 1 E Z D Z 2 E XZ 3 PXZ 分析 本题考察随机变量的数字特征 解析 1 因为 X N 0 3 Y N 1 4 Z 2X Y 所以 E Z E 2X Y 2E X E Y 1 D Z D 2X Y 4D X D Y 16 2 而随机变量与相互独立 所以 E XZ 6 3 因为 所以 五 应