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文档简介

1 第9章常微分方程初值问题数值解法 9 1引言 2 本章研究的问题 3 9 2欧拉方法9 2 1欧拉公式 1欧拉公式 4 图9 1欧拉折线法 5 2 3 6 7 2欧拉公式的截断误差 4 8 3单步法的局部截断误差与阶 局部截断误差可以理解为计算一步的误差 9 局部截断误差可以理解为计算一步的误差 10 则称该方法具有P阶精度 定义2设 是初值问题的准确解 若存在最大整数 使显式单步法的局部截断误差满足 11 4后退的欧拉方法 5 6 6 式称为后退的欧拉方法 它是隐式的 欧拉公式 2 是显式的 12 13 7 6 14 15 后退的欧拉方法的局部截断误差 16 5梯形方法 8 式称为梯形方法 8 17 梯形方法的局部截断误差 18 9 2 4改进欧拉法及局部截断误差 预测步 校正步 或者写成 1 改进的欧拉公式 19 2 改进的欧拉方法的局部截断误差 20 考虑改进Euler法 如果将其改成 1 9 3Runge Kutta法 21 改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 1 式为一种二阶Runge Kutta法 同样可以证明 改进Euler法也具有2阶精度 22 Runge Kutta方法的推导 23 Runge Kutta方法的一般形式 确定了阶数之后 再通过Taylor展开 比较两边系数的方法 确定各待定系数 24 二阶显式Runge Kutta方法 25 26 27 28 29 例 30 结果及比较 31 三阶显式Runge Kutta方法 在推导二阶显式方法的过程中 注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式 因此若要在局部截断误差中消去h3项 必须增加包含了以上各项的多个方程 同时我们注意到r 2时 只有等四个待定系数 少于方程的数目 所以这样的系数不存在 故 r 2时Runge Kutta方法只能是二阶的 要得到三阶的方法 则必须有r 3 32 三阶显式Runge Kutta方法 33 四阶显式Runge Kutta方法 34 例 35 结果及比较 36 结果及比较 37 关于Runge Kutta方法 38 提高Runge Kutta方法的精度的方法 提高精度最简单的方法是缩短步长 但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价 39 变步长的Runge Kutta方法 作为妥协 如果能在计算过程中实时控制步长的大小 就可以在获得较高的计算速度的同时 保证较高的精度 40 Runge Kutta Fehlberg方法 Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下 41 Runge Kutta Fehlberg方法 Fehlberg给出的四阶 五阶公式RKF4 5 如下 42 Runge Kutta Fehlberg方法 七阶 八阶RKF7 8 43 Runge Kutta Fehlberg方
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