数学解题之一题多解与多题一解

1 浅谈一题多解培养学生发散思维浅谈一题多解培养学生发散思维 摘摘 要要 本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展 从而使教师在 数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培 养 本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解 通过不同的例题 可以达到对学生思维能力的训练培养的目的 通过一题多解 可以 开阔学生思路 发散学生思维 让学生学会多角度分析和解决问题 对一题多解灵活运用 对培养学生发散思维 启发学生独立思考具 有较好的指导意义 关键词 一题多解 发散思维 思维能力 一题多解对学生思维能力的培养一题多解对学生思维能力的培养 同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效 我们 称之为 一题多解 其特点就是对同一个问题从不同的角度 不 同的结构形式 不同的思维方式去解答同一个问题 一题多解能快 速整合所学知识 重要的是培养学生细致的观察力 丰富的联想力 和独立思考 解决问题的能力 一 提高分析 解决问题的能力 一 提高分析 解决问题的能力 一题多解 能够使学生开阔思维 把学过的知识和方法融合在 一起 提高学生分析问题和解决问题的能力 培养学生独立思考的 能力 例 1 甲乙两地相距 450 千米 客车和货车同时从两地相向而行 客 车行完全程需 10 小时 货车行完全程需 15 小时 相遇时两车各行 2 多少千米 解法一 用路程问题的解法 根据 速度 路程 时间 可以求出客车的速度为 450 10 45 千米 小时 货车的速度为 450 15 30 千米 小时 1 几小时后两车相遇 450 45 30 6 小时 2 相遇时客车行了多少千米 45 6 270 千米 3 相遇时货车行了多少千米 30 6 180 千米 解法二 用比例分配的方法 两车所需的时间之比是 10 15 根据距离一定 速度与时间 成反比例关系进行解答 1 两车所需的时间之比是 10 15 2 3 所以两车速度之比是 3 2 2 两车运行时间相同 所以路程与速度成正比例 即两车 行驶路程之比是 3 2 3 相遇时客车行了多少千米 450 270 千米 3 5 4 相遇时货车行了多少千米 450 180 千米 2 5 答 相遇时客车行了 270 千米 货车行了 180 千米 解法三 工程问题的方法解决 客车行完全程要 10 小时 每小时行全程的 1 10 货车行完全程需 15 小时 每小时行全程的 1 15 相遇时间为 1 1 10 1 15 6 小时 3 6 小时客车行了全程的 6 1 10 3 5 所以客车行了 450 3 5 270 千米 所以货车行了 450 270 180 千米 解法一 求出两车相遇时间 进而求出相遇时两车各自的行驶路程 这种方法是处理类似行问题最为一般的方法 也是最为普遍的解决 方法 是解决更为复杂的工程问题的基础 而解法二是通过对公式 路程 速度 时间的灵活运用 只需求出两车的速度之比 进而运 用比例对两车各自的行程进行分配 可以说是对公式的升华 解法 三用工程问题来解决 直接把路程看做 1 通过效率来解决问题 二 提高多角度分析能力二 提高多角度分析能力 一题多解可以培养学生灵活 敏捷的思维能力 让学生学会对 问题进行多角度 多层次的分析 达到对问题的全面理解 进而迅 速准确的解决问题 例 2 6 人站成一排 若甲不能站排头 乙不能站排尾 则不同的站 法有多少种 解法二 甲在尾 120 5 5 A 甲不在未 自然也不在头 4 4 24 384 1 4 C 1 4 C 4 4 A 共 120 384 504 5 5 A 1 4 C 1 4 C 4 4 A 解法二 分析 设 6 人为 ABCDEF 甲不在 A 处 如甲占 F 位 则乙可在 ABCDE 5 处任占一位 其它 4 人可在余下的 4 处各占一位 即 5 4 3 2 1 120 如 甲在 BCDE 4 处任占一位 则乙只能在 BCDE 除去一位或 A 共 4 4 处任占一位 其它 4 人可在余下的 4 处各占一位 即 4 4 4 3 2 1 384 所以一共有 120 384 504 种 站法 5 4 3 2 1 4 4 4 3 2 1 504 答 共有 504 种站法 解法三 1 甲站排尾 乙有 5 种站法 2 甲站中间的 4 个空有 4 种站法 乙除了甲站的空和排尾还有 的空还有 4 种站法 共 4 4 16 种 3 甲乙共有 5 16 21 种站法 4 剩余 4 人共有 4 3 2 1 24 种站法 5 所以共有 21 24 504 种站法 解法四 所有可能的排法有 6 720 6 6 A 再考虑特殊情况 甲在排头 乙在排尾的可能减去即可 1 甲在排头 乙不在排尾有 4 4 4 96 4 4 A 2 甲不在排头 乙在排尾有 4 4 4 96 4 4 A 3 甲在排头 乙在排尾有 4 24 4 4 A 所以甲不能站排头 乙不能站排尾排法有 720 96 96 24 504 6 5 5 4 504 解法五 若甲站排尾 则剩下的五人可以全排列 即 5 120 甲还 可排在第二 三 四 五 5 位 乙可排在第一 二 三 四 五 5 位 剩下 四人全排列 4 即 4 5 4 480 5 所以答案为 120 480 600 A 6 个人站一排的站法 B 甲站排头 C 乙站排尾 D 甲不能站排头 乙不能站排尾 则 A 有 6 B C 各有 5 共有 4 CB D A B C D 共有 6 5 5 4 504 CB 五种解法中 第一种解法最为直接 即通过题干的条件一一进 行确定 先确定甲不站排头 再确定乙不站排尾 最后再确定 其他人位置 进而得出结果 调理清楚 顺理成章 第二种解 法是对第一种解法的抽象 第三种解法与前两种从人员分配入 手的解法不同 该解法从位置角度入手 分别确定排头 排尾 的三类站法 进而相加求出结果 第四种解法采取逆向思维 先不考虑题干具体要求 求出站法总数 然后再依据要求一一 进行排除 解法五是用集合的思想入手 找出题目中的限制条 件 从而得出结论 三 培养发散思维及联想能力 通过一题多解的训练 可以培养学生的发散性思维及联想 能力 学会用不同的知识解决同一个问题 达到对多种知识的 融会贯通 例 3 已知 求的最小值 0 0 ba ba 21 ab 解法一 利用不等关系 6 0 0 ba abba 2 2 21 当且仅当 即时取 号 8 ab2 121 ba 4 2 ba 的最小值是 8 ab 解法二 平方法 0 0 ba 1 21 ba 1 当且仅当 ababbaabbaba 844 2 441 21 2222 2 2 121 ba 即时取 号 4 2 ba 的最小值是 8 ab 解法三 利用三角恒等关系换元 可令 0 0 ba 1 21 ba 2 cos 1 a 2 sin 2 b 2 cos 1 a 2 sin 2 b 当且仅当 即 a 2 b 4 8 2sin 8 sincos 2 222 ab 1 a 2 b 2 1 时取 号 的最小值是 8 ab 解法四 均值换元 0 0 ba 1 21 ba 7 可令 2 1 2 1 2 12 2 11 tt b t a 其中 0 1 当 1 即 ab 2 4t 1 8 8 2 41t 2 41t 0 t4 2 ba 时 取 号 解法五 导数求最值 0 0 ba 1 21 ba 1 0 1 2 a a a b 1 2 2 a a ab 令 令 0 解得 a 1 1 2 2 a a a a 2 1 2 2 a aa a 12 a 当 1 2 时 0 此时 是增函数 a aa 当时 2 8 此时 1 a最小值 af 极小值 af 1 2 22 2 4 2 ba 五种解法 第一种利用不等关系求解 是解决类似问题最先想 到的方法 也是最直接的解法 第二种的平方法 目的是通过 对已知条件进行操作使之出现所求的量 进而求解 第三 第 四种都属于换元法 通过三角换元和均值换元 将所求的量变 形为一元关系 即或 t 的关系 进而求解 最后一种解法是 2 8 通过导数求出函数单调性 进而求出最值 得出结果 从知识 面的角度来讲 这一道题目的五种解法 至少包含了五方面的 知识 这不仅丰富了解法 同时也使一些知识点得到了充分的 展示 更体现了数学知识的前后连贯性 这种多知识点的解法 让学生真正体会到了数学的魅力 更深刻的理解了 条条大 路通罗马 的寓意 对培养学生的发散思维能力起到了积极的 影响作用 参考文献 王平 组织一题多解 培养学生发散思维 雁北十分学院学报 2001 年第 17 卷第 6 期 2 贾凤梅 中学数学教学要注重培养学生的数学思维能力 教育理论与实践 2009 年第 29 卷 3 杨玉东 徐文彬 数学解题中划归过程的心理学分析 浙江 师范大学学报 2003 年第 26 卷第 3