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文档简介

4 12双边拉普拉斯变换 在某些情况下 有时还要考虑双边时间函数 如周期信号 平稳随机过程等 或是不符合因果律的理想系统 这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析 1 双边拉普拉斯变换的定义 是一个双边函数 可将其分解为右边函数和左边函数之和 则有 1 2 如何求左边函数的拉氏变换 令 则上式成为 再令 则上式成为 2 1 令 构成右边函数 2 对 求单边拉氏变换得 3 对复变量 取反 即 就求得 解 首先求右边函数的拉氏变换 左边函数的拉氏变换 求取如下 2 3 3 因为 所以 和 有公共收敛域 4 二 双边拉普拉斯反变换 1 2 3 解 1 由极点分布和给定收敛域作下图 可见 左侧极点为 右侧极点为 5 令 得 对 求单边拉氏反变换 得 最后得其解为 6 三 双边信号作用下线性系统的响应 例3已知激励信号 系统冲激响应为 求系统的响应 解 由双边拉氏变换有 而 故 存在 则有 由收敛域可知 为右侧极点 对应的左边时间函数为 7 均为右侧极点 对应的右边时间函数为 故系统的响应 8 9 10 4 13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 若信号是有始信号 可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换 11 收敛边界落于s平面右半边 单边拉氏变换收敛域 对应增长函数的情况 不存在傅氏变换 12 收敛边界落于s平面左半边 对应衰减函数的情况 存在傅氏变换 13 收敛边界位于虚轴 对应阶跃函数或等幅振荡函数的情况 存在傅氏变换 14 若收敛边界位于虚轴 则极点均在左半平面和虚轴上 1 若虚轴只有单极点 15 例 16 2 若虚轴有多重极点 例 17
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