1.2.2充要条件

习 题 一 选择题 1 a 1 是 直线 x y 0 和直线 x ay 0 互相垂直 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当 a 1 时 直线 x ay 0 化为直线 x y 0 直线 x y 0 与直线 x y 0 垂 直 当直线 x y 0 和直线 x ay 0 互相垂直时 有 1 a 0 a 1 故选 C 2 m 是直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2x 2 0 相切的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由圆心 1 0 到直线 x y m 0 距离 d 得 m 或 3 故选 A 3 设集合 A x R x 2 0 B x R x0 则 x A B 是 x C 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为 A B C 故 x A B 是 x C 的充要条件 4 lgx lgy 是 lgy x y 0 而 x 2 y 0 时 lgx lgy 故 lgx lgy 是 的充分不必 要条件 5 设命题甲为 0 x 5 命题乙为 x 2 3 那么甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 解不等式 x 2 3 得 1 x 5 0 x 5 1 x 5 但 1 x 5 0 x 5 甲是乙的充分不必要条件 故选 A 6 设 l m n 均为直线 其中 m n 在平面 内 则 l 是 l m 且 l n 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 l m n l m 且 l n 故充分性成立 又 l m 且 l n 时 m n 不一定有 m 与 n 相交 l 不一定成立 必要性不成立 故选 A 二 填空题 7 平面向量 a b 都是非零向量 a b 0 是 a 与 b 夹角为钝角的 条 件 答案 必要不充分 解析 若 a 与 b 夹角为钝角 则 a b 0 反之 a b1 或 m1 或 m 0 10 已知数列 an 的前 n 项和 Sn pn q p 0 且 p 1 求证 数列 an 为等比数列的充要 条件为 q 1 证明 充分性 当 q 1 时 a1 p 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 pn 1 p 1 当 n 1 时也成立 于是 p 即数列 an 为等比数列 必要性 当 n 1 时 a1 S1 p q 当 n 2 时 an Sn Sn 1 pn 1 p 1 p 0 且 p 1 p an 为等比数列 p 即 p p 1 p q q 1 综上所述 q 1 是数列 an 为等比数列的充要条件 一 选择题 1 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若 a1 a2 a3 则 a1 a1q0 则 q 1 此时为递增数列 若 a1 0 则 0 q 1 同样为递增数列 故充分性成立 必要性显然成立 2 a 0 是 函数 f x ax 1 x 在区间 0 内单调递增 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断 若 a 0 则 f x x 在 0 内单调递增 若 a 0 则 f x ax 1 x ax2 x 其图象如图所示 在 0 内递 增 反之 若 f x ax 1 x 在 0 内递增 从图中可知 a 0 故选 C 3 下列命题中的真命题有 两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等 ABC 中 1 是 ABC 为锐角三角形的充要条件 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 解析 两直线平行不一定有斜率 假 由 1 知 A B 为锐角 sinAsinB cosAcosB cos A B 0 角 C 为锐角 ABC 为锐角三角形 反之若 ABC 为锐角三角形 则 A B cos A B 0 cosAcosB0 cosB 0 tanAtanB 1 故 真 4 2k k Z 是 sin sin 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由三角函数诱导公式可知 2k k Z 时 sin sin 反之 由 sin sin 可得 2k k Z 或 2k 1 k Z 所以 2k k Z 是 sin sin 的充分不必要条件 选 A 二 填空题 5 函数 f x 的定义域为 I p 对任意 x I 都有 f x M q M 为函数 f x 的最大值 则 p 是 q 的 条件 答案 必要不充分 解析 只有当 1 对于任意 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使 f x0 M 同时成立时 M 才是 f x 的最大值 故 pq q p p 是 q 的必要不充分条件 6 f x x x b 在 0 2 上是减函数的充要条件是 答案 b 4 解析 f x 若 b 0 则 f x 在 0 2 上为增函数 b 0 f x 在 0 2 上为减函数 2 b 4 三 解答题 7 求关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负的实根的充要条件 解析 a 0 时适合 当 a 0 时 显然方程没有零根 若方程有两异号的实根 则 a 0 若方程有两个负的实根 则必须满足 解得 0 a 1 综上可知 若方程至少有一个负的实根 则 a 1 反之 若 a 1 则方程至少有一个负的 实根 因此 关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负的实根的充要条件是 a 1 点评 a 0 的情况不要忽视 若令 f x ax2 2x 1 由于 f 0 1 0 从而排除了 方程有一个负根 另一个根为零的情况 8 已知 p 0 q x2 2x 1 m2 0 m 0 且 p 是 q 的必要条件 求实数 m 的取值