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评价相对有效性的DEA模型 目录 一 DEA方法简介二 DEA基本原理和模型三 DEA应用案例四 DEA主要应用领域五 DEA最新研究进展 一 DEA方法简介 DEA DataEnvelopmentAnalysis 数据包络分析方法 由Charnes Coopor和Rhodes于1978年提出 该方法的原理主要是通过保持决策单元 DMU DecisionMakingUnits 的输入或者输出不变 借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面 将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上 并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性 DEA方法的特点 适用于多输出 多输入的有效性综合评价问题 在处理多输出 多输入的有效性评价方面具有绝对优势无须任何权重假设 而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重 排除了很多主观因素 具有很强的客观性DEA方法并不直接对数据进行综合 因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关 应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理 当然也可以 定义 123 j nv11x11x12x13 x1j x1nv22x21x22x23 x2j x2n vi Xij vmmxm1xm2xm3 xmj xmny11y12y13 y1j y1n1u1y21y22y23 y2j y2n2u2 yrj ur ys1ys2ys3 ysj ysnsus m种输入 n个决策单元 DMU s种输出 二 DEA基本原理和模型 权系数 权系数 对于第j个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数 我们总可以适当的取权系数v和u 使得hj 1 j 1 n 对第j0个决策单元进行效率评价 一般说来 hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出 这样我们如果对DUMj0进行评价 看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的 我们可以考察当尽可能的变化权重时 hj0的最大值究竟是多少 如以第j0个决策单元的效率指数为目标 以所有决策单元的效率指数为约束 就构造了如下的CCR C2R 模型 上述规划模型是一个分式规划 使用Charnes Cooper变化 令 可变成如下的线性规划模型P P 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性 从模型可以看出 该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的 对于CCR模型可以用规划P表达 而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论 通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析 原始问题和对偶问题的标准形式如下 原始问题对偶问题maxz cxminw ybs t Ax bs t yA cx 0y 0式中max表示求极大值 min表示求极小值 s t 表示 约束条件为 z为原始问题的目标函数 w为对偶问题的目标函数 x为原始问题的决策变量列向量 n 1 y为对偶问题的决策变量行向量 1 m A为原始问题的系数矩阵 m n b为原始问题的右端常数列向量 m 1 c为原始问题的目标函数系数行向量 1 n 规划P的对偶规划为规划D D 为了讨论和计算应用方便 进一步引入松弛变量s 和剩余变量s 将上面的不等式约束变为等式约束 可变成 D 将上述规划 D 直接定义为规划 P 的对偶规划 几个定理和定义 定理1线性规划 P 和对偶规划 D 均存在可行解 所以都存在最优值 假设它们的最优值为别为hj0 与 则有hj0 定义1若线性规划 P 的最优值hj0 1 则称决策单元DMUj0为弱DEA有效定义2若线性规划 P 的解中存在w 0 0 并且最优值hj0 1 则称决策单元DMUj0为DEA有效的定理2DMUj0为弱DEA有效的充要条件是线性规划 D 的最优值 1 DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划 D 的最优值 1 并且对于每个最优解 都有s 0 s 0 DEA有效性的定义 我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效 1 1 且s 0 s 0 则决策单元j0为DEA有效 决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效 2 1 但至少某个输入或者输出大于0 则决策单元j0为弱DEA有效 决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳 3 1 决策单元j0不是DEA有效 经济活动既不是技术效率最佳 也不是规模最佳 DEA有效性的定义 还可以用CCR模型中的 j判断DMU的规模收益情况 1 如果存在 j j 1 2 n 使得 j 1 则DMU为规模收益不变 2 如果不存在 j j 1 2 n 使得 j 1 若 j 1 则DMU为规模收益递增 3 如果不存在 j j 1 2 n 使得 j 1 若 j 1 则DMU为规模收益递减 1952年 Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量 成功的解决了计算和技术上的困难 同样Charnes建立了具有非阿基米德无穷小量 的CCR模型 CCR模型的计算 最优解为 在实际运用中 对松弛变量的研究是有意义的 因为它是一种纯的过剩量 s 或不足量 s 则表示DMU离有效前沿面或包络面的一种径向优化量或 距离 其中 是决策单元j0对应的线性规划 D 的最优解 则 为DMUj0对应的 x0 y0 在DEA的相对有效面上的投影 它是DEA有效的 CCR模型中变量的经济含义 定理3 例1 某公司有甲 乙 丙三个企业 为评价这几个企业的生产效率 收集到反映其投入 固定资产年净值x1 流动资金x2 职工人数x3 和产出 总产值y1 利税总额y2 的有关数据如下表 由于投入指标和产出指标都不止一个 故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值 三 DEA应用案例 1 对生产水平的相对有效性分析 对于第一个企业 产出综合值为60u1 12u2 投入综合值4v1 15v2 8v3 其中u1u2v1v2v3分别为产出与投入的权重系数 我们定义第一个企业的生产效率为 总产出与总投入的比 即 类似 可知第二 第三个企业的生产效率分别为 我们限定所有的hj值不超过1 即 这意味着 若第k个企业hk 1 则该企业相对于其他企业来说生产率最高 或者说这一生产系统是相对有效的 若hk 1 那么该企业相对于其他企业来说 生产效率还有待于提高 或者说这一生产系统还不是有效的 即 因此 建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下 这是一个分式规划 需要将它化为线性规划才能求解 设 则此分式规划可化为如下的线性规划 其对偶问题为 例2 梁敏 边馥萍 生产水平的相对有效性分析 数量经济技术经济研究 J 2003 9 91 94 利用含有非阿基米德无穷小 的CCR模型 对北京地区建立如下模型 同样建立其他三个直辖市的模型 求得的解如下 对于非DEA有效的DMU 可将其投影到DEA有效面 即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU 以天津为例 为得到同样的总产值和财政收入 输入可减少到 四 DEA主要应用领域 1 经济体效率评价 企业效率 银行效率 铁路运营地区FDI引进效率 投资基金业绩中国各地区健康生产效率2 运行过程评价 并购效率 电力改革绩效 钢铁行业3 规模效率 中国轿车企业规模经济效率 科研机构规模效益 寿险公司规模效率4 技术进步 江淮汽车 中国全要素生产率估算与分析农业创新系统 各省劳动生产率5 其他方面 衰退产业识别 物流园区投资规划 方案评价北京市可持续发展能力 作业分析 五 DEA最新研究进展 DEA的理论模型扩展1 BBC模型 FG模型 ST模型 综合DEA模型2 具有无穷多个决策单元的DEA模