湖北省黄冈市2017届高三数学一轮复习备考-立体几何考纲要求+空间垂直关系（说课）黄州中学

第一部分 立足立几考纲 把握高考动向第一部分 立足立几考纲 把握高考动向 一立体几何的考纲要求一立体几何的考纲要求 1 空间几何体 空间几何体 1 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活中简单物 体的结构 2 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识别上述 三视图所表示的立体模型 会用斜二测画法画出它们的直观图 3 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图 了解空间图形的不 同表示形式 4 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 2 空间点 直线 平面之间的位置关系 空间点 直线 平面之间的位置关系 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 3 以立体几何的有关定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行 垂直的有关性 质 与判定定理 并能够证明相关性质定理 4 能运用平行 垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的平行 垂直关系的简单命题 3 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 空间向量及其运算 空间向量及其运算 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 1 理解直线的方向向量及平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法 在研究立体几何问题中的应用 近几年 全国卷立体几何考纲要求保持稳定 几乎没有什么变化近几年 全国卷立体几何考纲要求保持稳定 几乎没有什么变化 年份 课标卷 1 考查内容 湖北卷考查内容 2008几何体的结构特征及线面角的定义以及点 面距与线面距转化 5 分 异面直线所成的角 5 分 球的性质与圆的性质转化 5 分 2009异面直线的夹角与余弦定理 5 分 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 5 底面外接圆的半径求出球的半径 5 分 9 考查球的表面积和体积公式 与导数知识结合 5 分 2010正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平 面的距离 5 分 考查棱柱 棱锥 棱台的体积 球内接多面 体 13 组合几何体的面积 体积 5 分 18 空间线线关系 二面角 12 分 2011通过三视图分析几何体的结构特征 5 分 球内接几何体体积的计算 5 分 18 空间直线与平面的位置关系 二面角 12 分 20121 通过三视图判断几何体的特征 利用 三视图的数据求出几何体的体积 5 分 2 考查球内角多面体及棱锥的体积 5 分 三视图与几何体的关系 正确判断几何体的特征 是解题的关键 5 分 球的体积公式及其估算 5 分 20136 球体的体积公式 5 分 8 三视图以及简单组合体的体积 5 分 利用三视图与已知条件判断组合体的形状 求出 几何体的体积 5 分 201412 三视图 5 分考查三视图的画法 5 分 考查阅读理解能力 考查圆锥体积公式 5 分 20156 数学史 圆锥体积 5 分 11 三视图求表面积体积 5 分 20166 考查三视图 5 分 11 异面直线的夹角的正弦 5 分 近五年全国卷近五年全国卷 17 题至题至 22 题的考点分布情况如下 题的考点分布情况如下 理科 17 18 19 20 21 22 2012解三角形概率统 分布列 期望 方差 立体几何 垂直 二面角 解析几何 抛物线和圆 函数与导数 单调性 二元 不等式 三 选 一 2013解三角形立体几何 垂直 直线和 平面所成角 概率统计 分布列 期望 解析几何 圆 椭圆 轨迹 函数与导数 几何意义 不 等式恒成立 三 选 一 2014数列 等差数列 递推数列 数列 求和 概率统计 正态 分布 二项分布 立体几何 垂直 二面角 解析几何 椭 圆 面积最值 函数导数 几何 意义 不等式证 明 三 选 一 2015数列 通项公式 裂项相消求和 立体几何 面面垂直 异 面直线所成角 概率统计 散点图 回归直线 解析几何 抛物线 直 线 函数与导数 几何意义 零 点 不等式 三 选 一 2016解三角形立体几何 面面垂直 二 面角 概率统计 分布列 期望 解析几何 椭圆 弦长 函数与导数 零点 不等式 构造 三 选 一 二二 立体几何命题特点和命题趋向立体几何命题特点和命题趋向 从近年来的情况来看 结构为两小题一大题 小题必考三视图问题 以柱体 椎体为 主 还常常出现组合体问题 解答题以棱柱 棱锥为载体 第一问常考察平行问题 垂直 问题 常规方法和向量方法都可以 第二问常考察角的问题 距离问题 1 试题分布基本保持稳定 试题分布基本保持稳定 1 本专题是高中数学的核心内容之一 在高考试题中一般有 3 个题 2 个选择题或填 空题 1 个解答题 有时减少 1 个小题 共计 22 分左右 约占总分的 15 2 2012 年第 7 题 2013 年第 8 题考查三视图的体积 2014 年第 12 题考查通过网 格给出三视图求原几何体最长的棱 2015 年第 11 题考查三视图 给出正视图和俯 视图以及几何体表面积求半径 2016 年第 6 题考查三视图 从几年的变化来看 三视图的题目根据其难易程度有前后微调的趋势 难度也逐渐增大 重点考查根据 三视图分析几何体的形状 求几何体的体积及视图判断等 3 2014 年第 18 题为概率统计题 第 19 题为立体几何题 而 2015 年第 18 题为立体 几何题 第 19 题为概率统计题 与 2014 年顺序相反 2016 年第 18 题为立体几何 题 第 19 题为概率统计题 这两题的顺序不固定 与两题的难度及整体试卷的协调 性有关系 2 试题命题趋势 试题命题趋势 1 重视学生空间想象能力考查 三视图考点越来越难 2 球接切几何体问题是热点 3 建立坐标系有越来越隐秘的特点 但逆向考平行 垂直 二面角这类开放型试题 没有出现 4 立体几何考题侧重考查学生的空间概念 逻辑思维能力 空间想象能力及运算能 力 在选择 填空题中侧重概念型 空间想象型 简单计算型问题 概念型 空间想象型 简单计算型问题 解答题侧重逻辑推理型 逻辑推理型 随着新的课程改革的进一步实施 立体几何考题正朝着 多一多一 点思考 少一点计算点思考 少一点计算 的发展 三三 复习立体几何的意义复习立体几何的意义 立体几何在高考中的地位高立体几何在高考中的地位高 立体几何是高中数学的重要部分 在高考中通常以主观 题 和客观题两种形式出现 分值在 17 22 分左右 复习立体几何的必要性复习立体几何的必要性 1 在高三复习中 不少学生基本作图能力薄弱 学生的认知结构中没有储存足够的基 本立体几何模型 想不到借助基本图形来判断复杂的位置关系 基本作图能力的薄 弱影响了学生对图形的观察与分析 制约了识图能力的提高 2 数学语言转换能力不强 空间想象能力要求学生能借助图形来反映用文字语言或符 号语言所表达的空间图形或位置关系 两次转化 一是文字语言或符号语言转化为 图形语言 二是空间向平面的转化 而大部分学生就是在转化的过程中出现问题 3 识图 用图的能力欠缺 学好立体几何要求学生具有熟练的识图 用图能力 即从 复杂的图形中区别出基本图形 并通过对基本图形的分析 识别出基本元素之间的基 本关系 学生往往对图形仔细观察不够 推理分析不深 不能克服由空间到平面所产 生的错觉 从而不能正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构 第二部分 微专题复习设计说课第二部分 微专题复习设计说课 空间垂直关系空间垂直关系 湖北省黄州中学 张勇 今天我说课的课题是空间垂直关系 我将从教材分析 学情分析 教法与学法分析 教学过 程这四个方面来阐述我的设计 一 教材分析一 教材分析 垂直关系是立体几何的重要组成部分 是系统学习平行关系后的又一重要内容 也是 后续研究线面角和空间距离的基础 是培养学生抽象概括和空间想象能力的良好素材 同时 也是高考中常考热点之一 考情要览 2011 年全国卷以四棱锥为背景 证明线线垂直 2012 年全国卷以三棱柱为背景 证明面面垂直 2013 年全国卷 考查直线与平面的位置关系 2013 年全国卷 以三棱柱为背景 证明线线垂直 2014 年全国卷 以三棱柱为背景 证明线线垂直 考查线面位置判定定理 性质定理及求 三棱柱的高 2015 年全国卷 以四棱锥为背景 证明面面垂直 2016 年全国卷 以 楔体 为背景 证明面面垂直 二 学情分析 我面对的教学对象是高三理科普通班学生 基础相对薄弱 他们已经具有了一定的观 察和分析的能力 抽象概括和空间想象能力得到了一定的发展 但针对空间垂直关系的转 化和变维思想 学生对此有一定的理解难度 我们老师应注意启发和引导 教学目标教学目标 知识技能 会运用空间垂直关系的判定和性质定理 证明有关的问题 过程能力与方法 善于应用 转化 和 变维 的思想 解决垂直问题 情感态度价值观 渗透 事物之间是相互联系的 辩证唯物主义观点 重点重点 提高学生用几何法证明空间垂直关系的能力 难点难点 提高学生的数学转化思维能力 三 教法与学法分析 为了更好的突出重点 突破难点 结合学生实际情况 通过课前准备 课内探究 集中整理 不断巩固 4 个方面 以基础知识和运用能力作为 内化 而构成学生的知识结构 在教法与教学手段上 体现教师的启发和引导 在教学过程中 注重让学生去观察 去发 现 去创造 避免用教师的思维代替学生思维 另外采用多媒体辅助教学 增大课堂容量 提高复习课堂效益 四 教学过程 教学过程按五个环节进行 基础自测教学过程按五个环节进行 基础自测 引入课题引入课题 知识回顾知识回顾 复习旧知复习旧知 例题讲解例题讲解 提炼方法提炼方法 巩固练习巩固练习 反馈落实反馈落实 课堂小结课堂小结 总结升华总结升华 1 直线 a 不垂直于平面 则 内与 a 垂直的直线条数是 2 给出下列四个命题 若直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线与平面垂直 若直线与平面内的任意一条直线都垂直 则这条直线与平面垂直 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线 则这条直线垂直于两底边所在的直线 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线 则这条直线垂直于两腰所在的直线 其中正确的命题共有个 3 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面 连结 PB PC PD AC BD 则下列结论中成立的 序号是 面 PAB 面 PBC 面 PAB 面 PAD 面 PAB 面 PCD 面 PAB 面 PAC 设计说明设计说明 1 处理过程 处理过程 学生独立完成 请一位同学简述每道小题的答案和涉及的定义或定理 老师作 出点评 2 设计意图 设计意图 通过简单的三道小题 初步检测学生对空间垂直关系的掌握程度 梳理出基 本 知识点 使学生明确本节课所复习的内容 1 线线垂直线线垂直 相交垂直和 垂直 2 直线与平面垂直直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法判定直线和平面垂直的方法 定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直 则称该直线与该平面垂直 判定定理 一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线和此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条直线也 这个平面 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于该平面内的直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面 3 平面与平面垂直平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 如果两个平面所成的二面角是直二面角 则这两个平面互相垂直 利用判定定理 一个平面经过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质定理 两平面垂直 则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面 设计说明 设计说明 回归课本 梳理基本证明方法 集中有关定义和定理 为进入下一个环节做好准 备 设计说明设计说明 选题目的 借助 平躺 的三棱柱 培养学生寻找隐含条件的意识 以线线垂直为证明目标 突出 线线垂直和线面垂直的相互转化思想 处理过程 引导学生从 侧面 BB1C1C 为菱形 这一条件出发 得出B1C BC1 分析AO 平面BB1C1C 又得B1C AO 再引导学生分析B1C BC1 AO三条直线中的垂直关系 让学 生思考出可证B1C 平面ABO便可容易得出B1C AB 给出规范的步骤后 老师指出 B1C 平面 ABO 由 于 AB 平面 ABO 故 B1C AB 中不可省略 AB 平面 ABO 让学生进行小结 同时一梳理常见 的隐含条件 如等腰三角形底边的高 中线和顶角的角平分线 直径所对的圆周角 直角三角形 直角梯 形 矩形等 命题视角 2 线面垂直 例 2 2015 重庆 如图 三棱锥 P ABC 中 平面 PAC 平面 ABC ABC 点 D E 在线段 AC 上 且 2 AD DE EC 2 PD PC 4 点 F 在线段 AB 上 且 EF BC 1 证明 AB 平面 PFE 2 略 证明 1 如图 由DE EC PD PC知 E为等腰 PDC中DC边的中点 故PE AC 命命题题视视角角 1 1 线线线线垂垂直直 例例 1 1 2014 全国卷 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 BB1C1C 为菱形 B1C 的中点为 O 且 AO 平面 BB1C1C 1 证明 B1C AB 2 略 证明 连接 BC1 则 O 为 B1C 与 BC1的交点 因为侧面 BB1C1C 为菱形 所以 B1C BC1 又 AO 平面 BB1C1C 所以 B1C AO 故 B1C 平面 ABO 由于 AB 平面 ABO 故 B1C AB 又平面PAC 平面ABC 平面PAC 平面ABC AC PE在平面PAC上 PE AC 所以PE 平面ABC 从而PE AB 因 ABC EF BC 故AB EF 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE EF都垂直 2 所以 AB 平面 PFE 设计说明 设计说明 选题目的 解决线面垂直问题时 同样要注意线线垂直和线面垂直的转化 在证明过程中 需充分 利用几何体特征简化问题 有时由长度特征可得线线垂直关系 面面垂直的性质定理是寻找线面垂直的一 个重要的突破口 处理过程 让学生讨论交流 寻找题目中隐含的垂直关系 得到 EF AB 线线垂直条件 引导学 生实施两次转化 先由平面PAC 平面ABC 面面垂直 得到 PE 平面 ABC 线面垂直 再由 PE 平面 ABC 线面垂直 得到 PE AB 线线垂直 从而为AB 平面PFE 线面垂直 创造第二个垂直条件 设计说明 设计说明 选题目的 培养学生观察与分析几何体中线线关系的能力 空间垂直问题的计算常以垂直关系为先决条件 进 一步突出垂直关系转化思路 处理过程 老师提示两种证明方法 利用建空间直角坐标系采取坐标法和定义法 学生分组讨论这两种是否容易 操作 引导学生转向思考现有的直线中能否可寻找出平面 AEC 或平面 BED 的垂线 先后请 2 名同学依次 板书第一小问证明过程和第二问计算过程 老师指出可能出现的错误 规范解题步骤 总结解题方法 通 命命题题视视角角 3 3 面面面面垂垂直直 例例 3 2015 全全国国卷卷 如如图图 四四边边形形 ABCD 为为菱菱形形 G 为为 AC 与与 BD 的的交交点点 BE 平平面面 ABCD 1 证证明明 平平面面 AEC 平平面面 BED 2 若若 ABC 120 AE EC 三三棱棱锥锥 E ACD 的的体体积积为为 6 3 求求该该三三棱棱锥锥的的侧侧面面积积 过小组内再次交流 学生自己梳理处理方法 加强自己所学方法的系统化 条理化 使认知结构更趋合理 巩固练习选择意图 1 熟练掌握空间垂直关系的判定定理和性质定理以及相互转化 使学生的基础知识和运用 能力进一步内化 2 加强数学语言