知识点,初中数学

七年级数学 上 知识点七年级数学 上 知识点 人教版七年级数学上册主要包含了 有理数 整式的加减 一元一次方程 图形的认识初步四个章节的内容 第一章第一章 有理数有理数 一 知识框架 二 知识概念 1 有理数 1 凡能写成形式的数 都是有理数 0pq p p q 为整数且 正整数 0 负整数统称整数 正分数 负分数统称分数 整数和分数统称有理数 注意 0 即不是正数 也不是负数 a 不一定是负数 a 也不一定是正数 不是有理数 2 有理数的分类 按性质分类 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 按定义分类 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 2 数轴 数轴是规定了原点 正方向 单位长度的一条直线 数轴 画一条水平直线 在直线上取一点表示 0 原点 选取某一长度作为单位长 度 规定直线上向右的方向为正方向 就得到数轴 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 如果两个数只有符号不同 那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数 也 称这两个数互为相反数 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的两 侧 并且与原点距离相等 数轴上两个点表示的数 右边的总比左边的大 正数大于 0 负数小于 0 正 数大于负数 3 相反数 1 只有符号不同的两个数 我们说其中一个是另一个的相反数 0 的相反数还是 0 2 相反数的和为 0 a b 0 a b 互为相反数 3 相反数的几何定义 在数轴上 分别位于远点的两侧 到原点的距离相等的两个 点所表示的数叫做相反数 4 绝对值 1 正数的绝对值是其本身 0 的绝对值是 0 负数的绝对值是它的相反数 注意 绝 对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离 2 绝对值可表示为 或 0a a 0a 0 0a a a 0a a 0a a a 绝对值的问题经常分类讨论 5 有理数比大小 1 正数的绝对值越大 这个数越大 2 正数永远比 0 大 负数永远比 0 小 3 正数大于一切负数 4 两个负数比大小 绝对值大的反而小 5 数轴上的两个数 右边的数总比左边的数大 6 大数 小数 0 小数 大数 0 6 互为倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数 注意 0 没有倒数 若 a 0 那么的倒数是 a a 1 若 ab 1 a b 互为倒数 若 ab 1 a b 互为负倒数 7 有理数的运算 加法 同号相加 取相同的符号 把绝对值相加 异号相加 绝对值相等时和为 0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的 符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数与 0 相加不变 减法 减去一个数 等于加上这个数的相反数 即 a b a b 乘法 两数相乘 同号得正 异号得负 绝对值相乘 任何数与 0 相乘得 0 乘积为 1 的两个有理数互为倒数 几个数相乘 有一个因式为零 积为零 各个因式都不为零 积的符号 由负因式的个数决定 除法 除以一个数等于乘以一个数的倒数 0 不能作除数 无意义即0 a 乘方 求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方 乘方的结果叫幂 A 叫底数 N 叫次数 混合顺序 先算乘法 再算乘除 最后算加减 有括号要先算括号里的 8 有理数的运算定律 1 有理数的加法运算律 加法的交换律 a b b a 加法的结合律 a b c a b c 2 有理数乘法的运算律 乘法的交换律 ab ba 乘法的结合律 ab c a bc 乘法的分配律 a b c ab ac 9 有理数乘方的法则 1 正数的任何次幂都是正数 2 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 注意 当 n 为正奇数时 a n an或 a b n b a n 当 n 为正偶数时 a n an 或 a b n b a n 10 科学记数法 把一个大于 10 的数记成 a 10n的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 这种记 数法叫科学记数法 11 近似数的精确位 一个近似数 四舍五入到那一位 就说这个近似数的精确到那一位 12 有效数字 从左边第一个不为零的数字起 到精确的位数止 所有数字 都叫这个近似数的有 效数字 13 混合运算法则 先乘方 后乘除 最后加减 本章内容要求学生正确认识有理数的概念 在实际生活和学习数轴的基础上 理解正 负数 相反数 绝对值的意义所在 重点利用有理数的运算法则解决实际问题 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要 激发学生学习数学的兴趣 教师培养学生 的观察 归纳与概括的能力 使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力 教师在讲授 本章内容时 应该多创设情境 充分体现学生学习的主体性地位 第二章第二章 整式的加减整式的加减 一 知识框架 二 知识概念 1 单项式 由数或字母的乘积组成的式子叫做单项式 补充 在代数式中 若只含有乘法 包括乘方 运算 或虽含有除法运算 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 2 单项式的系数与次数 单项式中不为零的数字因数 叫单项式的数字系数 简称单项式的系数 单项式中所有字母指数的和 叫单项式的次数 说明 1 圆周率 是常数 2 对于单独的一个数 规定它的次数为 0 3 多项式 几个单项式的和叫多项式 4 多项式的项数与次数 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数 每个单项式叫多项式的项 其 中不含字母的项叫做常数项 多项式里 次数最高项的次数叫多项式的次数 5 整式 单项式与多项式统称整式 6 同类项 1 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 另外 所有的 常数项都是同类项 2 两同两无关 所含字母相同 相同字母的指数相同 与该项的系数无关 与该项中字母的排列顺序无关 7 合并同类项 1 把多项式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 2 方法 字母和指数不变 系数相加 8 去括号 1 法则 如果括号外的因数是正数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 如果括号外的因数是负数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 2 注意 去括号时 要将括号联通它前面的符号一起去掉 3 口诀 去掉正括号 各项不变号 去掉负括号 各项都变号 9 整式的加减 1 法则 一般的 几个整式相加减 如果有括号就先去括号 然后再合并同类项 通过本章学习 应使学生达到以下学习目标 1 理解并掌握单项式 多项式 整式等概念 弄清它们之间的区别与联系 2 理解同类项概念 掌握合并同类项的方法 掌握去括号时符号的变化规律 能正确地进 行同类项的合并和去括号 在准确判断 正确合并同类项的基础上 进行整式的加减运算 3 理解整式中的字母表示数 整式的加减运算建立在数的运算基础上 理解合并同类项 去括号的依据是分配律 理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立 4 能够分析实际问题中的数量关系 并用还有字母的式子表示出来 在本章学习中 教师可以通过让学生小组讨论 合作学习等方式 经历概念的形成过 程 初步培养学生观察 分析 抽象 概括等思维能力和应用意识 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 一 知识框架 二 知识概念 1 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程 2 解方程和方程的解 解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值 这个值就是方程的解 1 判断一个数是不是方程的解 可以把这个数分别代入方程的两边 若方程的 两边相等 则该数就是方程的解 反之 则不是方程的解 2 方程的解和解方程是两个不同的概念 方程的解是一个过程 是具体的数值 而解方程是一个变形的过程 3 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的次数是 1 的整式方程是一元一次方程 4 一元一次方程的标准形式 ax b 0 x 是未知数 a b 是已知数 且 a 0 5 等式的性质 性质 1 等式的两边加 或减 同一个数 或式子 结果仍相等 即 如果 a b 那么 a c b c 性质 2 等式的两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 即 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 a c b c 6 合并同类项 同类项的系数相加 字母及字母的指数不变 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边 把含有未知数的式子移到等式的左边 常数项移到等式的右边 7 去括号 如果括号外的因数是正数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 如果括号外的因数是负数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 8 去分母 1 最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个公倍 数叫做这几个数的最小公倍数 求几个数的最小公倍数一般采用短除法 2 根据等式的性质 2 方程各项都乘所有分母的最小公倍数 从而约去分母 使 方程的系数化成整数 3 注意 各项都要乘各分母的最小公倍数 不要漏乘没有分母的项 如果分子是一个多项式 去分母时要将分子作为一个整体加上括号 10 一元一次方程解法的一般步骤 变形名称具体做法根据注意事项 去分母在方程两边乘各分母 的最小公倍数 当分 母是小数时 要先利 用分数的基本性质把 小数转化为整数 然 后再去分母 等式的性质 2 1 不要漏乘不含 分母的项 2 分子是一个多 项式 去分母后应加 上括号 去括号先去小括号 再去中 括号 最后去大括号 乘法分配律 去括号法则 1 不要漏乘括号 里的任何一项 2 不要弄错符号 移项把含有未知数的项都 移到方程的一边 其 他项都移到方程的另 一边 等式的性质 1 1 移项要变号 2 不要丢项 合并同类项把方程化为 ax b a 0 的形式 整式的加减运算法则字母及其指数不变 系数化为 1在方程的两边都除以 未知数的系数 a 得 到方程的解 x a b a 0 等式的性质 2不要把分子 分母搞 颠倒 11 列一元一次方程解应用题 1 读题分析法 多用于 和 差 倍 分问题 仔细读题 找出表示相等关系的关键字 例如 大 小 多 少 是 共 合 为 完 成 增加 减少 配套 利用这些关键字列出文字等式 并且据题意设出未知数 最 后利用题目中的量与量的关系填入代数式 得到方程 2 画图分析法 多用于 行程问题 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现 仔细读题 依照题意画出有关图 形 使图形各部分具有特定的含义 通过图形找相等关系是解决问题的关键 从而取得布 列方程的依据 最后利用量与量之间的关系 可把未知数看做已知量 填入有关的代数式 是获得方程的基础 12 列方程解应用题的常用公式 1 行程问题 距离 速度 时间 时间 距离 速度 速度 距离 时间 2 工程问题 工作量 工效 工时 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 3 比率问题 部分 全体 比率 全体 部分 比率 比率 部分 全体 4 顺逆流问题 顺流速度 静水速度 水流速度 逆流速度 静水速度 水流速度 5 商品价格问题 售价 定价 折 利润 售价 成本 10 1 100 成本 成本售价 利润率 6 周长 面积 体积问题 C圆 2 R S圆 R2 C长方形 2 a b S长方形 ab C正方 形 4a S正方形 a2 S环形 R2 r2 V长方体 abc V正方体 a3 V圆柱 R2h V圆锥 R2h 3 1 本章内容是代数学的核心 也是所有代数方程的基础 丰富多彩的问题情境和解决问题 的快乐很容易激起学生对数学的乐趣 所以要注意引导学生从身边的问题研究起 进行有 效的数学活动和合作交流 让学生在主动学习 探究学习的过程中获得知识 提升能力 体会数学思想方法 第四章第四章图形的认识初步图形的认识初步 一 知识框架 二 知识概括 1 几何图形 我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形 立体图形 有些几何图形的各部分不都在同一平面内 它们是立体图形 平面图形 有些几何图形的各部分都在同一平面内 它们是平面图形 展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的 将他们的表面适当的展开 可以展开 成平面图形 这样的图形称为相应立体图形的展开图 2 点 线 面 体 图形是由点 线 面构成的 面与面相交得线 线与线相交得点 点动成线 线动成面 面动成体 3 截一个几何体 用一个平面去截一个图形 截出的面叫做截面 视图 从立体图形的正面 左面 上面三个角度观察立体图形 主视图 左视图 俯视图 4 直线 直线是最简单 最基本的几何图形之一 是一个不做定义的原始概念 直线常用 一根拉的很紧的细线 一张纸的折痕 等实际事物进行形象描述 5 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 即 两点确定一条直线 6 线 线段有两个端点 将线段向一个方向无限延长就形成了射线 射线只有一个端点 将线段的两端无限延长就形成了直线 直线没有端点 经过两点有且只有一条直线 7 比较长短 两点之间的所有连线中 线段最短 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 名称表示方法基本性质图形举例特征 直线 用表示直线上任 意两点的大写字母 表示 用一个小写字母 表示 经过两点有一条 直线 并且只有 一条直线 简述 为 两点确定一 条直线 直线 l 或直线 AB 无端点 向两边无限延伸 无长短 定义表示方法图形举例特征 射线直线上一点和它一 旁的部分叫做射线 这一点叫做射线的 端点 用表示射线的 端点和射线上的 另一点的大写字 母表示 表示端 点的必须写在前 面 用一个小写字 母表示 射线 OA 或射线 l 一个端点 有方向 无长短 线段直线上两点及两点 间的部分叫做线段 这两个点叫做线段 的端点 用表示线段的 两个端点的大写 字母表示 用一个小写字 母表示 线段 AB 或线段 BA 或线段 a 两个端点 无方向 有长短 8 角的度量与表示 角由两条具有公共端点的射线组成 两条射线的公共端点是这个角的顶点 一度的 1 60 是一分 一分的 1 60 是一秒 9 角的比较 角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的 一条射线绕着他的端点旋转 当终边和始边成一条直线时 所成的角叫做平角 始边继续旋转 当他又和始边重合时 所成的角叫做周角 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这 个角的平分线 10 余角和补角 如果两个角的和等于 90 度 就说这两个角互为余角 如果两个角的和等于 180 度 就说这两个叫互为补角 性质 等角的补角相等 等角的余角相等 11 角的表示方法 图形记法说明 用三个大写字母表示 左图 的角记作 AOC 字母 O 表示顶点 要写在中间 A C 表示角的两边上的点 用该 表示法可依表示任何一个角 用一个大写字母表示 左图 的角记作 O 当以某一个字母为顶点的角只有一 个时 可以用这个顶点字母来表示 用数字 1 2 3 表示 或 用希腊字母 表示 AOB 可记作 1 BOC 可记作 2 DOC 可记作 要在靠近角的顶点处加上弧线 该 表示法形象直观 只方便表示单独 的角 不方便表示含有角的角 说明 角的大小与边的长短无关 因为角的两边是射线 不可以度量 角的大小只与构成角的两 边张开的大小有关 角可以度量 可以比较大小 可以参与计算 本章的主要内容是图形的初步认识 从生活周围熟悉的物体入手 对物体的形状的认 识从感性逐步上升到抽象的几何图形 通过从不同方向看立体图形和展开立体图形 初步认 识立体图形与平面图形的联系 在此基础上 认识一些简单的平面图形 直线 射线 线 段和角 本章书涉及的数学思想 1 分类讨论思想 在过平面上若干个点画直线时 应注意对这些点分情况讨论 在画图形 时 应注意图形的各种可能性 2 方程思想 在处理有关角的大小 线段大小的计算时 常需要通过列方程来解决 3 图形变换思想 在研究角的概念时 要充分体会对射线旋转的认识 在处理图形时应注 意转化思想的应用 如立体图形与平面图形的互相转化 4 化归思想 在进行直线 线段 角以及相关图形的计数时 总要划归到公式 n n 1 2 的具 体运用上来 八年级上学期八年级上学期知识点知识点 第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 一 知识框架 二 知识概念 1 全等三角形 两个三角形的形状 大小 都一样时 其中一个可以经过平移 旋转 对 称等运动 或称变换 使之与另一个重合 这两个三角形称为全等三角形 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等 对应边相等 3 三角形全等的判定公理及推论有 1 边角边 简称 SAS 2 角边角 简称 ASA 3 边边边 简称 SSS 4 角角边 简称 AAS 5 斜边和直角边相等的两直角三角形 HL 4 角平分线推论 角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上 5 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤 确定已知条件 包括隐含条件 如公共边 公共角 对顶角 角平分线 中线 高 等腰三角形 等所 隐含的边角关系 回顾三角形判定 搞清我们还需要什么 正确地书写证明格式 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题 考点一 全等三角形的概念考点一 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 两个 三角形全等时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角 叫做对应角 夹边就是三角形中相邻两角的公共边 夹角就是三角形中有公共端点的两边 所成的角 考点二 全等三角形的表示和性质考点二 全等三角形的表示和性质 全等用符号 表示 读作 全等于 如 ABC DEF 读作 三角形 ABC 全等于 三角形 DEF 注 记两个全等三角形时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 考点三 三角形全等的判定考点三 三角形全等的判定 三角形全等的判定定理 三角形全等的判定定理 1 边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可简写成 边角边 或 SAS 2 角边角定理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成 角边角 或 ASA 3 边边边定理 有三边对应相等的两个三角形全等 可简写成 边边边 或 SSS 4 角角边定理 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可简写成 角角 边 或 AAS 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 对于特殊的直角三角形 判定它们全等时 还有 HL 定理 斜边 直角边定理 有斜边 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 斜边 直角边 或 HL 考点四 全等变换考点四 全等变换 只改变图形的位置 二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换包括一下三种 1 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 2 对称变换 将图形沿某直线翻折 180 这种变换叫做对称变换 3 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 在学习三角形的全等时 教师应该从实际生活中的图形出发 引出全等图形进而引出 全等三角形 通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处 在经历三角形的角平分 线 中线等探索中激发学生的集合思维 启发他们的灵感 使学生体会到集合的真正魅力 第十二章第十二章 轴对称轴对称 一 知识框架 二 知识概念 1 对称轴 如果一个图形沿某条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图 形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 2 性质 1 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2 角平分线上的点到角两边距离相等 3 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等 4 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 5 轴对称图形上对应线段相等 对应角相等 3 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 4 等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 简称为 三线合一 5 等腰三角形的判定 等角对等边 6 等边三角形角的特点 三个内角相等 等于 60 7 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等腰三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60 的三角形是等边三角形 8 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 9 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 考点一 等腰三角形的性质考点一 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的性质定理及推论 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 推论 1 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高重合 推论 2 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 60 2 等腰三角形的其他性质 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角 不能为钝角 或直角 但顶角可为钝角 或直角 等腰三角形的三边关系 设腰长为 a 底边长为 b 则 a 2 b 等腰三角形的三角关系 设顶角为顶角为 A 底角为 B C 则 A 180 2 B B C 2 180A 考点二 等腰三角形的判定考点二 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论 定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等边 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 推论 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质等腰三角形判定 中 线 1 等腰三角形底边上的中线垂直底边 平分顶角 2 等腰三角形两腰上的中线相等 并且它们的交 点与底边两端点距离相等 1 两边上中线相等的三角形是等腰三角形 2 如果一个三角形的一边中线垂直这条边 平分这个边的对角 那么这个三角形是等 腰三角形 角 平 分 线 1 等腰三角形顶角平分线垂直平分底边 2 等腰三角形两底角平分线相等 并且它们的交 点到底边两端点的距离相等 1 如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的 对边 平分对边 那么这个三角形是等腰三 角形 2 三角形中两个角的平分线相等 那么这个 三角形是等腰三角形 高 线 1 等腰三角形底边上的高平分顶角 平分底边 2 等腰三角形两腰上的高相等 并且它们的交点 和底边两端点距离相等 1 如果一个三角形一边上的高平分这条边 平分这条边的对角 那么这个三角形是等 腰三角形 2 有两条高相等的三角形是等腰三角形 角等边对等角等角对等边 边底的一半 腰长0 时 直线 y kx 经过第 一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k0 y 0 x 图像经过一 二 三象限 y 随 x 的增大而增 大 k 0 b0 y 0 x 图像经过一 二 四象限 y 随 x 的增大 而减小 K 0 b0 时 图像经过第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 2 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 2 当 kn 在应用时需要注意以下几点 法则使用的前提条件是 同底数幂相除 而且 0 不能做除数 所以法则中 a 0 任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 即 0 1 0 aa 如 1100 2 50 1 则 00无意义 任何不等于 0 的数的 p 次幂 p 是正整数 等于这个数的 p 的次幂的倒数 即 p p a a 1 a 0 p 是正整数 而 0 1 0 3都是无意义的 当 a 0 时 a p的值一定是正的 当 a 0 时 a p 的值可能是正也可能是负的 如 4 1 2 2 8 1 2 3 运算要注意运算顺序 7 整式的除法 单项式除法单项式 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被 除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以单项式 再把所得 的商相加 8 分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式分解因式 分解因式的一般方法 1 提公共因式法 2 运用公式法 3 十字相乘法 分解因式的步骤 1 先看各项有没有公因式 若有 则先提取公因式 2 再看能否使用公式法 3 用分组分解法 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分 解的目的 4 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 否则不是因式分解 5 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 考点一 因式分解考点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 叫做把这个多项式因式分解 也叫做把这个多项 式分解因式 考点二 因式分解的常用方法考点二 因式分解的常用方法 1 提公因式法 cbaacab 2 运用公式法 22 bababa 222 2bababa 222 2bababa 3 分组分解法 dcbadcbdcabdbcadac 4 十字相乘法 2 qapapqaqpa 考点三 因式分解的一般步骤考点三 因式分解的一般步骤 1 如果多项式的各项有公因式 那么先提取公因式 2 在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下 观察多项式的项数 2 项式可以 尝试运用公式法分解因式 3 项式可以尝试运用公式法 十字相乘法分解因式 4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 3 分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止 整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多 表面看来零碎的概念和性质也较多 但 实际上是密不可分的整体 在学习本章内容时 应多准备些小组合作与交流活动 培养学 生推理能力 计算能力 在做题中体验数学法则 公式的简洁美 和谐美 提高做题效率 九年级上学期知识点九年级上学期知识点 第二十一章 二次根式第二十一章 二次根式 一 知识框架 二 知识概念 二次根式 一般地 形如 a 0 的代数式叫做二次根式 当 a 0 时 a 表示 a 的算数 平方根 其中 0 0 对于本章内容 教学中应达到以下几方面要求 1 理解二次根式的概念 了解被开方数必须是非负数的理由 2 了解最简二次根式的概念 3 理解并掌握下列结论 1 是非负数 2 3 4 掌握二次根式的加 减 乘 除运算法则 会用它们进行有关实数的简单四则运算 5 了解代数式的概念 进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用 考点一 二次根式考点一 二次根式 式子叫做二次根式 二次根式必须满足 含有二次根号 被开方数 a 必 0 aa 须是非负数 考点二 最简二次根式考点二 最简二次根式 若二次根式满足 被开方数的因数是整数 因式是整式 被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式 这样的二次根式叫做最简二次根式 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤 1 如果被开方数是分数 包括小数 或分式 先利用商的算数平方根的性质把它写成分 式的形式 然后利用分母有理化进行化简 2 如果被开方数是整数或整式 先将他们分解因数或因式 然后把能开得尽方的因数或 因式开出来 考点三 同类二次根式考点三 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 这几个二次根式叫做同类二次 根式 考点四 二次根式的性质考点四 二次根式的性质 1 0 2 aaa 0 aa 2 aa 2 3 4 0 aa 0 0 babaab 0 0 ba b a b a 考点五 二次根式混合运算考点五 二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样 先乘方 再乘除 最后加减 有括号的先 算括号里的 或先去括号 第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 一 知识框架 二 知识概括 1 一元二次方程 方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次 数是 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 2 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 3 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二次项 a 是二次 项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 4 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下 通过解方程来解决一些实际问题 1 运用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 领会降次 转化的数学思想 2 配方法解一元二次方程的一般步骤 现将已知方程化为一般形式 化二次项系数为 1 常数项移到右边 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全平方 式 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实 根 介绍配方法时 首先通过实际问题引出形如的方程 这样的方程可以化为更为简 单的形如的方程 由平方根的概念 可以得到这个方程的解 进而举例说明如何解 形如的方程 然后举例说明一元二次方程可以化为形如的 方程 引出配方法 最后安排运用配方法解一元二次方程的例题 在例题中 涉及二次项 系数不是 1 的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 对于没有实数根的一元 二次方程 学了 公式法 以后 学生对这个内容会有进一步的理解 3 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 2 4 2 bbac a 就得到方程的根 公式所出现的运算 恰好包括了 所学过的六中运算 加 减 乘 除 乘方 开方 这体现了公式的统一性与和谐性 这 个式子叫做一元二次方程的求根公式 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 考点一 一元一次方程的概念 1 方程 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 方程的解 方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 等式的性质 等式的性质 1 等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得结果仍是等式 2 等式的两边都乘以 或除以 同一个数 除数不能是零 所得结果仍是等式 4 一元一次方程 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 其中方程 叫做一元一次方程的标准形式 a 是未知数 x 的系数 b 为未知数 0ax0 bax 是常数项 考点二 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式 等 0 0 2 acbxax 式右边是零 其中叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系 2 ax 数 c 叫做常数项 考点三 一元二次方程的解法 1 直接开平方法 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 直接开平方 法适用于解形如的一元二次方程 根据平方根的定义可知 是 b 的平方bax 2 ax 根 当时 当 b 0 时 方程没有实数根 0 bbax bax 2 配方法 配方法 配方法是一种重要的数学方法 它不仅在解一元二次方程上有所应用 而且在数学的其他 领域也有着广泛的应用 配方法的理论根据是完全平方公式 把 222 2bababa 公式中的 a 看做未知数 x 并用 x 代替 则有 222 2bxbbxx 3 公式法 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程的求根公式 0 0 2 acbxax 04 2 4 2 2 acb a acbb x 4 因式分解法 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段 求出方程的解的方法 这种方法简单易行 是解一 元二次方程最常用的方法 考点四 一元二次方程根的判别式 3 分 根的判别式根的判别式 一元二次方程中 叫做一元二次方程 0 0 2 acbxaxacb4 2 的根的判别式 通常用 来表示 即 0 0 2 acbxax acb4 2 考点五 一元二次方程根与系数的关系 3 分 如果方程的两个实数根是 那么 0 0 2 acbxax 21 xx a b xx 21 也就是说 对于任何一个有实数根的一元二次方程 两根之和等于方程的一次 a c xx 21 项系数除以二次项系数所得的商的相反数 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 第第二二十十三三章章 旋旋转转 一 知识框架 二 知识概念 1 旋转 在平面内 将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图 形的旋转 这个定点叫做旋转中心 转动的角度叫做旋转角 图形的旋转是图形上的每一 点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 对应线段的长度 对应角的大小相等 旋转前后图形的大小和形状没有改变 2 旋转对称中心 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合 这种图形 叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心 旋转的角度叫做旋转角 旋转角小于 0 大于 360 3 中心对称图形与中心对称 中心对称图形 如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合 那么我们就说 这个图形成中心对称图形 中心对称 如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合 那么我们就说 这两个图形成中心对称 4 中心对称的性质 关于中心对称的两个图形是全等形 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或者在同一直线上 且相等 考点一 旋转考点一 旋转 3 83 8 分 分 1 定义 把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 其中 O 叫做旋转中心 转动的 角叫做旋转角 2 性质 1 对应点到旋转中心的距离相等 2 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 考点二 中心对称考点二 中心对称 3 3 分 分 1 定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合 那 么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 2 性质 性质 1 关于中心对称的两个图形是全等形 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 3 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或在同一直线上 且相等 3 判定 判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于这一 点对称 4 中心对称图形 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合 那么 这个图形叫做中心对称图形 这个店就是它的对称中心 考点五 坐标系中对称点的特征 3 分 1 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时 它们的坐标的符号相反 即点 P x y 关于原点的对称点为 P x y 2 关于 x 轴对称的点的特征 两个点关于 x 轴对称时 它们的坐标中 x 相等 y 的符号相反 即点 P x y 关于 x 轴 的对称点为 P x y 3 关于 y 轴对称的点的特征 两个点关于 y 轴对称时 它们的坐标中 y 相等 x 的符号相反 即点 P x y 关于 y 轴 的对称点为 P x y 本章内容通过让学生经历观察 操作等过程了解旋转的概念 探索旋转的性质 进一 步发展空间观察 培养几何思维和审美意识 在实际问题中体验数学的快乐 激发对学习 学习 第二十四章第二十四章 圆圆 一 知识框架 二 知识概念 1 圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称 为半径 2 圆弧和弦 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为 劣弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 3 圆心角和圆周角 顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上 且它的两边分别 与圆有另一个交点的角叫做圆周角 4 内心和外心 过三角形的三个顶点的圆叫做 三角形的外接圆 其圆心叫做三角形的 外心 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心 5 扇形 在圆上 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形 6 圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径称为圆锥的母线 7 圆和点的位置关系 以点 P 与圆 O 的为例 设 P 是一点 则 PO 是点到圆心的距离 P 在 O 外 PO r P 在 O 上 PO r P 在 O 内 PO r 8 直线与圆有 3 种位置关系 无公共点为相离 有两个公共点为相交 这条直线叫做 圆的割线 圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点 叫做切点 9 两圆之间有 5 种位置关系 无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离 在之内叫内 含 有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切 在之内叫内切 有两个公共点的叫相 交 两圆圆心之间的距离叫做 圆心距 两圆的半径分别为 R 和 r 且 R r 圆心距 为 P 外离 P R r 外切 P R r 相交 R r P R r 内切 P R r 内含 P R r 10 切线的判定方法 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 11 切线的性质 1 经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 经过切点 垂直于切线的直线必经过圆心 3 圆的切线垂直于经过切点的半径 12 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 13 有关定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 在同圆或等圆中 同弧等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 14 圆的计算公式 1 圆的周长 C 2 r d 2 圆的面积 S r 2 3 扇形弧长 l n r 180 15 扇形面积 S R 2 r 2 5 圆锥侧面积 S rl 考点一 圆的相关概念 3 分 1 圆的定义 在一个个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点 A 随之旋 转所形成的图形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 2 圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作 O 读作 圆 O 考点二 弦 弧等与圆有关的定义 3 分 1 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图中的 AB 2 直径 经过圆心的弦叫做直径 如途中的 CD 直径等于半径的 2 倍 3 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧 每一条弧都叫做半圆 4 弧 优弧 劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 弧用符号 表示 以 A B 为端点的弧记作 读作 圆弧 AB 或 弧 AB 大于半圆的弧叫做优弧 多用三个字母表示 小于半圆的弧叫做劣弧 多用两个字母表示 考点三 垂径定理及其推论 3 分 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 垂径定理及其推论可概括为 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四 圆的对称性 3 分 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 2 圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 考点五 弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系定理 3 分 1 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 2 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 3 弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相 等 所对的弦想等 所对的弦的弦心距相等 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆的圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 考点六 圆周角定理及其推论 3 8 分 1 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 2 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 考点七 点和圆的位置关系 3 分 设 O 的半径是 r 点 P 到圆心 O 的距离为 d 则有 dr点 P 在 O 外 考点八 过三点的圆 3 分 1 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 2 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 3 三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点 它叫做这 个三角形的外心 4 圆内接四边形性质 四点共圆的判定条件 圆内接四边形对角互补 考点九 反证法 3 分 先假设命题中的结论不成立 然后由此经过推理 引出矛盾 判定所做的假设不正确 从 而得到原命题成立 这种证明方法叫做反证法 考点十 直线与圆的位置关系 3 5 分 直线和圆有三种位置关系 具体如下 1 相交 直线和圆有两个公共点时 叫做直线和圆相交 这时直线叫做圆的割线 公共 点叫做交点 2 相切 直线和圆有唯一公共点时 叫做直线和圆相切 这时直线叫做圆的切线 3 相离 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆相离 如果 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 那么 直线 l 与 O 相交dr 考点十一 切线的判定和性质 3 8 分 1 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 考点十二 切线长定理 3 分 1 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切 线长 2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 考点十三 三角形的内切圆 3 8 分 1 三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 2 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点 它叫做三角 形的内心 考点十四 圆和圆的位置关系 3 分 1 圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点 那么就说这两个圆相离 相离分为外离和内含两种 如果两个圆只有一个公共点 那么就说这两个圆相切 相切分为外切和内切两种 如果两个圆有两个公共点 那么就说这两个圆相交 2 圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距 3 圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r 圆心距为 d 那么 两圆外离d R r 两圆外切d R r 两圆相交R r dr 两圆内含dr 4 两圆相切 相交的重要性质 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 它们是轴对称图形 对称轴是两圆的连心线 相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 考点十五 正多边形和圆 3 分 1 正多边形的定义 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 2 正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧 就可以做出这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正 多边形的外接圆 考点十六 与正多边形有关的概念 3 分 1 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 2 正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径 3 正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距 4 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角 考点十七 正多边形的对称性 3 分 1 正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形 一个正 n 边形共有 n 条对称轴 每条对称轴都通过正 n 边形的 中心 2 正多边形的中心对称性