高中数学空间向量训练题

第 1 页 共 41 页 高中数学空间向量训练题 含解析 高中数学空间向量训练题 含解析 一 选择题一 选择题 1 已知 M N 分别是四面体 OABC 的棱 OA BC 的中点 点 P 在线 MN 上 且 MP 2PN 设 向量 则 A B C D 2 已知 2 1 2 1 3 3 13 6 若向量 共面 则 A 2B 3C 4D 6 3 空间中 与向量同向共线的单位向量 为 A B 或 C D 或 4 已知向量 且 则 x 的值为 A 12B 10C 14 D 14 5 若 A B C 不共线 对于空间任意一点 O 都有 则 P A B C 四点 A 不共面 B 共面C 共线D 不共线 6 已知平面 的法向量是 2 3 1 平面 的法向量是 4 2 若 则 的值 是 A B 6C 6D 7 已知 则的最小值是 第 2 页 共 41 页 A B C D 8 有四个命题 若 x y 则 与 共面 若 与 共面 则 x y 若 x y 则 P M A B 共面 若 P M A B 共面 则 x y 其中真命题的 个数是 A 1B 2C 3D 4 9 已知向量 2 1 1 1 2 1 则以 为邻边的平行四边形的面积为 A B C 4D 8 10 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AD AA1 1 AB 2 点 E 是棱 AB 的中点 则点 E 到平面 ACD1的距离为 A B C D 11 正方体 ABCDA1B1C1D1中 直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 12 已知向量 k 12 1 4 5 1 k 10 1 且 A B C 三点共线 则 k 13 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 MN 是正方体内切球的直径 P 为正方体表面上的动 点 则 的最大值为 14 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点 如果 2 1 4 4 2 0 1 2 1 对于结论 AP AB AP AD 是平面 ABCD 的法向量 其中正确的是 15 设空间任意一点 O 和不共线三点 A B C 且点 P 满足向量关系 若 P A B C 四点共面 则 x y z 第 3 页 共 41 页 16 已知平面 平面 且 l 在 l 上有两点 A B 线段 AC 线段 BD 并且 AC l BD l AB 6 BD 24 AC 8 则 CD 三 解答题 共三 解答题 共 12 小题 小题 17 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC BCA 45 PA AD 2 AC 1 DC 证明 PC 丄 AD 求二面角 A PC D 的正弦值 设 E 为棱 PA 上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 求 AE 的长 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为直角梯形 AD BC ADC 90 平面 PAD 底面 ABCD Q 为 AD 的中点 M 是棱 PC 上的点 PA PD 2 BC AD 1 CD 求证 平面 PQB 平面 PAD 若 M 为棱 PC 的中点 求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值 19 如图 在四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD 底面 ABCD 是正方形 且 SD AD E 是 SA 的中点 1 求证 直线 BA 平面 SAD 第 4 页 共 41 页 2 求直线 SA 与平面 BED 的夹角的正弦值 20 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 DAB 90 AD BC AD 侧面 PAB PAB 是等边三角形 DA AB 2 BC E 是线段 AB 的中点 求证 PE CD 求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 21 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD E 为 AD 的中点 PA AD BE CD BE AD PA AE BE 2 CD 1 求证 平面 PAD 平面 PCD 求二面角 C PB E 的余弦值 在线段 PE 上是否存在点 M 使得 DM 平面 PBC 若存在 求出点 M 的位置 若不存 在 说明理由 第 5 页 共 41 页 22 如图 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂 直 AB CD AB BC AB 2CD 2BC EA EB 求证 AB DE 求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值 线段 EA 上是否存在点 F 使 EC 平面 FBD 若存在 求出 若不存在 说明理 由 23 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC CC1 平面 BAC1 平面 ACC1A1 ACC1 BAC1 60 AC1 A1C O 求证 BO 平面 AA1C1C 求二面角 A BC1 B1的余弦值 24 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 四边形 ABCD 为正方形 点 M N 分别为线段 PB PC 上的点 MN PB 第 6 页 共 41 页 求证 MN 平面 PAB 当 PA AB 2 二面角 C AN D 大小为时 求 PN 的长 25 如题图 三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC PC 3 ACB D E 分别为线段 AB BC 上的点 且 CD DE CE 2EB 2 证明 DE 平面 PCD 求二面角 A PD C 的余弦值 26 如图 在几何体 ABCDE 中 四边形 ABCD 是矩形 AB 平面 BEC BE EC AB BE EC 2 G F 分别是线段 BE DC 的中点 1 求证 GF 平面 ADE 2 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 27 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 是菱形 AC 2 BD 2 E 是 PB 上任意一点 第 7 页 共 41 页 求证 AC DE 已知二面角 A PB D 的余弦值为 若 E 为 PB 的中点 求 EC 与平面 PAB 所成角的正 弦值 28 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 BB1C1C 为菱形 AB B1C 证明 AC AB1 若 AC AB1 CBB1 60 AB BC 求二面角 A A1B1 C1的余弦值 29 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 1 求点 P 到平面 ABCD 的距离 2 求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值 P A B C D 3030 如图 在三棱柱如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 中 AA1 底面底面 ABC ACB 90 AC BC 1 AA1 2 D 是棱是棱 AA1的中的中 点 点 第 8 页 共 41 页 求证 求证 B1C1 平面平面 BCD 求三棱锥 求三棱锥 B C1CD 的体积 的体积 在线段 在线段 BD 上是否存在点上是否存在点 Q 使得 使得 CQ BC1 请说明理由 请说明理由 31 如图 在三棱锥如图 在三棱锥 A BCDA BCD 中 中 O O E E 分别为分别为 BDBD BCBC 中点 中点 CA CB CD BD 4CA CB CD BD 4 AB AD 2AB AD 2 1 1 求证 求证 AO AO 面面 BCDBCD 2 2 求异面直线 求异面直线 ABAB 与与 CDCD 所成角的余弦值所成角的余弦值 3 3 求点 求点 E E 到平面到平面 ACDACD 的距离 的距离 32 在三棱柱在三棱柱 ABC AABC A1 1B B1 1C C1 1中 侧面中 侧面 ABBABB1 1A A1 1为矩形 为矩形 AB 2AB 2 AAAA1 1 2 2 D D 是是 AAAA1 1的中点 的中点 BDBD 与与 ABAB1 1交于点交于点 O O 且且 CO ABBCO ABB1 1A A1 1平面 平面 1 1 证明 证明 BC ABBC AB1 1 2 2 若 若 OC OAOC OA 求直线 求直线 CDCD 与平面与平面 ABCABC 所成角的正弦值 所成角的正弦值 第 9 页 共 41 页 2018 年年 01 月月 20 日日 shu e168 的高中数学组卷的高中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 11 小题 小题 1 已知 M N 分别是四面体 OABC 的棱 OA BC 的中点 点 P 在线 MN 上 且 MP 2PN 设 向量 则 A B C D 解答 解 如图所示 第 10 页 共 41 页 故选 C 2 已知 2 1 2 1 3 3 13 6 若向量 共面 则 A 2B 3C 4D 6 解答 解 2 1 2 1 3 3 13 6 三个向量共面 2 1 2 x 1 3 3 y 13 6 解得 故选 B 3 空间中 与向量同向共线的单位向量 为 第 11 页 共 41 页 A B 或 C D 或 解答 解 与 同向共线的单位向量向量 故选 C 4 已知向量 且 则 x 的值为 A 12B 10C 14 D 14 解答 解 因为向量 且 属于 8 6 x 0 解得 x 14 故选 D 5 若 A B C 不共线 对于空间任意一点 O 都有 则 P A B C 四点 A 不共面 B 共面C 共线D 不共线 解答 解 A B C 不共线 对于空间任意一点 O 都有 x y z 则 P A B C 四点共面的充要条件是 x y z 1 而 因此 P A B C 四点不共面 故选 A 6 已知平面 的法向量是 2 3 1 平面 的法向量是 4 2 若 则 的值 是 A B 6C 6D 解答 解 且平面 的法向量是 2 3 1 平面 的法向量是 第 12 页 共 41 页 4 2 即存在实数 使得 即 2 3 1 4 2 解得 6 故选 C 7 已知 则的最小值是 A B C D 解答 解 1 t t 1 t 当且仅当 t 0 时取等号 的最小值是 故选 A 8 有四个命题 若 x y 则 与 共面 若 与 共面 则 x y 若 x y 则 P M A B 共面 若 P M A B 共面 则 x y 其中真命题的 个数是 A 1B 2C 3D 4 解答 解 若 x y 则 与 肯定在同一平面内 故 对 若 x y 则 三向量在同一平面内 P M A B 共面 故 对 若 x y 则 与 共面 但如果 共线 就不一定能用 来表示 故 不对 同理 也不对 真命题的个数为 2 个 故选 B 9 已知向量 2 1 1 1 2 1 则以 为邻边的平行四边形的面积为 第 13 页 共 41 页 A B C 4D 8 解答 解 设向量 的夹角为 cos sin 以 为邻边的平行四边形的面积 S sin 故选 B 10 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AD AA1 1 AB 2 点 E 是棱 AB 的中点 则点 E 到平面 ACD1的距离为 A B C D 解答 解 如图 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DD1分别为 x y z 轴建立空间直角坐 标系 则 D1 0 0 1 E 1 1 0 A 1 0 0 C 0 2 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 设平面 ACD1的法向量为 a b c 则 取 a 2 得 2 1 2 点 E 到平面 ACD1的距离为 h 故选 C 第 14 页 共 41 页 11 正方体 ABCDA1B1C1D1中 直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 A B C D 解答 解 A1BC1是等边三角形 A1B1 BB1 B1C1 B1在平面 A1BC1上的射影为 A1BC1的中心 O 设正方体棱长为 1 M 为 A1C1的中点 则 A1B OB BM OB1 sin B1BO 即 BB1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 DD1 BB1 直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 故选 A 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 12 已知向量 k 12 1 4 5 1 k 10 1 且 A B C 三点共线 则 k 解答 解 向量 k 12 1 4 5 1 k 10 1 4 k 7 0 2k 2 0 第 15 页 共 41 页 又 A B C 三点共线 存在实数 使得 解得 故答案为 13 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 MN 是正方体内切球的直径 P 为正方体表面上的动 点 则 的最大值为 解答 解 连接 PO 可得 当取得最大值时 取得最大值为 故答案为 14 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点 如果 2 1 4 4 2 0 1 2 1 对于结论 AP AB AP AD 是平面 ABCD 的法向量 其中正确的是 解答 解 由 2 1 4 4 2 0 1 2 1 知 在 中 2 2 4 0 AP AB 故 正确 在 中 4 4 0 0 AP AD 故 正确 在 中 由 AP AB AP AD AB AD A 知是平面 ABCD 的法向量 故 正确 在 中 2 3 4 第 16 页 共 41 页 假设存在 使得 则 无解 故 不正确 综上可得 正确 故答案为 15 设空间任意一点 O 和不共线三点 A B C 且点 P 满足向量关系 若 P A B C 四点共面 则 x y z 1 解答 若空间任意一点 O 和不共线的三点 A B C 满足向量关系式 则 P A B C 四点共面的充要条件是 x y z 1 故答案为 1 16 已知平面 平面 且 l 在 l 上有两点 A B 线段 AC 线段 BD 并且 AC l BD l AB 6 BD 24 AC 8 则 CD 26 解答 解 平面 平面 且 l 在 l 上有两点 A B 线段 AC 线段 BD AC l BD l AB 6 BD 24 AC 8 2 64 36 576 676 CD 26 故答案为 26 第 17 页 共 41 页 三 解答题 共三 解答题 共 12 小题 小题 17 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC BCA 45 PA AD 2 AC 1 DC 证明 PC 丄 AD 求二面角 A PC D 的正弦值 设 E 为棱 PA 上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 求 AE 的长 解答 本小题满分 13 分 证明 在 ADC 中 AD 2 AC 1 DC AC2 AD2 CD2 AD AC 1 分 如图 以点 A 为原点建立空间直角坐标系 依题意得 A 0 0 0 D 2 0 0 C 0 1 0 B 0 P 0 0 2 得 0 1 2 2 0 0 第 18 页 共 41 页 0 PC AD 4 分 解 设平面 PCD 的一个法向量 x y z 则 不妨令 z 1 得 1 2 1 可取平面 PAC 的一个法向量 1 0 0 于是 cos 从而 sin 所以二面角 A PC D 的正弦值为 8 分 设点 E 的坐标为 0 0 h 其中 h 0 2 由此得 由 2 1 0 故 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 cos30 解得 h 即 AE 13 分 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为直角梯形 AD BC ADC 90 平面 PAD 第 19 页 共 41 页 底面 ABCD Q 为 AD 的中点 M 是棱 PC 上的点 PA PD 2 BC AD 1 CD 求证 平面 PQB 平面 PAD 若 M 为棱 PC 的中点 求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值 解答 解 AD BC BC AD Q 为 AD 的中点 四边形 BCDQ 为平行四边形 可得 CD BQ ADC 90 AQB 90 即 QB AD 又 平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD BQ 平面 PAD BQ 平面 PQB 平面 PQB 平面 PAD PA PD Q 为 AD 的中点 PQ AD 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD AD PQ 平面 ABCD 注 不证明 PQ 平面 ABCD 直接建系扣 1 分 因此 以 Q 为原点 QA QB QP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 如图所示 则 Q 0 0 0 A 1 0 0 P 0 0 B 0 0 C 1 0 M 是 PC 中点 M 1 0 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 则 cos cos 第 20 页 共 41 页 异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 19 如图 在四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD 底面 ABCD 是正方形 且 SD AD E 是 SA 的中点 1 求证 直线 BA 平面 SAD 2 求直线 SA 与平面 BED 的夹角的正弦值 解答 本题满分 12 分 解 1 证明 SD 平面 ABCD SD AB 又 AD AB AD SD D AB 平面 SAD 6 分 2 以 D 为原点 分别以 DA DC DS 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 如图 设 AB 2 则 A 2 0 0 S 0 0 2 B 1 2 0 E 1 0 0 故 2 0 2 2 2 0 1 0 1 8 分 设平面 BED 的一个法向量为 x y z 由得 第 21 页 共 41 页 取 1 1 1 10 分 设直线 SA 与平面 BED 所成角为 因为 cos 所以 sin 即直线 SA 与平面 BED 所成角的正弦值为 12 分 20 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 DAB 90 AD BC AD 侧面 PAB PAB 是等边三角形 DA AB 2 BC E 是线段 AB 的中点 求证 PE CD 求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 解答 解 AD 侧面 PAB PE 平面 PAB AD EP 又 PAB 是等边三角形 E 是线段 AB 的中点 AB EP AD AB A PE 平面 ABCD CD 平面 ABCD PE CD 5 分 以 E 为原点 EA EP 分别为 y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则 E 0 0 0 C 1 1 0 D 2 1 0 P 0 0 第 22 页 共 41 页 2 1 0 0 0 1 1 设 x y z 为平面 PDE 的一个法向量 由 令 x 1 可得 1 2 0 9 分 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 得 所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 12 分 21 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD E 为 AD 的中点 PA AD BE CD BE AD PA AE BE 2 CD 1 求证 平面 PAD 平面 PCD 求二面角 C PB E 的余弦值 在线段 PE 上是否存在点 M 使得 DM 平面 PBC 若存在 求出点 M 的位置 若不存 在 说明理由 第 23 页 共 41 页 解答 解 证明 由已知平面 PAD 平面 ABCD PA AD 且平面 PAD 平面 ABCD AD 所以 PA 平面 ABCD 所以 PA CD 又因为 BE AD BE CD 所以 CD AD 所以 CD 平面 PAD 因为 CD 平面 PCD 所以平面 PAD 平面 PCD 4 分 作 Ez AD 以 E 为原点 以的方向分别为 x 轴 y 轴的正方向 建立如图所示 的空间直角坐标系 E xyz 则点 E 0 0 0 P 0 2 2 A 0 2 0 B 2 0 0 C 1 2 0 D 0 2 0 所以 设平面 PBC 的法向量为 x y z 所以即 令 y 1 解得 2 1 3 设平面 PBE 的法向量为 a b c 所以即 令 b 1 解得 0 1 1 所以 cos 由图可知 二面角 C PB E 的余弦值为 10 分 线段 PE 上存在点 M 使得 DM 平面 PBC 等价于 因为 设 0 1 第 24 页 共 41 页 则 M 0 2 2 2 2 由 知平面 PBC 的法向量为 2 1 3 所以 解得 所以线段 PE 上存在点 M 即 PE 中点 使得 DM 平面 PBC 14 分 22 如图 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂 直 AB CD AB BC AB 2CD 2BC EA EB 求证 AB DE 求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值 线段 EA 上是否存在点 F 使 EC 平面 FBD 若存在 求出 若不存在 说明理 由 解答 证明 取 AB 中点 O 连接 EO DO 因为 EB EA 所以 EO AB 1 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形 AB 2CD 2BC AB BC 所以四边形 OBCD 为正方形 所以 AB OD 2 分 因为 EO OD O 第 25 页 共 41 页 所以 AB 平面 EOD 3 分 因为 ED 平面 EOD 所以 AB ED 4 分 解 因为平面 ABE 平面 ABCD 且 EO AB 平面 ABE 平面 ABCD AB 所以 EO 平面 ABCD 因为 OD 平面 ABCD 所以 EO OD 由 OB OD OE 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 5 分 因为 EAB 为等腰直角三角形 所以 OA OB OD OE 设 OB 1 所以 O 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 E 0 0 1 所以 平面 ABE 的一个法向量为 7 分 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 所以 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 9 分 解 存在点 F 且时 有 EC 平面 FBD 10 分 证明如下 由 所以 设平面 FBD 的法向量为 a b c 则有 所以取 a 1 得 1 1 2 12 分 因为 1 1 1 1 1 2 0 且 EC 平面 FBD 所以 EC 平面 FBD 即点 F 满足时 有 EC 平面 FBD 14 分 第 26 页 共 41 页 23 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC CC1 平面 BAC1 平面 ACC1A1 ACC1 BAC1 60 AC1 A1C O 求证 BO 平面 AA1C1C 求二面角 A BC1 B1的余弦值 解答 证明 依题意 四边形 AA1C1C 为菱形 且 AA1C1 60 AA1C1为正三角形 又 BAC1 60 BAC1为正三角形 又 O 为 AC1中点 BO AC1 平面 ABC1 平面 AA1C1C 平面 ABC1 平面 AA1C1C AC1 BO 平面 AA1CC1 BO 平面 AA1C1C 4 分 解 以 O 为坐标原点 建空间直角坐标系 如图 令 AB 2 则 C1 0 1 0 设平面 BB1C1的一个法向量为 第 27 页 共 41 页 由得 取 z 1 得 9 分 又面 ABC1的一个法向量为 11 分 故所求二面角的余弦值为 12 分 24 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 四边形 ABCD 为正方形 点 M N 分别为线段 PB PC 上的点 MN PB 求证 MN 平面 PAB 当 PA AB 2 二面角 C AN D 大小为时 求 PN 的长 解答 证明 在正方形 ABCD 中 AB BC PA 平面 ABCD BC 平面 ABCD PA BC AB PA A 且 AB PA 平面 PAB BC 平面 PAB 则 BC PB 第 28 页 共 41 页 MN PB MN BC 则 MN 平面 PAB 解 PA 平面 ABCD AB AD 平面 ABCD PA AB PA AD 又 AB AD 如图 以 A 为原点 AB AD AP 所在直线为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 A xyz 则 C 2 2 0 D 0 2 0 B 2 0 0 P 0 0 2 设平面 DAN 的一个法向量为 x y z 平面 CAN 的一个法向量为 a b c 设 0 1 2 2 2 2 2 2 2 又 0 2 0 取 z 1 得 0 1 0 0 2 2 2 0 取 a 1 得 到 1 1 0 二面 C AN D 大小为 cos cos cos 解得 则 PN 第 29 页 共 41 页 25 如题图 三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC PC 3 ACB D E 分别为线段 AB BC 上的点 且 CD DE CE 2EB 2 证明 DE 平面 PCD 求二面角 A PD C 的余弦值 解答 证明 PC 平面 ABC DE 平面 ABC PC DE CE 2 CD DE CDE 为等腰直角三角形 CD DE PC CD C DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线 DE 平面 PCD 由 知 CDE 为等腰直角三角形 DCE 过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F 易知 DF FC FE 1 又由已知 EB 1 故 FB 2 由 ACB 得 DF AC 故 AC DF 以 C 为原点 分别以 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 C 0 0 0 P 0 0 3 A 0 0 E 0 2 0 D 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 0 设平面 PAD 的法向量 x y z 由 故可取 2 1 1 由 知 DE 平面 PCD 故平面 PCD 的法向量可取 1 1 0 第 30 页 共 41 页 两法向量夹角的余弦值 cos 二面角 A PD C 的余弦值为 26 如图 在几何体 ABCDE 中 四边形 ABCD 是矩形 AB 平面 BEC BE EC AB BE EC 2 G F 分别是线段 BE DC 的中点 1 求证 GF 平面 ADE 2 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 解答 解法一 1 如图 取 AE 的中点 H 连接 HG HD G 是 BE 的中点 GH AB 且 GH AB 又 F 是 CD 中点 四边形 ABCD 是矩形 DF AB 且 DF AB 即 GH DF 且 GH DF 四边形 HGFD 是平行四边形 GF DH 又 DH 平面 ADE GF 平面 ADE GF 平面 ADE 2 如图 在平面 BEG 内 过点 B 作 BQ CE 第 31 页 共 41 页 BE EC BQ BE 又 AB 平面 BEC AB BE AB BQ 以 B 为原点 分别以的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 A 0 0 2 B 0 0 0 E 2 0 0 F 2 2 1 AB 平面 BEC 为平面 BEC 的法向量 设 x y z 为平面 AEF 的法向量 又 2 0 2 2 2 1 由垂直关系可得 取 z 2 可得 cos 平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 解法二 1 如图 取 AB 中点 M 连接 MG MF 又 G 是 BE 的中点 可知 GM AE 且 GM AE 又 AE 平面 ADE GM 平面 ADE GM 平面 ADE 在矩形 ABCD 中 由 M F 分别是 AB CD 的中点可得 MF AD 又 AD 平面 ADE MF 平面 ADE MF 平面 ADE 又 GM MF M GM 平面 GMF MF 平面 GMF 平面 GMF 平面 ADE GF 平面 GMF GF 平面 ADE 2 同解法一 第 32 页 共 41 页 27 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 是菱形 AC 2 BD 2 E 是 PB 上任意一点 求证 AC DE 已知二面角 A PB D 的余弦值为 若 E 为 PB 的中点 求 EC 与平面 PAB 所成角的正 弦值 解答 I 证明 PD 平面 ABCD AC 平面 ABCD PD AC 又 ABCD 是菱形 BD AC BD PD D AC 平面 PBD DE 平面 PBD AC DE 6 分 第 33 页 共 41 页 II 解 分别以 OA OB OE 方向为 x y z 轴建立空间直角坐标系 设 PD t 则 由 I 知 平面 PBD 的法向量为 令平面 PAB 的法向量为 则根据得 因为二面角 A PB D 的余弦值为 则 即 9 分 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 12 分 28 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 BB1C1C 为菱形 AB B1C 证明 AC AB1 若 AC AB1 CBB1 60 AB BC 求二面角 A A1B1 C1的余弦值 第 34 页 共 41 页 解答 解 1 连结 BC1 交 B1C 于点 O 连结 AO 侧面 BB1C1C 为菱形 BC1 B1C 且 O 为 BC1和 B1C 的中点 又 AB B1C B1C 平面 ABO AO 平面 ABO B1C AO 又 B10 CO AC AB1 2 AC AB1 且 O 为 B1C 的中点 AO CO 又 AB BC BOA BOC OA OB OA OB OB1两两垂直 以 O 为坐标原点 的方向为 x 轴的正方向 为单位长度 的方向为 y 轴的正方向 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 CBB1 60 CBB1为正三角形 又 AB BC A 0 0 B 1 0 0 B1 0 0 C 0 0 0 1 0 1 0 设向量 x y z 是平面 AA1B1的法向量 则 可取 1 同理可得平面 A1B1C1的一个法向量 1 cos 二面角 A A1B1 C1的余弦值为 第 35 页 共 41 页 29 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 1 求点 P 到平面 ABCD 的距离 2 求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小 P A B C D 传统法 解 1 如下图 作 PO 平面 ABCD 垂足为点 O 连结 OB OA OD OB 与 AD 交于点 E 连结 PE P O A B C D E AD PB AD OB PA PD OA OD 于是 OB 平分 AD 点 E 为 AD 的中点 PE AD 由此知 PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面 角 PEB 120 PEO 60 由已知可求得PE 3 PO PE sin60 即点P到平面ABCD的距离为 3 2 3 2 3 2 3 2 空间向量法 解法一 如下图建立直角坐标系 其中 O 为坐标原点 x 轴平行于 DA P O A B C D G E x y z P 0 0 B 0 0 PB 中点 G 的坐标为 0 连结 AG 2 3 2 33 4 33 4 3 又知 A 1 0 C 2 0 2 3 2 33 由此得到 1 GA 4 3 4 3 第 36 页 共 41 页 0 2 0 0 PB 2 33 2 3 BC 于是有 0 0 GAPB BC PB 的夹角 等于所求二面角的平面角 GAPB BC PBGA BC 于是 cos BCGA BCGA 7 72 由于题目中的二面角为钝角 所以所求二面角的大小为 7 72 注意 本题可以采用先求平面的法向量 再求法向量的夹角 结合二面角实际情况下结论注意 本题可以采用先求平面的法向量 再求法向量的夹角 结合二面角实际情况下结论 解法二 传统法略解 如下图 取PB 的中点G PC 的中点F 连结EG AG GF 则 AG PB FG BC FG BC 2 1 P O A B C D G F E AD PB BC PB FG PB AGF 是所求二面角的平面角 AD 面 POB AD EG 又 PE BE EG PB 且 PEG 60 在 Rt PEG 中 EG PE cos60 2 3 在 Rt GAE 中 AE AD 1 2 1 于是 tan GAE AE EG 2 3 COS COS GAE 7 72 又 AGF GAE 所求二面角的余弦值为 7 72 第 37 页 共 41 页 3030 如图 在三棱柱如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 中 AA1 底面底面 ABC ACB 90 AC BC 1 AA1 2 D 是棱是棱 AA1的中的中 点 点 求证 求证 B1C1 平面平面 BCD 求三棱锥 求三棱锥 B C1CD 的体积 的体积 在线段 在线段 BD 上是否存在点上是否存在点 Q 使得 使得 CQ BC1 请说明理由 请说明理由 答案及解析 答案及解析 分析 由 ABC A1B1C1为棱柱 可得 B1C1 BC 再由线面平行的判定可得 B1C1 平面 BCD 由 D 为棱 AA1的中点求出三角形 CC1D 再证明 BC 平面 CDC1 即可求得三棱锥 B C1CD 的体积 以 C 为原点 分别以 CA CB CC1所在直线为 x y z 轴距离空间直角坐标系 求出所用点的坐 标 假设在线段 BD 上存在点 Q 使得 CQ BC1 求出 Q 的坐标 由数量积为 0 得答案 解答 证明 ABC A1B1C1为棱柱 则 B1C1 BC B1C1 平面 BCD BC 平面 BCD 则 B1C1 平面 BCD 解 D 为棱 AA1的中点 AA1 底面 ABC BC AA1 又 BC AC 且 AC AA1 A BC 平面 CDC1 解 线段 BD 上存在点 Q 使得 CQ BC1 事实上 以 C 为原点 分别以 CA CB CC1所在直线为 x y z 轴距离空间直角坐标系 第 38 页 共 41 页 则 C 0 0 0 B 0 1 0 C1 0 0 2 D 1 0 1 假设在线段 BD 上存在点 Q 使得 CQ BC1 设 Q x y z 再设 则 x y 1 z 1 1 1 得 x y 1 z 则 Q 1 1 由 得 线段 BD 上存在点 Q 使得 CQ BC1 31 如图 在三棱锥如图 在三棱锥 A BCDA BCD 中 中 O O E E 分别为分别为 BDBD BCBC 中点 中点 CA CB CD BD 4CA CB CD BD 4 AB AD 2AB AD 2 1 1 求证 求证 AO AO 面面 BCDBCD 2 2 求异面直线 求异面直线 ABAB 与与 CDCD 所成角的余弦值所成角的余弦值 3 3 求点 求点 E E 到平面到平面 ACDAC