相似三角形经典题(含答案)[1]

初三 下 相似三角形 第 1 页 共 7 页 相似三角形经典习题相似三角形经典习题 例例 1 从下面这些三角形中 选出相似的三角形 例例 2 已知 如图 ABCD 中 求与的周长的比 如果 2 1 EBAEAEF CDF 2 cm6 AEF S 求 CDF S 例例 3 如图 已知 求证 ABD ACE ABC ADE 例例 4 下列命题中哪些是正确的 哪些是错误的 1 所有的直角三角形都相似 2 所有的等腰三角形都相似 3 所有的等腰直角三角形都相似 4 所有的等边三角形都相似 例例 5 如图 D 点是的边 AC 上的一点 过 D 点画线段 DE 使点 E 在的边上 并且点 D 点 E 和ABC ABC 的一个顶点组成的小三角形与相似 尽可能多地画出满足条件的图形 并说明线段 DE 的画法 ABC ABC 例例 6 如图 一人拿着一支刻有厘米分画的小尺 站在距电线杆约 30 米的地方 把手臂向前伸直 小尺竖直 看到尺 上约 12 个分画恰好遮住电线杆 已知手臂长约 60 厘米 求电线杆的高 初三 下 相似三角形 第 2 页 共 7 页 例例 7 如图 小明为了测量一高楼 MN 的高 在离 N 点 20m 的 A 处放了一个平面镜 小明沿 NA 后退到 C 点 正好从 镜中看到楼顶 M 点 若m 小明的眼睛离地面的高度为 1 6m 请你帮助小明计算一下楼房的高度 精确到5 1 AC 0 1m 例例 8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形 说明理由 例例 9 根据下列各组条件 判定和是否相似 并说明理由 ABC CBA 1 cm4 cm5 2 cm5 3 CABCABcm28 cm 5 17 cm 5 24 ACCBBA 2 35 44 104 35ACBA 3 48 3 1 5 1 48 6 2 3BCBBABBCAB 例例 10 如图 下列每个图形中 存不存在相似的三角形 如果存在 把它们用字母表示出来 并简要说明识别的根 据 例例 11 已知 如图 在中 是角平分线 试利用三角形相似的关系说明ABC BDAACAB 36 ACDCAD 2 初三 下 相似三角形 第 3 页 共 7 页 例例 12 已知的三边长分别为 5 12 13 与其相似的的最大边长为 26 求的面积 S ABC CBA CBA 例例 13 在一次数学活动课上 老师让同学们到操场上测量旗杆的高度 然后回来交流各自的测量方法 小芳的测量方 法是 拿一根高 3 5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处 如图 然后沿 BC 方向走到 D 处 这时目测旗杆顶部 A 与 竹竿顶部 E 恰好在同一直线上 又测得 C D 两点的距离为 3 米 小芳的目高为 1 5 米 这样便可知道旗杆的高 你 认为这种测量方法是否可行 请说明理由 例例 14 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A 再在河的这一边选点 B 和 C 使 然后再选点 E 使 确定 BC 与 AE 的交点为 D 测得米 米 BCAB BCEC 120 BD60 DC 米 你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗 50 EC 例例 15 如图 为了求出海岛上的山峰 AB 的高度 在 D 和 F 处树立标杆 DC 和 FE 标杆的高都是 3 丈 相隔 1000 步 1 步等于 5 尺 并且 AB CD 和 EF 在同一平面内 从标杆 DC 退后 123 步的 G 处 可看到山峰 A 和标杆顶端 C 在一直线上 从标杆 FE 退后 127 步的 H 处 可看到山峰 A 和标杆顶端 E 在一直线上 求山峰的高度 AB 及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多少 古代问题 例例 16 如图 已知 ABC 的边 AB AC 2 BC 边上的高 AD 323 1 求 BC 的长 2 如果有一个正方形的边在 AB 上 另外两个顶点分别在 AC BC 上 求这个正方形的面积 初三 下 相似三角形 第 4 页 共 7 页 相似三角形经典习题答案相似三角形经典习题答案 例例 1 解解 相似 相似 相似 例例 2 解解 是平行四边形 ABCD CDABCDAB AEF CDF 又 与的周长的比是 1 3 2 1 EBAE3 1 CDAEAEF CDF 又 cm 6 3 1 22 AEF CDF AEF S S S cm 54 2 CDF S 例例 3 分析分析 由于 则 因此 如果再进一步证明 ABD ACE CAEBAD DAEBAC AE CA AD BA 则问题得证 证明证明 ABD ACE CAEBAD 又 DACBADBAC CAEDACDAE DAEBAC ABD ACE AE AC AD AB 在和中 ABC ADE AE AC AD AB ADEBAC ABC ADE 例例 4 分析 分析 1 不正确 因为在直角三角形中 两个锐角的大小不确定 因此直角三角形的形状不同 2 也不正确 等腰三角形的顶角大小不确定 因此等腰三角形的形状也不同 3 正确 设有等腰直角三角形 ABC 和 其中 CBA 90CC 则 45 45BBAA 设的三边为 a b c 的边为 ABC CBA cba 则 acbaacba 2 2 a a c c b b a a ABC CBA 4 也正确 如与都是等边三角形 对应角相等 对应边都成比例 因此 ABC CBA ABC CBA 答 答 1 2 不正确 3 4 正确 例例 5 解 解 画法略 初三 下 相似三角形 第 5 页 共 7 页 例例 6 分析 分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形 即厘米米 厘米米 60 DF6 0 12 GF12 0 米 求 BC 由于 又 从而可以求出 BC 的30 CEADF AC AF EC DF AEC ACF ABC BC GF EC DF 长 解解 ECDFECAE EACDAFAECADF ADF AEC AC AF EC DF 又 ECBCECGF ABCAGFACBAFGBCGF AGF ABC BC GF AC AF BC GF EC DF 又厘米米 厘米米 米 米 即电线杆的高为 6 米 60 DF6 0 12 GF12 0 30 EC6 BC 例例 7 分析 分析 根据物理学定律 光线的入射角等于反射角 这样 与的相似关系就明确了 BCA MNA 解解 因为 所以 MANBACANMNCABC BCA MNA 所以 即 所以 m ACANBCMN 5 1 206 1 MN 3 215 1206 1 MN 说明说明 这是一个实际应用问题 方法看似简单 其实很巧妙 省却了使用仪器测量的麻烦 例例 8 分析 分析 这两个图如果不是画在格点中 那是无法判断的 实际上格点无形中给图形增添了条件 长度和角 度 解解 在格点中 所以 BCABEFDE 90BE 又 所以 所以 4 2 2 1 ABBCDEEF 2 1 BC EF AB DE DEF ABC 说明说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件 勿使遗漏 例例 9 解 解 1 因为 所以 7 1 28cm 4cm 7 1 17 5cm 2 5cm 7 1 24 5cm 3 5cm AC CA CB BC BA AB ABC CBA 2 因为 两个三角形中只有 另外两个角都不相等 所以与 41180BACAA ABC 不相似 CBA 3 因为 所以相似于 1 2 CB BC BA AB BBABC CBA 例例 10 解 解 1 两角相等 2 两角相等 ADE ABC ADE ACB 3 两角相等 4 两边成比例夹角相等 CDE CAB EAB ECD 5 两边成比例夹角相等 6 两边成比例夹角相等 ABD ACB ABD ACB 例例 11 分析 分析 有一个角是 65 的等腰三角形 它的底角是 72 而 BD 是底角的平分线 则可推 36CBD 出 进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系 ABC BCD 证明证明 ACABA 36 72CABC 又平分 BD ABC 36CBDABD 且 BCBDAD ABC BCD BCCDABBC CDABBC 2 CDACAD 2 说明说明 1 有两个角对应相等 那么这两个三角形相似 这是判断两个三角形相似最常用的方法 并且根据相等 的角的位置 可以确定哪些边是对应边 2 要说明线段的乘积式 或平方式 一般都是证明比例式 或 再根cdab bca 2 b d c a c a a b 据比例的基本性质推出乘积式或平方式 例例 12 分析分析 由的三边长可以判断出为直角三角形 又因为 所以也是直角ABC ABC ABC CBA CBA 三角形 那么由的最大边长为 26 可以求出相似比 从而求出的两条直角边长 再求得的CBA CBA CBA 面积 解解 设的三边依次为 则 ABC 13 12 5 ABACBC 222 ACBCAB 90C 初三 下 相似三角形 第 6 页 共 7 页 又 ABC CBA 90CC 2 1 26 13 BA AB CA AC CB BC 又 12 5 ACBC24 10 CACB1201024 2 1 2 1 CBCAS 例例 13 分析 分析 判断方法是否可行 应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高 按这种测量方法 过 F 作于 G 交 CE 于 H 可知 且 GF HF EH 可求 这样可求得 AG 故旗杆 AB 可ABFG AGF EHF 求 解解 这种测量方法可行 理由如下 设旗杆高 过 F 作于 G 交 CE 于 H 如图 所以 xAB ABFG AGF EHF 因为 所以 3 30327 5 1 HFGFFD5 1 25 15 3 xAGEH 由 得 即 所以 解得 米 AGF EHF HF GF EH AG 3 30 2 5 1 x 205 1 x 5 21 x 所以旗杆的高为 21 5 米 说明说明 在具体测量时 方法要现实 切实可行 例例 14 解 90 ECDABCEDCADB 米 答 两岸间 AB 大致相距 100 米 ABD ECD 100 60 50120 CD ECBD AB CD BD EC AB 例例 15 答案 米 步 注意 1506 AB30750 BDAK FE FH KEAK CD DG KC 例例 16 分析 分析 要求 BC 的长 需画图来解 因 AB AC 都大于高 AD 那么有两种情况存在 即点 D 在 BC 上或点 D 在 BC 的延长线上 所以求 BC 的长时要分两种情况讨论 求正方形的面积 关键是求正方形的边长 解 解 1 如上图 由 AD BC 由勾股定理得 BD 3 DC 1 所以 BC BD DC 3 1 4 如下图 同理可求BD 3 DC 1 所以 BC BD CD 3 1 2 2 如下图 由题目中的图知 BC 4 且 162 32 2222 ACAB 所以 ABC 是直角三角形 16 2 BC 222 BCACAB 由 AEGF 是正方形 设 GF x 则 FC 2 x