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第九章非线性回归与极大似然估计 一 非线性最小二乘估计 之前我们讨论的单方程回归模型都是因变量关于参数线性的 都可通过一定的变换化为标准线性回归模型 本质上非线性的回归模型因变量关于参数是非线性的 不能变化为线性回归模型 非线性回归模型 其中f是k个自变量和p个回归系数的非线性函数 用来决定系数估计值的标准与线性回归的标准一样 即误差平方和最小化 称为非线性最小二乘估计 在线性回归情况下 求最小乘估计在计算上很简单 对于非性方程 有若干不同的寻找使误差平方和达到最小的系数估计方法 泰勒级数展开法 循环线性法 令左边为一个新的因变量 右边为一组新的自变量 为未知参数 则原模型转化成线性模型 可以用普通最小二乘法来估计这些参数 对这个方程运用普通最小二乘法 得到一组新估计值 不断重复这个重新线性化的过程直到估计的参数收敛 二 极大似然估计法 1 极大似然估计的思想 2 标准线性模型的极大似然估计 则似然函数是密度函数在所有N个观测处取值的连乘积 3 非线性模型的极大似然估计 三 似然比检验和拉格朗日乘数检验 这两种检验所用统计量都是基于极大似然估计法的计算 可用于检验数据是否支持某些参数限制条件 1 似然比检验 LR LnL越大表明对数据的拟合程度越好 分母来自无条件模型 变量个数越多 拟合越好 因此分子小于分母 似然比在0到1间 分子是在原假设成立下参数的极大似然函数值 是零假设的最佳表示 而分母则表示在在任意情况下参数的极大似然函数值 比值的最大极限值为1 其值靠近1 说明局部的最大和全局最大近似 零假设成立可能性就越大 用来对原假设进行检验的似然比统计量定义为 例 我们要讨论线性回归模型是否应该加入一些重要变量的问题 似然比检验在计量经济模型选择上的应用 在零假设成立的条件下 约束模型的极大对数似然函数为 非约束模型的极大对数似然函数为 2 拉格朗日乘数检验 LM 检验思路 LM检验的实际步骤 假定已经估计了约束模型 考虑是否将剩余的k q个变量加入模型 构成一个无约束条件的模型 检验的假设 至少一个不为零 首先 用OLS法估计约束模型 计算残差序列 然后 建立LM的辅助回归式如下 如果辅助回归式中另外加上的变量都是 无关紧要 的 系数显著为零 R2非常小 则当我们从有约束的模型变动到无约束的模型时 加进来的k q个变量的系数应该为零 原假设成立 反之 辅助回归式的拟合优度十分好 R2非常大 则从有约束的模型变动到无约束的模型时 加进来的k q个变量的系数至少有一个显著不为零 则接受备择假设 最后 用辅助回归式得到的R2计算LM统计量的值LM NR2 LM服从m个自由度的 2 m 分布 其中m表示约束条件个数 若LM 2 m 则拒绝原假设
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