2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 数学 理科 数学 理科 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要 求 求 1 2017 年浙江 1 4 分 已知 则 11 Pxx 20 Qx PQ A B C D 2 1 1 0 0 1 2 1 答案 A 解析 取所有元素 得 故选 A P QPQ 2 1 点评 本题考查集合的基本运算 并集的求法 考查计算能力 2 2017 年浙江 2 4 分 椭圆的离心率是 22 1 94 xy A B C D 13 3 5 3 2 3 5 9 答案 B 解析 故选 B 945 33 e 点评 本题考查椭圆的简单性质的应用 考查计算能力 3 2017 年浙江 3 4 分 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 cm3 是 A B C D 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 答案 A 解析 由几何的三视图可知 该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成 圆锥的底面圆的半径为 1 三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形 圆锥的高和棱锥的高相等均为 3 故该几何体 的体积为 故选 A 2 111 3 2 1 1 3222 V 点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题 解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构 特征 是基础题目 4 2017 年浙江 4 4 分 若 满足约束条件 则的取值范围xy 0 30 20 x xy xy 2zxy 是 A B C D 0 6 0 4 6 4 答案 D 解析 如图 可行域为一开放区域 所以直线过点时取最小值 4 无最大值 故选 D 2 1 点评 本题考查线性规划的简单应用 画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键 5 2017 年浙江 5 4 分 若函数在区间上的最大值是 最小值是 则 2 f xxaxb 01 Mm Mm A 与 a 有关 且与 b 有关 B 与 a 有关 但与 b 无关 C 与 a 无关 且与 b 无关 D 与 a 无关 但与 b 有关 答案 B 2 解析 解法一 因为最值在中取 所以最值之差一定与 b 无关 故选 2 0 1 1 24 aa fb fab fb B 解法二 函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线 当或 2 f xxaxb 2 a x 1 2 a 即 或时 函数在区间上单调 此时 故0 2 a 2a 0a f x 0 1 10Mmffa 的值与有关 与无关 当 即时 函数在区间上递减 Mm ab 1 1 22 a 21a f x0 2 a 在上递增 且 此时 故的值与有关 与无 1 2 a 01ff 2 0 24 aa Mmff Mm ab 关 当 即时 函数在区间上递减 在上递增 且 1 0 22 a 10a f x0 2 a 1 2 a 此时 故的值与有关 与无关 综上可得 01ff 2 0 24 aa Mmffa Mm ab 的值与有关 与无关 故选 B Mm ab 点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质 熟练掌握二次函数的图象和性质 是解答的关键 6 2017 年浙江 6 4 分 已知等差数列的公差为 前项和为 则 是 的 n adn n S0d 465 2SSS A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 可知当时 有 即 46511 210212 510SSSadadd 0d 465 20SSS 465 2SSS 反之 若 则 所以 是 的充要条件 故选 C 465 2SSS 0d 0d 465 2SSS 点评 本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件 属于基础题 7 2017 年浙江 7 4 分 函数的导函数的图像如图所示 则函数 yf x yfx 的图像可能是 yf x A B C D 答案 D 解析 解法一 由当时 函数单调递减 当时 函数单调递增 则由导函数 0fx f x 0fx f x 的图象可知 先单调递减 再单调递增 然后单调递减 最后单调递增 排除 A C yfx f x 且第二个拐点 即函数的极大值点 在 x 轴上的右侧 排除 B 故选 D 解法二 原函数先减再增 再减再增 且位于增区间内 故选 D 0 x 点评 本题考查导数的应用 考查导数与函数单调性的关系 考查函数极值的判断 考查数形结合思想 属 于基础题 8 2017 年浙江 8 4 分 已知随机变量满足 若 1 1 1 i Pp 1 01 i Pp 1 2i 则 12 1 0 2 pp A B 12 E E 12 D D 12 E E 12 D D C D 12 E E 12 D D 12 E E 12 D D 答案 A 解析 112212 Ep EpEE 111222 1 1 DppDpp 故选 A 121212 1 0DDpppp 点评 本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 空间想 3 象能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 是中档题 9 2017 年浙江 9 4 分 如图 已知正四面体 所有棱长均相等的三棱锥 DABC PQR 分别为 上的点 分别记二面角 ABBCCAAPPB 2 BQCR QCRA DPRQ 的平面较为 则 DPQR DQRP A B C D 答案 B 解析 解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 设底面的中心为 不妨ABC O 设 则 3OP 0 0 0O 0 3 0P 0 6 0C 0 0 6 2D 3 2 0Q 2 3 0 0R 2 3 3 0PR 0 3 6 2PD 3 5 0PQ 3 3 2 0QR 设平面的法向量为 则 可得 3 2 6 2QD PDR nx y z 0 0 n PR n PD 可得 取平面的法向量 2 330 36 20 xy yz 6 2 2 1n ABC 0 0 1m 则 取 同理可得 1 cos 15 m n m n m n 1 arccos 15 3 arccos 681 2 arccos 95 123 1595681 解法二 如图所示 连接 过点发布作垂线 ODOQOR OOEDR OFDQ 垂足分别为 连接 设 则OGQR EFG PEPFPG OPh cos ODR PDR SOE SPE 同理可得 c 22 OE OEh 22 cos OFOF PF OFh 22 cos OGOG PG OGh 由已知可得 为锐角 故选 B OEOGOF coscoscos 点评 本题考查了空间角 空间位置关系 正四面体的性质 法向量的夹角公式 考查了推理能力与计算能 力 属于难题 10 2017 年浙江 10 4 分 如图 已知平面四边形 ABCD ABBC 2ABBCAD 3CD 与交于点 O 记 则 ACBD 1 IOAOB 2 IOBOC 3 IOC OD A B C D 123 III 132 III 312 III 223 III 答案 C 解析 ABBC 2ABBCAD 3CD 2 2AC 90AOBCOD 由图象知 即 故选 C OAOC OBOD 0OA OBOC OD 0OB OC 312 III 点评 本题主要考查平面向量数量积的应用 根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 2017 年浙江 11 4 分 我国古代数学家刘徽创立的 割圆术 可以估算圆周率 理论上能把 的值计 算到任意精度 祖冲之继承并发展了 割圆术 将的值精确到小数点后七位 其结果领先世界一千多 年 割圆术 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S内S 内 答案 3 3 2 4 解析 如图所示 单位圆的半径为 1 则其内接正六边形中 是边长为 1 的正三角形 ABCDEFAOB 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 13 3 61 1 sin60 22 S 内 点评 本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题 是基础题 12 2017 年浙江 12 6 分 已知 是虚数单位 则 ab R 2 i34iab i 22 ab ab 答案 5 2 解析 由题意可得 则 解得 则 22 2i34iabab 22 3 2 ab ab 2 2 4 1 a b 22 5 2abab 点评 本题考查了复数的运算法则 复数的相等 方程的解法 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 13 2017 年浙江 13 6 分 已知多项式 则 12 54321 12345 12xxxa xa xa xa xa 4 a 5 a 答案 16 4 解析 由二项式展开式可得通项公式为 分别取和可得 令 32 rrmm C x C x0 1rm 1 0rm 4 41216a 可得 0 x 32 5 124a 点评 本题考查二项式定理的应用 考查计算能力 是基础题 14 2017 年浙江 14 6 分 已知 点为延长线上一点 ABC 4ABAC 2BC DAB 连结 则的面积是 2BD CDBDC cosBDC 答案 15 2 10 4 解析 取中点 中点 由题意 中 BCEDCF AEBC BFCD ABE 1 cos 4 BE ABC AB 1115 cos sin1 4164 DBCDBC BC 115 sin 22 D SBDBCDBC 又 2 110 cos12sin sin 44 DBCDBFDBF 10 cossin 4 BDCDBF 综上可得 面积为 BCD 15 2 10 cos 4 BDC 点评 本题考查了解三角形的有关知识 关键是转化 属于基础题 15 2017 年浙江 15 6 分 已知向量 a b 满足则的最小值是 最大1 2 ab abab 值是 答案 4 2 5 解析 解法一 设向量和的夹角为 由余弦定理有 a b 22 122 1 2cos54cosab 则 22 122 1 2cos54cosab 54cos54cosabab 令 则 据此可得 54cos54cosy 22 102 2516cos16 20y max abab 即的最小值为 4 最大值为 202 5 min 164abab abab 2 5 解法二记 则 如图 由余弦定理可得 AOB 0 54cosab 令 则 54cosab 54cosx 54cosy 22 10 1xyx y 其图象为一段圆弧 如图 令 则 则直线过 MNzxy yxz yxz M N 时最小为 当直线与圆弧相切时最大 由平面几z13314 min z yxz MNz 何知识易知即为原点到切线的距离的倍 也就是圆弧所在圆的半径的倍 max z2MN2 5 所以 综上所述 的最小值为 4 最大值为 2102 5 max z abab 2 5 点评 本题考查函数的最值及其几何意义 考查数形结合能力 考查运算求解能力 涉及余弦定理 线性规 划等基础知识 注意解题方法的积累 属于中档题 16 2017 年浙江 16 4 分 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人组成 4 人 服务队 要求服务队中至少有 1 名女生 共有 中不同的选法 用数字作答 答案 660 解析 解法一 由题意可得 从 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人组成 4 人服务队 中 的选择方法为 种方法 其中 服务队中没有女生 的选法有种方法 则满足题 411 843 CCC 411 643 CCC 意的选法有 种 411411 843643 660CCCCCC 解法二 第一类 先选 1 女 3 男 有种 这 4 人选 2 人作为队长和副队有种 故 31 62 40C C 2 4 12A 有 种 第二类 先选 2 女 2 男 有种 这 4 人选 2 人作为队长和副队有40 12480 22 62 15C C 种 2 4 12A 故有种 根据分类计数原理共有种 故答案为 660 15 12180 480180660 点评 本题考查了分类计数原理和分步计数原理 属于中档题 17 2017 年浙江 17 4 分 已知 函数在区间上的最大值是 5 则的取 R 4 f xxaa x 1 4a 值 范围是 答案 9 2 解析 分类讨论 当时 函数的最大值 4 1 4 4 5xx x 5a 44 2f xaxaax xx 舍去 当时 此时命题成立 当245a 9 2 a 4a 44 5f xxaax xx 时 则 或 45a max max 4 5f xaaaa 45 45 aaaa aa 45 55 aaaa aa 解得 或 综上可得 实数的取值范围是 9 2 a 9 2 a a 9 2 点评 本题考查函数的最值 考查绝对值函数 考查转化与化归思想 注意解题方法的积累 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 题 共题 共 74 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 18 2017 年浙江 18 14 分 已知函数 22 sincos2 3sin cosf xxxxx x R 1 求的值 2 3 f 2 求的最小正周期及单调递增区间 f x 解 1 22 sincos2 3sin coscos23sin22sin 2 6 fxxxxxxxx 4 sin2 3 2 2 36 f 2 由 的最小正周期为 令 得 2sin 2 6 fxx f x 2 22 262 kxk kZ 函数的单调递增区间为 36 kxk kZ f x 36 kkkZ 点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求值 三角函数的周期性 三角函数的单调区间 难度中档 6 19 2017 年浙江 19 15 分 如图 已知四棱锥 是以为斜边的等腰直角三角形 PABCDPAD AD 为的中点 BCADCDAD 22PCADDCCB EPD 1 证明 平面 CEPAB 2 求直线与平面所成角的正弦值 CEPBC 解 解法一 1 取的中点 连接 为的重点 在四边形中 ADFEFCFEPD EFPAABCD 为中点易得 平面平面 BCAD22ADDCCB F CFAB EFCABP 平面 平面 EC EFC EC PAB 2 连结 过作与 连结 因为 所以 BFFFMPB MPFPAPD PFAD 易知四边形为矩形 所以 所以平面 又 BCDFBFAD AD PBF ADBC 所以平面 所以 设 则 所以BC PBFBCPB 1DCCB 2ADPC 2PB 所以 又平面 所以 所以平面1BFPF 1 2 MF BC PBFBCMF MF 即点到平面的距离为 也即点到平面的距离为 因为为PBCFPBC 1 2 DPBC 1 2 E 的中点 所以点到平面的距离为 在中 由余弦PDEPBC 1 4 PCD 2PC 1CD 2PD 定 理可得 设直线 与平面所成的角为 则 2CE CEPBC 1 2 4 sin 8CE 解法二 1 略 构造平行四边形 2 过作 交的延长线于点在中 设 则易知 PPHCD CDHRt PDHADHx 解得 过作的平行线 取 2222 2 1 2xx Rt PCHA 1 2 DH HBC 由题易得 1DHBC 3 0 0 2 B 1 1 0 2 D 3 1 0 2 C 3 0 0 2 P 则 1 13 4 24 E 513 424 CE 33 0 22 PB 0 1 0 BC 设平面的法向量为 则 令 则 故PBC nx y z 33 0 22 0 n PBxz n BCy 1x 3t 1 0 3 n 设直线与平面所成的角为 则CEPBC 531 3 2 442 sin cos n 825132 2 2 16416 CE 故直线与平面所成角的正弦值为 CEPBC 2 8 点评 本题考查线面平行的证明 考查线面角的正弦值的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系 等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 空间想象能力 考查数形结合思想 化归与转化思 想 是中档题 20 2017 年浙江 20 15 分 已知函数 1 21 2 x f xxxex 1 求的导函数 f x 7 2 求在区间上的取值范围 f x 1 2 解 1 112 12112111 212121 xxxx fxexxexxexe xxx 2 令 则 当时 当时 则 21g xxx 1 1 21 gx x 1 1 2 x 0gx 1x 0gx g x 在处取得最小值 既最小值为 0 又 则在区间上的最小值为 0 1x 0 x e f x 1 2 当变化时 的变化如下表 x f x fx x 1 1 2 1 5 1 2 5 2 5 2 fx 0 0 f x 又 则在区间上的最大值为 1 2 11 22 fe 10f 5 2 51 22 fe f x 1 2 1 2 1 2 e 综上 在区间上的取值范围是 f x 1 2 1 2 1 0 2 e 点评 本题考查导数的运用 求单调区间和极值 最值 考查化简整理的运算能力 正确求导是解题的关键 属于中档题 21 2017 年浙江 21 15 分 如图 已知抛物线 点 抛物线上 2 xy 1 1 2 4 A 3 9 2 4 B 的 点 过点作直线的垂线 垂足为 11 24 P xyx BAPQ 1 求直线斜率的取值范围 AP 2 求的最大值 APPQ 解 1 由题易得 故 故直线斜率的取值范围为 2 P x x 13 22 x 2 1 1 4 1 1 1 2 2 AP x Kx x AP 1 1 2 由 1 知 所以 设直线的斜率为 则 2 P x x 13 22 x 2 11 24 PAxx APk 11 24 AP ykxk 联立直线 方程可知 139 24 BP yx kk APBP 22 22 34981 2244 kkkk Q kk 故 又因为 23432 22 1 11 kkkkkkk PQ kk 2 1 PAkkk 故 33 2 3 22 1111 11 11 kkkkk PAPQPA PQkk kk 所以 令 3 11PAPQkk 3 11f xxx 11x 则 由于当时 22 1242 121fxxxxx 1 1 2 x 0fx 8 当时 故 即的最大值为 1 1 2 x 0fx max 127 216 fxf PAPQ 27 16 点评 本题考查圆锥曲线的最值问题 考查运算求解能力 考查函数思想 注意解题方法的积累 属于中档 题 22 2017 年浙江 22 15 分 已知数列满足 证明 当 n x 1 1x 11 ln 1 nn