矩阵分析第3章习题答案

第三章 1 已知是 n 阶正定 Hermite 矩阵 在 n 维线性空间中向量 ij Aa n C 定义内积为 1212 nn x xxy yy H A 1 证明在上述定义下 是酉空间 n C 2 写出中的 Canchy Schwarz 不等式 n C 2 已知 求的标准正交基 21113 11101 A N A 提示 即求方程的基础解系再正交化单位化 0AX 3 已知 308126 1 316 2 103 205114 AA 试求酉矩阵 使得是上三角矩阵 U H UAU 提示 参见教材上的例子 4 试证 在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的 Hermite 矩阵 n CP 5 验证下列矩阵是正规矩阵 并求酉矩阵 使为对角矩阵 已知U H UAU 11 33 26 11 1 63 22 3 1 262 3 i i A ii 01 2 100 00 i A i 43462 1 3 44326 9 62260 iii Aiii ii 11 4 11 A 6 试求正交矩阵 使为对角矩阵 已知Q T Q AQ 220 1 212 020 A 1101 1110 2 0111 1011 A 7 试求矩阵 使 或 已知P H P APE T P APE 11 1 01 112 ii Ai i 222 2 254 245 A 8 设 n 阶酉矩阵的特征根不等于 试证 矩阵满秩 且U1 EU 是 Hermite 矩阵 反之 若是 Hermite 矩阵 则满秩 1 Hi EUEU HEiH 且是酉矩阵 1 UEiHEiH 证明 若 观察知为的特征值 矛盾 所以矩阵满 0 EU0 EU 1 UEU 秩 要 只要 1 1 H HHH Hi EUEUi EUEU H HH 1 1 HH HH HH i EUEUi EUEU EUEUEUEU UUUU 故 H HH 由知 为 H 的特征值 由 Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0 EiHi iEHi 即满秩 0 EiHEiH 1111 11 HHH U UEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiH EiHEiHEiHEiHE 9 若分别是实对称和实反对称矩阵 且 试证 S Tdet 0ETiS 是酉矩阵 1 ETiSETiS 证明 1111 H ETiSETiSETiSETiSETiSETiSETiSETiS 11 ETiSETiS ETiS ETiSE 10 设均是实对称矩阵 试证 与正交相似的充要条件是与的特征值相同 A BABAB 证明 相似矩阵有相同的特征值 与正交相似与的特征值相同 AB AB 若与的特征值相同 又均是实对称矩阵 所以存在正交阵 Q P 使AB A B 其中为正交阵 TTTTT Q AQP BPQPA QPB T QP 11 设均是 Hermite 矩阵 试证 与酉相似的充要条件是与的特征值相同 A BABAB 证明 同上一题 12 设均是正规矩阵 试证 与酉相似的充要条件是与的特征值相同 A BBAB 同上 13 设 A 是 Hermite 矩阵 且 则存在酉矩阵 使得 2 AA U 0 00 rH E UAU 14 设 A 是 Hermite 矩阵 且 则存在酉矩阵 使得 2 AE U 0 0 rH n r E UAU E 15 设 A 为正定 Hermite 矩阵 B 为反 Hermite 矩阵 试证 与的特征值实部为ABBA 0 证 A 为正定 Hermite 矩阵 为满秩的 H AL L L 1 HHHH EABEL LBLELBLL HHHHH LBLLB LLBL 是反 Hermite 矩阵 反 Hermite 矩阵的特征值实部为 0 所以的特征值实部为 0 H LBLAB 16 设均是 Hermite 矩阵 且 A 正定 试证 与的特征值都是实数 A BABBA 证明 同上题 1 HHHH EABEL LBLELBLL 是 Hermite 矩阵 Hermite 矩阵的特征值为实数 所 HHHHH LBLLB LLBL H LBL 以的特征值是实数 AB 17 设 A 为半正定 Hermite 矩阵 且 试证 0A 1AE 证明 A 的特征值为 矩阵的行列式等于特征值之积 特征值为 0 i AE 1 i 1 1 i AE 18 设 A 为半正定 Hermite 矩阵 B 是正定 Hermite 矩阵 试证 0A ABB 证明 为满秩的 H BL L L 1111 11 HHHHH H ABAL LLLALE LLALE L L LALE B 为半正定 Hermite 矩阵 由上题 11 H LAL 11 1 H LALE 11 H ABLALE BB 19 设 A 为正定 Hermite 矩阵 且 则 n n AU AE 证明 存在 又 n n UU H AUU 1 0 ni diag n n AU 2 H HHH EA AUUUU 2 11 ii HH AUUUEUE 20 试证 1 两个半正定 Hermite 矩阵之和是半正定的 2 半正定 Hermite 矩阵与 正定 Hermite 矩阵之和是正定的 提示 考查 H XAB X 21 设 A 是正定 Hermite 矩阵 B 是反 Hermite 矩阵 试证 A B 是可逆矩阵 提示 A 为正定 Hermite 矩阵 为满秩的 H AL L L 11 HH ABLELBLL 是反 Hermite 矩阵 特征值实部为 0 11 H LBL i 11 1 0 H i ELBL 所以0AB 22 设 A B 是 n 阶正规矩阵 试证 A 与 B 相似的充要条件是 A 与 B 酉相似 证明 充分性 酉相似相似 必要性 A B 是 n 阶正规矩阵 又 A 111222 HHn n i AUUBUU UU 与 B 相似 与的特征值相同 可设AB 12 111122121 HHHHn n AUUU U BU U U UU 23 设 试证 总存在 使得是正定 Hermite 矩阵 是负定 H AA 0t AtE AtE Hermite 矩阵 提示 A 的特征值为 则的特征值为 i AtE i t 24 设 A 是正定 Hermite 矩阵 且 A 还是酉矩阵 则 AE 提示 25 设 A B 均为正规矩阵 且 则与均为正规矩阵 ABBA ABBA 提示 用 定理 可以同时酉对角化 A B 26 设 试证 是酉矩阵 H AA 1 UAEAE 提示 11 11 11 HH U UAEAEAEAE AEAEAEAE AEAEAEAEE 27 设 A 为 n 阶正规矩阵 为 A 的特征值 试证 的特征值为 12 n H A A 222 12 n 提示 所以的特征 1 H n UAU 11 HH nn UA AU H A A 值为 2 iii 28 设 试证 1 和都是半正定的 Hermite 矩阵 2 和 n n AC H A A H AA H A A 的非零特征值相同 H AA 提示 1 0 HHH XA AXAXAX 2 特征值的重数也相同 参见 P191 HH ii A AXXAA AXAX 29 设 A 是正规矩阵 试证 1 若 为自然数 则 2 若0 r A r0A 则 3 若 则 2 AA H AA 32 AA 2 AA 30 设 求证以下三条件等价 HH AA BB 1 为正规矩阵AB 2 ABBA 3 HABAB 解 1 2 由 HH ABABAB AB HHHH A BB AABBA HH AA BB ABBA 2 3 由 ABBA HH AA BB HHH ABB AAB 2 1 由 H ABABAB AB ABBA ABAB