浙教版初中数学八年级下册《1.3二次根式的运算》3课时教学设计

1 3 二次根式的运算 第一课时 教学目标 1 了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的 2 会进行简单的二次根式的乘除运算 重点难点 重点 二次根式的乘除运算法则 难点 例 1 3 例 2 计算过程中涉及多种运算和运 算法则 是本节的难点 教学设想 首先复习二次根式的性质 并利用性质的复习引入应用 在应用中让学 生自己发现其中的问题 然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法 提升 学生的学习能力 确保课堂的效率 教学过程 一 引入新课 1 复习回顾 二次根式有哪些性质 2 a a a0 2 a a0 a a a a0 11 a a aaaa 1 1 或或0a a 0 b 0 0 0 abab ab a b a b 先结合书本的要求 开门见山地提出公式 帮助学生尽快建立本课的学习思路 应用公式进行二次根式的计算 将学生的思路从课外拉到课堂上 2 你能计算 1 2 吗 0 110 0 03 3 对于本类问题 学生可能会先分别化简或用计算器进行解答 再进行积和商是运算 因此教学时先让学生独立计算 教师进行观察约 1 5 分钟 主要目的是看学生起先的解题 直觉 先化简还是先应用公式 检查学生的预习效率 若学生有先化简的情况 结合此类学生的比例 适当地进行选择他们的方法并板书 然后提问 有否更为简便的方法 再应用解答简便的学生的方法进行类比学习 让学生在 自己的比较中学习到两种不同的解题方法 并初步有灵活应用的意识 视学生对引题的处 理 作出强调或完整处理以便对下面的题目起到示范作用 3 结合法则用于二次根式的乘除运算 你会计算吗 试一试 第一组 3250 1 2 210 第二组 32 1 123 2 10000 1 3 23 处理 让学生独立完成 然后师生共同评价并更正错误 要求尽量能选择应用合理的 方法进行解答 二 例题分析 例 1 计算 1 2 3 26 227 1 310 7 9 5 2 10 1 3 10 做一做 1 2 3 243 5 3 3 10 2 7 10 7 6 因为有上面的铺垫 对于这样的问题 需要学生的解答能尽量选正确的方法 快速准 确 乘除法运算的一般步骤是怎样的 1 运用法则 化归为根号内的运算 2 完成 根号内的相乘 除 约分 运算 3 化简二次根式 说明 3 还有没有其它的 7 6 计算方法呢 由此可见 有时数学解题方法多样 做一做 1 2 2 3 1 5 例 1 是为了及时巩固二次根式的运算法则 虽然比较简单 但对于以后的一些问题的 解决 还是一个非常重要的基础 而且对于学生来说 注意其中隐含的解题思路与学习方 法才是最重要的 所以 在教学中需要注意 1 总结解决此类问题的一般步骤 应用性质 化归为根号内的实数运算 完成 根号内的乘除运算 一般要化得简单 化简二次根式 2 及时总结出如 的两种计算思路 及和等的解题思路 7 6 2 3 1 5 例 2 一个正三角形路标如图 若它的边长为个单位 求这个路标的面积 2 2 提示 1 根据题意要计算这个正三角形的面积 还要什么数据 这样 帮助学生形成整体的解题思路 确定解决本题的关键是先求出 正三角形的高 2 作辅助线 高线 AD 由图形你说说如何求高 AD 的长 说出其中的根据是勾股定理以及为什么能用勾股定理 3 有无更好的方法 如应用正三角形的面积计算公式 边长为的正三角形的面积为 a 2 3 4 Sa 对于面积的公式 在以前的教学中曾提出过 但由于当时没有良好的记忆 一般学生 早已忘记 因此在此处重申 一方面可以帮助学生提高对数学知识学习的意识 另一方面 也可以促进学生掌握面积公式 为以后的学习打基础 4 解题作提示外 在计算高 AD 时提醒学生注意运算顺序是怎样的 其中在学生的解 答过程中注意强调的计算过程与方法 而依据是 积的乘方 学生会遗忘 2 2 2 5 在求出正 ABC 的面积后 也需要强调计算结果能化简的 应予以化简 而本题 中没有精确度的要求 结果可以用二次根式表示 做一做 巩固知识 三 课堂小结 谈谈你今天的收获 教师帮助学生归纳总结 四 布置作业 注意 对于分母有理化的问题 如 和 等 教材中有要求 需要学 7 6 2 3 1 5 生掌握 而对于 等问题 由于要运用平方差公式 对学生来说 有一定的难度 5 61 但 新课标 中并没有这样的要求 可以不补充 在遇到的时候 可以要求学生按预定的 精确度求出其近似值即可 1 3 二次根式的运算 第二课时 教学目标 1 会进行二次根式的四则混合运算 2 会应用整式的运算法则进行二次根式的运算 3 体验和掌握迁移 转化等数学思想与方法 重点难点 教学重点 二次根式的四则混合运算是重点 教学难点 例 5 计算思路的形成比较困 难 是教学的难点 教学设想 本课在设计上体现了以下的特点 二次根式的加减和乘除混合运算 出 现了类似单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 包括乘法公式 乘方 多项式除以 单项式的运算 课本中没有出现 同类二次根式 的概念 只是提到 类似于合并同 类项 相同二次根式的项 这种类比的方法 学生是能够理解的 也能够与整式一 样进行运算 首先复习二次根式的性质 并利用性质的复习引入应用 在应用中让学 生自己发现其中的问题 然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法 提升 学生的学习能力 确保课堂的效率 教学程序设计 一 复习旧知 引出课题 1 二次根式有哪些性质 2 2 102 30 040 0 50 060 0 11 0 aaaaa abababababab aaaa abab bbbb a aa aaaa 1 1 7 7 或或 2 已学过的整式的乘法公式和法则有哪些 2 2222 8 92 10 ababababaabb abnmanambnbm 设计上述教学过程的目的是 复习公式 进一步梳理和巩固已生成的知识 通过纵览公式之间的区别与联系 一方面加强对公式的理解 另一方面使学生 对本课所学知识的基础有一个感性的了解 3 怎样化简下列二次根式 化简 12 3 1 3 3 1 14827 本题是让学生体验性质与公式的准确运用 为以下的问题解决打基础 4 计算 1 3x 2x 2 3x 2x 3 4 2223 2223 与合并同类项类似 我们可以把相同二次根式的项合并 说明 3 是二次根式的加法运算 4 二次根式的减法运算 可见二次根式的加减类似于合并同类项 以前我们学过的整式运算的其它法则和 方法也适用于二次根式的运算 二 探究新知 体验成功 铺垫 结合学生前一天的作业情况而设计 小东在学习了和 aa bb 之后认为他们是一样的 因此他认为一个化简过程 aa bb 是正确的 你认为他的化简正确吗 说说你的理 20205 454 42 5555 由 设计这一问题的目的是为二次根式有意义的隐含条件而设定 例 3 先化简 再求近似值 精确到 0 01 3 1 1 3 1 12 审题 1 题目要求先化简 再求出近似值 精确到 0 01 2 能化简吗 3 能做吗 学生说教师板书 板书时让学生注意 27 化简 如何乘 263 27263 4 若不要求先化简 只是计算求近似值 那么这个问题可以采取其它手段吗 若用计算器 误差可能会偏大 领悟先化简再象合并同类项那样进行运算来计算这一题 在教学中要注意帮助学 生尽力规范书写的意识 知道运算程序引导 帮助学生审题 教师对于学生的思考或在题后小结提问 本题共有哪几项组成 各包含了什么运 算 各项都是二次根式吗 各项能否化简 在各二次根式化简之后 各项又有什么特 点 如果把前面的乘数看作是它的系数 整个算式又能否继续化简 这可以与我们3 以前学过的什么计算类似 并帮助学生建立 对于二次根式的加减计算 可以在把每一个项都进行化简 化 到最简 后 将被开方数相同的二次根式象合并同类项那样的合并起来 解 1212 2 3332331 73 3333 原原式式 练习 课本 14 页课内练习第 1 题 在学生完成解题后出示答案 这样马上接着进 行训练 要让学生快速领悟方法 会正迁移 例 4 计算 3 1273 6223 36348273 8 本题的设计主要是让学生确定运算顺序及运算律的运用 因此对于学生中可能出 现的问题 教师应预先作出判断 也可以利用问题给学生以提示 对于 1 先算什么 后算什么 第 2 3 又该怎样呢 对于第一题先乘除后加减 在后合并第 2 题先去括号 再计算较方便第 3 题先把 除法转化为乘法 后去括较方便 这样可以使学生对于具体的计算题会先设计计算程 序 然后在思考计算 会正迁移 领悟方法与步骤 其中 二次根式的加减计算 其运算顺序通常与以前所学的实数及整式的运算顺 序类似 需要在进行合理的变形后确定整体的计算思路 这样往往可以使计算变得简 便 课堂练习 课本 14 页 课内练习 2 学生完成后出示答案并纠正错误 例 5 计算 22333322 1 22322 2 教师问 对于 1 相当于哪一个乘法公式的形式 对于 2 相当于整式乘法中 哪一种运算形式 师生共同得出解决本类问题的基本方法或思路 用平方差公式 多项式与多 项式相乘 还有别的解法吗 让学生会用乘法公式和法则进行二次根式的计算 体验运 算法则的互通 通过观察思考 形成悱 愤的学习状态 练习 分组交流 合作完成 课本 14 页 课内练习 3 4 三 归纳小结 充实结构 谈一谈 本节课你有什么收获或困惑 由学生总结 教师适当提问补充 二次根式的四则混合运算中 能化简的先化简 当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并 在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则 使运算简便 这样 让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成 便于调节 自己的学习进度 培养学生养成良好的学习习惯 发挥自我评价的作用 增强学生学 数学的信念 以下作为课内的补充练习 视时间情况选择性地教 若整体的教学时间比较紧张 则把以下的问题作为学生的课外练习 1 下列计算哪些正确 哪些不正确 并适当地说明理由 325 abab aba b a ab aaba 11 320 32 aaaa 2 探究 比较的大小 614713 和和 本题设计的目的是为了让学生了解对实数的大小比较的方法 并利用题目中数据 的特点进行学习思路的培养 通过学生的配合 教给学生利用平方法比较两个实数大 小的方法与思路 在教学中主要作如下处理 1 先让学生说说怎么比较 作差或作商都不行时怎么办 2 这两个都是正数 能否发现上述两个问题中的特点 两个被开方数的和 相等 6 14 7 13 3 二次根式大小比较常采用的方法 平方法 进行介绍 教师板书 利用完全平方后对计算结果进行大小比较 并与学生一起得出 实数越大 其算术平 方根也就越大 的解题依据 4 拓展 若两个都是负数呢 其中的计算是减法 3 探究 2 32222 3xxxx 1 已知 求代数式的值 本题主要是先化简后求值的方式进行 2323 2 22 的值 求 已知bababa 其中 1 先化简再代入 2 的值或的值或的值特殊 所以对代ab ab ab 数式怎么处理可以用上这些中一个或几个特殊值 目的是使解题更方便 对于 2 由于和的值的特殊性 其实求出 的值 将代数abab ab ab 式进行化简后代入比直接代入就往往会更为简单 因此通过本题可以培养学生合理思 考该类化简问题的方法与意识 1 3 二次根式的运算 第三课时 1 教学目标 1 会运用二次根式解决简单的实际问题 2 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值 重点难点 重点 二次根式及其运算的实际应用 难点 例 6 涉及多方面的知识和综合运用 思路比较复杂 是本节教学的难点 教学设想 本课时是二次根式运算的应用 其主要知识体系为 例 6 的数字看上去比较复杂 其目的是为了二次根式的运算的应用 是对二次根 式知识的综合运用 提出应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现在两个方 面 1 通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量 2 通过二次根式的四则混 合运算求出未知量 并化简 教学程序设计 一 引入新课 与学生一起复习在二次根式运算应注意的问题 教师把握 二次根式的四则混合运算中 要注意的是 第一方面 与实数或代数式的运算的顺序进行类比 1 在实数范围内 乘法分配律 乘法法则及乘法公式仍然成立 在二次根式的混 合运算中均可运用 2 在进行二次根式的加减乘除混合运算时 先运用乘法分配律 如果是除法 先 转化为乘法 进行二次根式的乘法运算 再进行二次根式的加减运算 在进行二次根式 的和与差的乘法运算时 可以直接运用完全平方公式进行计算 根据所给题目的特点 可灵活运用公式进行计算 3 在进行二次根式的混合运算时 先进行乘法运算 把所得的积化为最得二次根 式后 再进行加减运算 第二方面 具体对二次根式化简中的特点 能化简的先化简 当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并 在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则 使运算简便 结果能简化的要化简 注意化简的要求 二 知识应用 1 练习 一道斜坡的坡比为 1 10 已知 AC 24m 求斜坡的长 设计在此处安排一个练习 一方面 解释概念 坡比 可以参考教材中的注释 也可以直接给出坡比 坡度 铅直高度 水平宽度 并出示答案 标准的解题过程 与格式 让学生从简单的入手进行深入的学习 再者 先巩固已有知识 便于向新知 识过度 2 解释应用情境 扶梯 AB 的坡比 BE 与 AE 的长度之比 为 1 0 8 已知 AE 2 米 一男孩从扶梯底部 A 走到顶部 B 他升高了多少米 他经过了多少路程 斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比 给出知识的应用情境 先让学生有充分的时间阅读并理解题意 主要是与坡比相 关的竖直高度 水平宽度在图形中的表示 他升高了多少米可以用什么来反映 线 段 BE 再让学生看一遍题然后让学生独立去解题 并展示学生解题过程 并评价 在日常生活和生产实际中 我们在解决一些问题 尤其是涉及直角三角形边长计 算问题时 经常用到二次根式及其运算 例 6 如图 扶梯 AB 的坡比 BE 与 AE 的长度之比 为 1 0 8 滑梯 CD 的坡比为 1 1 6 AE 2 米 BC CD 2 1 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部 然后从滑梯滑下 他经过了 多少路程 结果精确到 0 01 米 本题与前面引例一起 构建了解决数学实际问题的一种思路 先有情境 然后将 实际的图形抽象出几何图形 并应用几何图形进行解决问题 而对于那些不能很快建立思路的学生 教师在个别辅导时注意把握 1 所求的路程是那些线段的和 2 计算 AB 和引题一样 求 BC 得先求出 CD CD 能求吗 根据滑梯 CD 的坡比为 1 1 6 米 说明哪两条线段的比是已知的 CF FD 1 1 6 因为 CF 2 5 米 就可以求出哪一条线段的长度 FD 那么我们可以求 CD 了吗 而在讲解时则要注意 1 让学生有充分的时间阅读问题 理解问题 分清已知哪些量 所求量是什么 2 帮助学生根据图形 寻找所求的量和已知量之间的关系 或启发学生 1 所求的路程是哪些线段的和 2 AB BC CD 这三条线段中 哪些线段的长度是已知的 哪些线段的长度 是未知的 3 题设中已知线段 AB 的破比为 1 08 说明哪两条先点的比是已知的 根据 AE 3 2 米 你可以先求出哪一条线段的长度 4 AB 与 AE BE 有怎样的关系 据此你能求出 AB 吗 是否可以类似地求出 CD 的长 5 观察 AB BC CD 的算式中含有哪些运算 能化简吗 由学生来完成 教师评价 做一做 P17 课内练习 1 三 课堂小结 回顾二次根式的性质 二次根式的运算法则 由学生总结 教师适当提问补充 1 二次根式的运算结果能简化的要简化 2 体验体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值 3 实际问题要注意分析 引导学生从下面的思路总结 应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表 现 1 通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量 2 通过二次根式的四则混合运算求出未知量 并化简 四 布置作业 作业本 1 3 二次根式的运算 第三课时 2 教学目标 1 会运用二次根式解决简单的实际问题 2 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值 重点难点 重点 二次根式及其运算的实际应用 难点 例 7 涉及多方面的知识和综合运用 思路比较复杂 是本节教学的难点 教学设想 本课时是二次根式运算的应用 原教材中 1 3 第三课时的下半部分 因为例 7 有一定的难度 因此为了帮助学生的学习 这里将例 7 单独列为 1 课时进行 教学 例 7 综合运用了直角三角形的有关知识 图形的分割 面积的计算等 其解答 过程较长 也是对二次根式知识的综合运用 在这里 对李 7 进行教学后进行适当的 拓展 提高学生的综合解题能力 教学程序设计 一 引入新课 例 7 如图是一张等腰三角形彩色纸 AC BC 40cm 将斜边上的高 CD 四等分 然后裁出 3 张宽度相等的长方形纸条 1 分别求出 3 张长方形纸条的长度 2 若 用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边 纸条不重叠 如右图 正方形美术作品的面 积最大不能超过多少 cm 在讲解本题之前 结合学生的理解水平和一般的思考问题的思路 我先和部分学 生 兴趣小组 一起准备了图形等腰直角三角形 和 并将等腰直角三角形 再变 成画线图和裁减图若干份 并将部分图贴在纸板上 每个学习小组都有至少 2 份 让 学生在观察与操作中理解题意 并帮助学生建立解题思路 在对学生进行解释时 教师注意把握 3 张长方形的长度也就是哪三条线段的长度 a 已知的是什么 ABC 是什么三角形 AC BC 40cm CD 是斜边上的b 高且 CD 被分成四条相等的线段 四等分 CD 是斜边上的高 又可以看作是什么 斜边上的中线 c 你能求出 EF GH MN 的长吗 学生讨论 教师帮助引导 d 对于求出长方形纸条的长 可以有 2 种思路 其一是结合教材中的方法 利 用 CD 通过长方形纸条的上边 EF GH MN 来求 当然还可以利用长方形纸条的下 边 即利用 AB MN GH 分别减去 2 个小等腰直角三角形的边 纸条的宽度 来计 算 在教学时教师注意结合学生的思考作适当的点拨 每条纸条的长度与所有纸条的总长度有什么关系 纸条的宽度是多少 e 1 4 解法启发 针对第一小题 1 这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长 这个三角形有什么特征 2 三角形的斜边与等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 有什么关系 所以和 ABC 的 AB 边上的高 CD 有什么关系 CD 也平分这个直角三角形的斜边 为什么 由此你 求出这个直角三角形的斜边的长吗 3 最上面的长方形纸条的以后 用类似的方法求出其他长方形纸条的长 针对第二小题分析如下 启发学生找出课本图 1 6 中每条纸条的长度与课本图 1 5 所有纸条总长度的关系 这样根据纸条的宽度为 1 4CD 就不难算出 4