河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试(理数)

1 河北省石家庄市河北省石家庄市 2017 届高中毕业班第二次模拟考试届高中毕业班第二次模拟考试 数学 理科 数学 理科 本试卷共 23 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前考生务必将自己 的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷 卷 选择题选择题 共共 60 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题个小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 函数2yx 与ln 1 yx 的定义域分别为M N 则MN A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 2 若 2 i z i 则复数z对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 已知向量 则 1m 是 成立的 1 1 mbma ba A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题 若不放回地一次抽取 2 道题 则在第 1 次抽到 理科题的条件下 第 2 次抽到理科题的概率为 A 3 10 B 2 5 C 1 2 D 3 5 5 已知角 0360 终边上一点的坐标为 sin235 cos235 则 A 215 B 225 C 235 D 245 6 已知 ln x f x x 其中e为自然对数的底数 则 A 2 3 ff ef B 3 2 ff ef C 2 3 f eff D 2 3 2 f eff 7 如图是计算 111 1 3531 的值的程序框图 则图中 处 应填写的语句分别是 A 2nn 16 i B 2nn 16 i C 1nn 16i D 1nn 16 i 8 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 A 3 4 B 2 4 C 1 2 D 32 4 9 实数x y满足 1 1 1 2 xyx 时 目标函数 zxmy 的最大值等于 5 则实数m的值为 A 2B 3 C 4D 5 10 如图是一个底面半径为 1 的圆柱被平面截开所得的几何体 截 面与底面所成的角为45 过圆柱的轴的平面截该几何体所得 的四边形 ABB A为矩形 若沿 AA将其侧面剪开 其侧面展 开图形状大致为 11 如图 两个椭圆的方程分别为 22 22 1 0 xy ab ab 和 22 22 1 xy mamb 0ab 1m 从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC BD 若AC BD的斜率之积恒为 6 25 则椭圆的离心率为 A 3 5 B 3 4 C 4 5 D 7 4 12 若函数 32 233f xxaxbxb 在 0 1 上存在极小值点 则实数b的取值范围是 3 A 1 0 B 1 C 0 D 1 第第 卷卷 非选择题非选择题 共共 90 分分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 若 1 3 nx x 的展开式中二项式系数和为 64 则展开式的常数项为 用数 字作答 14 已知函数 sin f xx 0 0 的 图象如图所示 则 0 f的值为 15 双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 上一点 3 4 M 关于一条渐进线的对称点恰为右焦点 2 F 则该双曲线 的标准方程为 16 在希腊数学家海伦的著作 测地术 中记载了著名的海伦公式 利用三角形的三条边 长求三角形面积 若三角形的三边长为a b c 其面积 Sp papbpc 这里 1 2 pabc 已知在ABC 中 6BC 2ABAC 其面积取最大值时sin A 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a满足 1 12 2 1 22 n n aanan nN 求数列 n a的通项公式 若 221 1 loglog n nn b aa 12nn Tbbb 求证 对任意的 nN 3 4 n T 18 本小题满分 12 分 在如图所示的多面体ABCDEF中 ABCD为直角 梯形 ABCD 90DAB 四边形ADEF为 等腰梯形 EFAD 已知AEEC 2ABAFEF 4ADCD 求证 平面ABCD 平面ADEF 求直线CF与平面EAC所成角的正弦值 19 本小题满分 12 分 天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验 经过分析推断得到的 在 现实的生产生活中有着重要的意义 某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现 企业经营 4 情况与降雨天数和降雨量的大小有关 天气预报说 在今后的四天中 每一天降雨的概率均为40 求四天中至少有两天 降雨的概率 经过数据分析 一天内降雨量的大小x 单位 毫米 与其出售的快餐份数y成线 性相关关系 该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下 降雨量 毫米 12345 快餐数 份 5085115140160 试建立y关于x的回归方程 为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费 预测降雨量为 6 毫 米时需要准备的快餐份数 结果四舍五入保留整数 附注 回归方程 ybxa 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 20 本小题满分 12 分 已知圆C 222 1 xyr 1r 设A为圆C与x轴负半轴的交点 过点A作圆 C的弦AM 并使弦AM的中点恰好落在y轴上 求点M的轨迹E的方程 延长MC交曲线E于点N 曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B 试判 断以点B为圆心 线段BC长为半径的圆与直线MN的位置关系 并证明你的结论 21 本小题满分 12 分 设函数 x f xeaxa 其中e为自然对数的底数 其图象与x轴交于A 1 0 x 2 0 B x两点 且 12 xx 求实数a的取值范围 证明 12 2 0 3 xx f fx为函数 f x的导函数 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 以O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方 程为cosa 0a Q为l上一点 以OQ为边作等边三角形OPQ 且O P Q三点按逆时针方向排列 当点Q在l上运动时 求点P运动轨迹的直角坐标方程 若曲线C 222 xya 经过伸缩变换 2 xx yy 得到曲线 C 试判断点P的轨 5 迹与曲线 C是否有交点 如果有 请求出交点的直角坐标 没有则说明理由 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 1 1 f xxx 求函数 f x的图象与直线1y 围成的封闭图形的面积m 在 的条件下 若正数a b满足2ababm 求2ab 的最小值 6 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题 1 5DDACA 6 10 DADBA 11 12AB 二 填空题 13 540 14 2 2 15 22 1 520 xy 16 3 5 三 解答题 17 解 1 当 1n 时 1 12 121 2 1 22 2 1 2 22 n n n n aanan aanan 2 分 得 1 1 2 2 22 nnn n nannn 所以2n n a 3 分 当 1n 时 1 2a 所以 2n n a nN 4 分 2 因为2n n a 222 111 11 loglog 2 22 n nn b aan nnn 6 分 因此 111 111 111111 11 1 232 242 3521122 n T nnnn 8 分分 1111 1 2212nn 10 分 31113 42124nn 所以 对任意 nN 3 4 n T 12 分分 18 1 证明 取 AD 中点 M 连接 EM AF EF DE 2 AD 4 可知 EM 1 2 AD AE DE 2 分 又 AE EC DEECE AE 平面 CDE AE CD 又 CD AD ADAEA CD 平面 ADEF CD 平面 ABCD 平面 ABCD 平面 ADEF 5 分 2 如图 作 EO AD 则 EO 平面 ABCD 故以 O 为原点 分别以 OA DC OE 的方 向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系 依题意可得 0 0 3 E 3 0 0 A 1 4 0 C 2 0 3 F 所以 3 0 3 EA 4 4 0 AC 3 4 3 CF 7 分 7 设 nx y z 为平面 EAC 的法向量 则 0 0 n EA n AC A A 即 330 440 xz xy 不妨设 x 1 可得 1 1 3 n 9 分 所以 2140 cos 70 285 CF n CF n CFn A AA 35 35 11 分 直线 CF 与平面 EAC 所成角的正弦值为 35 35 12 分 19 解 1 四天均不降雨的概率 4 1 381 5625 P 四天中恰有一天降雨的概率 3 1 24 32216 55625 PC 2 分 所以四天中至少有两天降雨的概率 12 81216328 11 625625625 PPP 4 分 2 由题意可知 12345 3 5 x 5 分 50 85 115 140 160 110 5 y 6 分 5 1 5 2 1 275 27 5 10 ii i i i xxyy b xx 8 分 27 5a ybx 所以 y关于x的回归方程为 27 527 5yx 10 分 将降雨量6x 代入回归方程得 27 5627 5192 5y 193 所以预测当降雨量为 6 毫米时需要准备的快餐份数为 193 份 12 分 20 方法一 设 M x y 由题意可知 A 1 r 0 因为弦 AM 的中点恰好落在y轴上 所以 x r 1 0 即 r x 1 2 分 所以 222 1 1 xyx 化简可得 y2 4x x 0 所以 点 M 的轨迹 E 的方程为 y2 4x x 0 4 分 方法二 设 M x y 由题意可知 A 1 r 0 AM 的中点 x 0 8 因为 C 1 0 2 分在 C 中 因为 CD DM 所 以 所以 所以 y2 4x x 0 所以 点 M 的轨迹 E 的方程为 y2 4x x 0 4 分 设直线 MN 的方程为1xmy 11 M x y 22 N xy 直线 BN 的方程为 2 2 2 4 y yk xy 2 2 1 440 4 xmy ymy yx 可得 1212 4 4yym y y 6 分 由 1 可知 1 1rx 则点 A 1 0 x 所以直线 AM 的方程为 1 1 2 2 y yx y 2 2 222 22 2 4404 4 y yk xy kyyyky yx 0 可得 2 2 k y 直线 BN 的方程为 2 2 2 2 y yx y 8 分 联立 1 1 2 2 2 2 2 2 y yx y y yx y 可得 2 11 11 44 1 2 22 BB ymy xym yy 所以点 B 1 2m 10 分 2 44BCm 2 2 2 22 44 1 m dm m 12 2 m B e与直线 MN 相 切 12 分 21 解 1 exfxa 若0a 则 0fx 则函数 f x是单调增函数 这与题设矛盾 所以0a 令 0fx 则lnxa 2 分 当lnxa 时 0fx f x是单调减函数 lnxa 时 0fx f x是单调增 函数 9 于是当lnxa 时 f x取得极小值 因为函数 e x f xaxa a R的图象与x轴交于两点 1 0 A x 2 0 B x x1 x2 所以 ln 2ln 0faaa 即 2 ea 4 分 此时 存在1ln 1 e0af 或寻找 f 0 存在 3 3lnln 3ln 3 lnaafaaaaa 32 30aaa 又由 f x在 ln a 及 ln a 上的单调性及曲线在 R 上不间断 可知 2 ea 为 所求取值范围 5 分 2 因为 1 2 1 2 e0 e0 x x axa axa 两式相减得 21 21 ee xx a xx 7 分 记 21 0 2 xx s s 则 12 12 212 12 2 21 eee e2 ee 22 xx xx xx ss xx fs xxs 9 分 设 2 ee ss g ss 则 2 ee 0 ss g s 所以 g s是单调减函数 则有 0 0g sg 而 12 2 e 0 2 xx s 所以 12 0 2 xx f 又 exfxa 是单调增函数 且 3 2 2 2121 xxxx 所以0 3 2 21 xx f 12 分 2 另解参考 21 3 2 21 21 21 3 2 xx ee e xx f xxxx 7 分 1 21 3 2 3 3 2 1221 21 xx ee e