整数规划和-规划.ppt

整数规划制作 傅明睿 Mathematicalmodeling 整数规划是什么 规划中的变量 部分或全部 限制为整数时 称为整数规划 若在线性规划模型中 变量限制为整数 则称为整数线性规划 目前所流行的求解整数规划的方法 往往只适用于整数线性规划 目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划 Mathematicalmodeling 整数规划的分类 变量全限制为整数时 称纯 完全 整数规划 变量部分限制为整数的 称混合整数规划 变量只能取0或1时 称之为0 1整数规划 Mathematicalmodeling 整数规划模型的建立 整数规划模型的求解 完全枚举法 分支定界法 割平面法 0 1数规划模整型 Mathematicalmodeling 例1集装箱运货问题 已知甲乙两种货物的装运和获利情况如下表所示 问 甲乙两货物各托运多少箱 可使获得利润最大 Mathematicalmodeling 解 设为甲乙两货物各托运箱数 Mathematicalmodeling 1 原线性规划有最优解 当自变量限制为整数后 其整数规划解出现下述情况 a原线性规划最优解全是整数 则整数规划最优解与线性规划最优解一致 b原线性规划最优解不全是整数 则整数规划最优解小于原线性规划最优解 max 或整数规划最优解大于原线性规划最优解 min Mathematicalmodeling 例2今有一台机器将一周生产的两种型号的冷饮杯存储在150立方米的储藏室里 并同时进行出售 已知这台机器能在6小时内生产一百箱 号杯 5小时内生产一百箱 号杯 生产以百箱为单位计算 预计每周生产60小时 如果 号杯每百箱占体积10立方米 每百箱可获利润500元 每周售出数量不会超过800箱 号杯每百箱占体积20立方米 每百箱可获利润450元 每周售出数量不受限制 为保证总收益为最大 每周应安排生产 号杯各多少百箱 Mathematicalmodeling 解 设每周生产 号杯各百箱 则有如下数学模型 返回 Mathematicalmodeling 例3 设整数规划问题如下 完全枚举法 Mathematicalmodeling 现求整数解 最优解 如用 舍入取整法 可得到4个点即 1 3 2 3 1 4 2 4 显然 它们都不可能是整数规划的最优解 故按整数规划约束条件 其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点 故整数规划问题的可行解集是一个有限集 如图所示 求得 2 2 3 1 点为最大值 在求解整数规划问题时 可将集合内的整数点一一找出 其最大目标函数的值为最优解 此法为完全枚举法 返回 Mathematicalmodeling 对有约束条件的最优化问题 其可行解为有限数 的所有可行解空间恰当地进行系统搜索 这就是分枝与定界内容 通常 把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集 称为分枝 并且对每个子集内的解集计算一个目标下界 对于最小值问题 这称为定界 在每次分枝后 凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝 这样 许多子集可不予考虑 这称剪枝 这就是分枝定界法的主要思路 分支定界法 Mathematicalmodeling 例4用分支定界法求以下整数规划 Mathematicalmodeling Mathematicalmodeling 开始 V0X1 2 25 X2 3 75 Z0 41 25 X2 3 X2 4 V1X1 3 X2 3 Z2 39 V2X1 1 8 X2 4 Z1 41 X1 2 X1 1 V3X1 1 X2 4 44 Z4 40 56 V6X1 0 X2 5 Z6 40 V5X1 1 X2 4 Z5 37 V4不可行 X2 4 X2 5 Mathematicalmodeling 0 1整数规划 1 什么是0 1整数规划 2 什么时候采用0 1整数规划法 0 1整数规划是一种特殊形式的整数规划 这时的决策变量xi只取两个值0或1 一般的解法为隐枚举法 正如计算机只懂得0 1两个数 1代表是 0代表否 同样的 在0 1整数规划中的0和1并不是真真意义上的数 而是一个衡量事件是否发生的标准 一般来说 我们在从多个事物中选出其中一部分 在一定的条件下求解最优情况时可以采用0 1整数规划法 Mathematicalmodeling 例5一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 装背包时 他发现除了已装的必需物件外 他还能再装5公斤重的东西 他打算从下列4种东西中选取 使增加的重量不超过5公斤又能使使用价值最大 这4种东西的重量和使用价值 这里用打分数的办法表示价值 如下表所示 问旅行者应该选取哪些物件为好 Mathematicalmodeling 解 建立模型为 Mathematicalmodeling Mathematicalmodeling 由上表可知 问题的最优解为X x1 1x2 0 x3 1 但此法太繁琐 工作量相当大 而隐枚举法就是在此基础上 通过加入一定的条件 就能较快的求得最优解 找到x1 0 x2 0 x3 1是一个可行解 为尽快找到最优解 可将3x1 2x2 5x3 5作为一个约束 凡是目标函数值小于5的组合不必讨论 如下表 Mathematicalmodeling 例6求解下列0 1规划问题 Mathematicalmodeling 解 对于0 1规划问题 由于每个变量只取0 1两个值 一般会用穷举法来解 即将所有的0 1组合找出 使目标函数达到极值要求就可求得最优解 Mathematicalmodeling 例7 指派问题 有5个工人 要分派他们分别完成5项工作 每人做各项工作所消耗的时间如下表 问应如何安排工作 可使总的