第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题

第 1 页 共 13 页 第第 2 2 讲讲 相交线与平行线动点提高题相交线与平行线动点提高题 知识点 1 平行线的判定 平行线的判定 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线 平行 2 推论 在同一平面内 如果两条直线都垂直于同一条直线 那么这两条直线平行 3 平行线的性质 平行线的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角 互补 4 平移 平移前后的两个图形形状大小不变 位置改变 对应点的线段平行且相等 平移 平移 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 图形的这种移动叫做平移 平移变换 简称平移 对应点 对应点 平移后得到的新图形中每一点 都是由原图形中的某一点移动后得到的 这样 的两个点叫做对应点 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型 所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 射线或弧线上运动 的一类开放性题目 解决这类问题的关键是动中求静 灵活运用有关数学知识解决问题 关键 动中求静 在变化中找到不变的性质是解决数学 动点 探究题的基本思路 这也是动 态几何数学问题中最核心的数学本质 典型例题典型例题 例例 1 1 1 如图 1 EF GF 垂足为 F AEF 150 DGF 60 试判断 AB 和 CD 的 位置关系 并说明理由 2 如图 2 AB DE ABC 70 CDE 147 C 直接给出答案 3 如图 3 CD BE 则 2 3 1 直接给出答案 4 如图 4 AB CD ABE DCF 求证 BE CF 解 1 AB CD 理由 如答图 过点 F 作 FH AB 则 AEF EFH 180 AEF 150 EFH 30 又 EF GF HFG 90 30 60 又 DGF 60 HFG DGF HF CD 第 2 页 共 13 页 则 AB CD 2 延长 ED 交 BC 于点 F AB DE BFE ABC 70 则 CFE 180 BFD 110 C CDE CFE 147 110 37 故答案是 37 3 延长 DC 交 AB 于点 F 作 ACF 的外角 4 CD BE DFB 3 又 DFB 2 4 360 2 3 4 360 即 2 3 360 4 2 3 1 360 4 1 360 180 180 故答案是 180 4 延长 BE 交直线 CD 于点 G AB CD ABE BGD 又 ABE DCF BGF DCF BE CF 例例 2 2 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 1 如图 1若 AB CD点 P 在 AB CD 外部求证 BPD B D 2 将点 P 移到 AB CD 内部如图 2 1 中的结论是否成立若成立说明理由 若 不成立则 BPD B D 之间有何数量关系不必说明理由 3 在图 2 中将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q如图 3则 BPD B D BQD 之间有何数量关系并证明你的结论 4 在图 4 中若 A B C D E F G n 90 则 n 解 1 AB CD B BOD 而 BOD BPD D B BPD D 即 BPD B D 2 1 中的结论不成立 BPD B D 作 PQ AB 如图 2 AB CD AB PQ CD 第 3 页 共 13 页 1 B 2 D BPD B D 3 BPD B D BQD 理由如下 连结 QP 并延长到 E 如图 3 1 B BQP 2 D DQP 1 2 B BQP D DQP BPD B D BQD 4 连结 AG 如图 4 B F BGA FAG A B C D E F G A FAG C D E BAG G 5 2 180 6 90 n 6 故答案为 6 例例 3 3 如图 直线AC BD 连结AB 直线AC BD及线段AB把平面分成 四 个部分 规定 线上各点不属于任何部分 当动点P落在某个部分时 连结PA PB 构成 PAC APB PBD三个角 提示 有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是0 1 1 当动点 P 落在第 部分时 求证 APB PAC PBD 2 2 当动点 P 落在第 部分时 APB PAC PBD 是否成立 直接回答成立或不成立 3 3 当动点 P 落在第 部分时 全面探究 PAC APB PBD 之间的关系 并写出动点 P 的具体位置和相应的结论 选择其中一种结论加以证明 1 解法一 如图9 1 延长BP交直线AC于点E AC BD PEA PBD APB PAE PEA APB PAC PBD 解法二 如图9 2 过点P作FP AC PAC APF AC BD FP BD FPB PBD APB APF FPB PAC PBD 解法三 如图9 3 AC BD CAB ABD 180 即 PAC PAB PBA PBD 180 又 APB PBA PAB 180 APB PAC PBD 2 不成立 3 a 当动点P在射线BA的右侧时 结论是 PBD PAC APB b 当动点P在射线BA上 结论是 PBD PAC APB 或 PAC PBD APB 或 APB 0 PAC PBD 任写一个即可 c 当动点P在射线BA的左侧时 A B A B A B P 第 5 题图 C D C D C D 第 4 页 共 13 页 结论是 PAC APB PBD 选择 a 证明 如图9 4 连接PA 连接PB交AC于M AC BD PMC PBD 又 PMC PAM APM PBD PAC APB 选择 b 证明 如图9 5 点P在射线BA上 APB 0 AC BD PBD PAC PBD PAC APB 或 PAC PBD APB 或 APB 0 PAC PBD 选择 c 证明 如图9 6 连接PA 连接PB交AC于F AC BD PFA PBD PAC APF PFA 考点训练考点训练 一 选择题一 选择题 1 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置 下列结论 1 1 2 2 3 4 3 2 4 90 4 4 5 180 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 分析 根据两直线平行同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 及直角三角板的特殊 性解答 解 纸条的两边平行 1 1 2 同位角 2 3 4 内错角 4 4 5 180 同旁内角 均正确 又 直角三角板与纸条下线相交的角为 90 3 2 4 90 正确 故选 D 2 如图 A0B 的两边 OA OB 均为平面反光镜 A0B 40 在射线 OB 上有一点 P 从 P 点射出一束光线经 OA 上的 Q 点反射后 反射光线 QR 恰好与 OB 平行 则 QPB 的度数是 A 60 B 80 C 100 D 120 分析 根据两直线平行 同位角相等 同旁内角互补以及平角的定义可计算即可 解 QR OB AQR AOB 40 PQR QPB 180 AQR PQO AQR PQO RQP 180 平角定义 PQR 180 2 AQR 100 QPB 180 100 80 故选 B 第 5 页 共 13 页 3 如图 直线 l1 l2 A 125 B 85 则 1 2 A 30 B 35 C 36 D 40 分析 过点 A 作 l1的平行线 过点 B 作 l2的平行线 根据两直线平行 内错角相等可得 3 1 4 2 再根据两直线平行 同旁内角互补求出 CAB ABD 180 然后计算 即可得解 解 如图 过点 A 作 l1的平行线 过点 B 作 l2的平行线 3 1 4 2 l1 l2 AC BD CAB ABD 180 3 4 125 85 180 30 1 2 30 故选 A 4 如图 把矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠 若 1 20 则 2 A 80 B 70 C 40 D 20 分析 过 G 点作 GH AD 则 2 4 根据折叠的性质 3 4 B 90 又 AD BC 则 HG BC 根据平行线性质得 1 3 20 所以 2 4 90 20 70 解 过 G 点作 GH AD 如图 2 4 矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠 3 4 B 90 AD BC HG BC 1 3 20 4 90 20 70 2 70 故选 B 5 如图 已知 DE 由线段 AB 平移得到的 且 AB DC 4cm EC 3cm 则 DCE 的周长 是 A 9cmB 10cmC 11cmD 12cm 6 如图 将 ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到 DEF 若 ABC 的周长为 16cm 则四边形 ABFD 的周长为 第 6 页 共 13 页 A 16cmB 18cmC 20cmD 22cm 二 填空题二 填空题 1 如图 计划把河水引到水池 A 中 先作 AB CD 垂足为 B 然后沿 AB 开渠 能使所开的 渠道最短 这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中 垂线段最短 分析 过直线外一点作直线的垂线 这一点与垂足之间的线段就是垂线段 且垂线段最 短 解 根据垂线段定理 连接直线外一点与直线上所有点的连线中 垂线段最短 沿 AB 开渠 能使所开的渠道最短 故答案为 连接直线外一点与直线上所有点的连线中 垂线段最短 2 用等腰直角三角板画 AOB 45 并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕 点 M 逆时针方向旋转 22 则三角板的斜边与射线 OA 的夹角 为 22 度 分析 由平移的性质知 AO SM 再由平行线的性质可得 WMS OWM 即可得答案 解 由平移的性质知 AO SM 故 WMS OWM 22 故答案为 22 3 如图 直线 AE BD 点 C 在 BD 上 若 AE 4 BD 8 ABD 的面积为 16 则 ACE 的面 积为 8 分析 根据两平行线间的距离相等 可知两个三角形的高相等 所以根据 ABD 的面积 可求出高 然后求 ACE 的面积即可 解 在 ABD 中 当 BD 为底时 设高为 h 在 AEC 中 当 AE 为底时 设高为 h AE BD h h 第 7 页 共 13 页 ABD 的面积为 16 BD 8 h 4 则 ACE 的面积 4 4 8 三 解答题三 解答题 1 如图 已知 l1 l2 C1在 l1上 并且 C1A l2 A 为垂足 C2 C3是 l1上任意两点 点 B 在 l2上 设 ABC1的面积为 S1 ABC2的面积为 S2 ABC3的面积为 S3 小颖认为 S1 S2 S3 请帮小颖说明理由 分析 根据两平行线间的距离相等 即可解答 解 直线 l1 l2 ABC1 ABC2 ABC3的底边 AB 上的高相等 ABC1 ABC2 ABC3这 3 个三角形同底 等高 ABC1 ABC2 ABC3这些三角形的面积相等 即 S1 S2 S3 2 如图 已知 AB CD BE 平分 ABC DE 平分 ADC BAD 80 试求 1 EDC 的度数 2 若 BCD n 试求 BED 的度数 分析 1 由 AB 与 CD 平行 利用两直线平行内错角相等得到一对角相等 再由 DE 为角 平分线 即可确定出 EDC 的度数 2 过 E 作 EF AB 则 EF AB CD 利用两直线平行 内错角相等以及角平分线的定义 求得 BEF 的度数 根据平行线的性质求得 FED 的度数 则 BED 即可求解 解 1 AB CD ADC BAD 80 又 DE 平分 ADC EDC ADC 40 2 过 E 作 EF AB 则 EF AB CD AB CD ABC BCD n 又 BE 平分 ABC ABE n EF AB BEF ABE n EF CD FED EDC 40 BED n 40 第 8 页 共 13 页 3 ABC 在如图所示的平面直角中 将其平移后得 A B C 若 B 的对应点 B 的坐标 是 4 1 1 在图中画出 A B C 2 此次平移可看作将 ABC 向 左 平移了 2 个单位长度 再向 下 平移了 1 个单位长度得 A B C 3 A B C 的面积为 10 分析 1 根据 B 的对应点 B 的坐标是 4 1 的规律求出对应点的坐标 顺次连 接即可 2 通过作图可直接得到答案是 向左平移 2 个单位长度 向下平移 1 个单位长度 3 平移后的面积与原面积相同 可用补全法求面积 解 1 如图 2 向左平移 2 个单位长度 向下平移 1 个单位长度 平移的顺序可颠倒 3 把 ABC 补成矩形再把周边的三角形面积减去 即可求得 A B C 的面积 ABC 的面积为 24 4 4 6 10 作平移图形时 找关键点的对应点也是关键的一步 平移作图的一般步骤为 确定平移 的方向和距离 先确定一组对应点 确定图形中的关键点 利用第一组对应点和平移 的性质确定图中所有关键点的对应点 按原图形顺序依次连接对应点 所得到的图形即 为平移后的图形 4 实验证明 平面镜反射光线的规律是 射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜 所夹的锐角相等 1 如图 一束光线 m 射到平面镜 a 上 被 a 反射到平面镜 b 上 又被 b 反射 若被 b 反 射出的光线 n 与光线 m 平行 且 1 38 则 2 76 3 90 2 在 1 中 若 1 55 则 3 90 若 1 40 则 3 90 3 由 1 2 请你猜想 当两平面镜 a b 的夹角 3 90 时 可以使任何射到 平面镜 a 上的光线 m 经过平面镜 a b 的两次反射后 入射光线 m 与反射光线 n 平行 你 能说明理由吗 分析 1 根据入射角与反射角相等 可得 1 5 7 6 根据邻补角的定义可得 4 104 根据 m n 所以 2 76 5 38 根据三角形内角和为 180 即可求出 答案 第 9 页 共 13 页 2 结合题 1 可得 3 的度数都是 90 3 证明 m n 由 3 90 证得 2 与 4 互补即可 解 1 入射角与反射角相等 即 1 5 7 6 又 1 38 5 38 4 180 1 5 104 m n 2 180 4 76 6 180 76 2 52 3 180 6 5 90 2 由 1 可得当 1 55 和 1 40 时 3 的度数都是 90 3 3 90 6 5 90 又由题意知 1 5 7 6 2 4 180 7 6 180 1 5 360 2 5 2 6 360 2 5 6 180 由同旁内角互补 两直线平行 可知 m n 故答案为 76 90 90 90 90 5 如图 已知直线 l1 l2 l3 l4和 l1 l2分别交于点 A B C D 点 P 在直线 l3或 l4 上且不与点 A B C D 重合 记 AEP 1 PFB 2 EPF 3 1 若点 P 在图 1 位置时 求证 3 1 2 2 若点 P 在图 2 位置时 请直接写出 1 2 3 之间的关系 3 若点 P 在图 3 位置时 写出 1 2 3 之间的关系并给予证明 分析 此题三个小题的解题思路是一致的 过 P 作直线 l1 l2的平行线 利用平行线的 性质得到和 1 2 相等的角 然后结合这些等角和 3 的位置关系 来得出 1 2 3 的数量关系 证明 1 过 P 作 PQ l1 l2 由两直线平行 内错角相等 可得 1 QPE 2 QPF 3 QPE QPF 3 1 2 2 关系 3 2 1 过 P 作直线 PQ l1 l2 则 1 QPE 2 QPF 3 QPF QPE 3 2 1 3 关系 3 360 1 2 过 P 作 PQ l1 l2 同 1 可证得 3 CEP DFP 第 10 页 共 13 页 CEP 1 180 DFP 2 180 CEP DFP 1 2 360 即 3 360 1 2 6 如图 直线 CB OA C OAB 100 E F 在 CB 上 且满足 FOB AOB OE 平分 COF 1 求 EOB 的度数 2 若平行移动 AB 那么 OBC OFC 的值是否随之发生变化 若变化 找出变化规律 或求出变化范围 若不变 求出这个比值 3 在平行移动 AB 的过程中 是否存在某种情况 使 OEC OBA 若存在 求出其度数 若不存在 说明理由 分析 1 根据两直线平行 同旁内角互补求出 AOC 然后求出 EOB AOC 计算 即可得解 2 根据两直线平行 内错角相等可得 AOB OBC 再根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和可得 OFC 2 OBC 从而得解 3 根据三角形的内角和定理求出 COE AOB 从而得到 OB OE OF 是 AOC 的四等分 线 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解 解 1 CB OA AOC 180 C 180 100 80 OE 平分 COF COE EOF FOB AOB EOB EOF FOB AOC 80 40 2 CB OA AOB OBC FOB AOB FOB OBC OFC FOB OBC 2 OBC OBC OFC 1 2 是定值 3 在 COE 和 AOB 中 OEC OBA C OAB COE AOB OB OE OF 是 AOC 的四等分线 COE AOC 80 20 第 11 页 共 13 页 OEC 180 C COE 180 100 20 60 故存在某种情况 使 OEC OBA 此时 OEC OBA 60 7 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 1 如图 1 若 AB CD 点 P 在 AB CD 内部 B 50 D 30 求 BPD 2 如图 2 将点 P 移到 AB CD 外部 则 BPD B D 之间有何数量关系 请证明你 的结论 2 如图 3 写出 BPD B D BQD 之间的数量关系 不需证明 3 如图 4 求出 A B C D E F 的度数 解解 1 过点 P 作 PE AB AB CD AB EP CD B 1 50 D 2 30 BPD 80 2 B BPD D 理由如下 设 BP 与 CD 相交于点 O AB CD BOD B 在 POD 中 BOD BPD D B BPD D 3 如图 连接 QP 并延长 结论 BPD BQD B D 4 如图 由三角形的外角性质 A E 1 B F 2 1 2 C D 360 A B C D E F 360 第 12 页 共 13 页 8 如图 1 直线 MN 与直线 AB CD 分别交于点 E F 1 与 2 互补 1 试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系