第3章-机械振动与机械波

第第 3 章章 机械振机械振动动与机械波与机械波 3 1 判断下列运动是否为简谐振动 1 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动 2 活塞的往复运动 3 质点的运动方程为sin 3 cos 6 xatbt 4 质点的运动方程为cos 3 cos 2 xatbt 5 质点摆动角度的微分方程为 2 2 21050 d dt 答 1 是简谐振动 类似于单摆运动 2 不是简谐振动 3 是简谐振动 为同频率 同振动方向的两个简谐振动的合成 4 不是简谐振动 为不同频率 同振动方向的两个简谐振动的合成 5 不是简谐振动 3 2 物体沿x轴作简谐振动 振幅A 0 12 周期T 2 当时 物体的位移ms0 t x 0 06 且向x轴正方向运动 m 求 1 此简谐振动的表达式 2 时物体的位置 速度和加速度 4 T t 3 物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间 06 0 xmx 解 1 设此简谐振动的表达式为 0 cos xAt 则振动速度 0 sin dx At dt 振动加速度 2 2 0 2 cos d x aAt dt 由题意可知 m s 则 rad s 0 12A 2T 2 2 T 又因为时m 且 把初始运动状态代入有 0t 0 06x 0 则 0 0 060 12cos 0 3 又因为时 所以时0t 0 sin0A 0 3 故此简谐振动的表达式为 m0 12cos 3 xt 2 把代入简谐振动表达式 4 T t m 1 0 12cos 0 06 30 104 23 x 把代入简谐振动速度表达式 4 T t m s 1 0 12sin 0 060 18 23 把代入简谐振动加速度表达式 4 T t m s2 22 1 0 12cos 0 06 31 03 23 a 3 由旋转矢量法可知 物体在向轴负方向运动时 相位为 06 0 xmx 1 2 3 而物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置时 相位为 06 0 xmx 2 3 2 旋转的角度 21 325 236 则所需的时间为 0 83 s 5 6 t 3 3 如图示 质量为的子弹以速度水g10 3 10 vs m 平射入木块 并陷入木块中 使弹簧压缩而作简谐振动 设 弹簧的劲度系数 木块的质量为 3 108 k 1 mN kg99 4 桌面摩擦不计 试求 1 振动的振幅 2 振动方程 解 1 子弹进入木块后 与木块一起做简谐振动 子弹与木块的作用时间短 在水 平方向动量守恒且弹簧没有形变 设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点 水平向右的 方向为正方向 子弹进入木块后与木块的共同速度为 则 0 0 mMm 代入数据得 m s 0 m Mm 0 2 子弹与木块相互作用时 弹簧没有形变 即该简谐振动的初始位置 弹簧简谐振动 0 0 x 的圆频率 代入数据得 rad s k Mm 40 所以代入数据得 m 2 2 0 0 Ax 0 05A 2 由时 且向 X 轴的正方向运动 所以 0t 0 0 x 0 2 所以振动方程为 m0 05cos 40 2 xt k2 v 习题 3 3 图 3 4 一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂 如图所示 各弹簧的劲度系数 标明在图上 试求图示两种情况下 系统沿竖直方向振动的固有频率 解 a 图中两弹簧是串联的 总劲度系数 弹簧振子的固有频 12 12 k k k kk 率为 12 12 k k gk mkkp b 图中两弹簧是并联的 总劲度系数 弹簧振子的固有频率为2Kk 2Kkg mp 3 5 一匀质细圆环质量为 半径为 绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在mR 铅垂面内作小幅度摆动 求摆动的周期 解 设转动轴与细圆环的交点为坐标原点 过原点的竖直轴为 Y 轴 由转动轴 定理可知 该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在 Y 轴时 由平行轴定理 可知 圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为 2222 2 c JJmdmRmRmR 把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动 则圆环对转轴的重力矩为 方向为增大的反方向 由转动轴定理 sinMmgR MJ 即 2 2 d sin0 d JmgR t 由于环做小幅度摆动 所以 sin 可得微分方程 2 2 d 0 d mgR tJ 摆动的圆频率为 mgR J 周期为 22 22 JR T mgRg 3 6 横截面均匀的光滑的 U 型管中有适量液体如图所示 液体的总长度为 L 求液 面上下微小起伏的自由振动的圆频率 解 如图所示建立坐标 两边液面登高时为坐标原点 向上为 Y 轴正方向 左边液面 C R mg O 上升 y 则右边液面下降 y U 型管的横截面面积为 液体的密度为 则S 左右液面的压力差为 方向为 Y 轴的负方向 由牛顿第二定2FgyS 律 可知 Fma 即 2 2 2 d y gySSL dt 2 2 2 0 d yg y dtL 故液面上下微小起伏的运动为简谐振动 其振动的圆频率 2g L 3 7 如图一细杆 AB 一端在水平槽中自由滑动 另一端与连接圆盘上 圆盘转轴通过 o 点且垂直圆盘和 OX 轴 当圆盘以角速度做匀速圆周运动时 写出槽中棒端点 B 的振动 方程 自行设计参数 利用 mathematica 软件或 matlab 软件画出振动图线 解 在 AOB 中 AB 长度不变 设为 l 圆半径 OA 不变设为 R OA 与 OB 的夹角设为 则 B 点的坐标 x 满足关系式 t 222 2coslRxxRt 2222 coscosxRtlRRt 上式表明 x 是时间 t 的周期函数 但不是谐振动函数 取 画图如下 2 1 10lR 3 8 质量为kg 的小球与轻弹簧组成的系统 按的规律 3 1010 1 0 x 3 2 8cos t 作振动 式中 以秒计 以米计 求 t s x m 1 振动的圆频率 周期 振幅 初位相 2 振动的速度 加速度的最大值 3 最大回复力 振动能量 平均动能和平均势能 画出这振动的旋转矢量图 并在图中指明 2 10 等各时刻的矢量位置 1 ts 解 1 由振动的运动学方程可知 振幅m 圆频率rad s 周期0 1A 8 s 初相位 22 0 25 8 T 0 2 3 2 振动的速度 振动速度的最大值为 2 0 8 sin 8 3 dx t dt m s max 2 51 振动的加速度 振动加速度的最大值为 2 2 2 2 6 4cos 8 3 d x at dt m s2 max 63 1a 3 最大回复力 N maxmax 0 63Fma 振动能量 J 2222 11 3 16 10 22 EkAmA 平均动能和平均势能 J 2 1 1 58 10 2 pk EEE 3 9 质量为的物体 在弹性力作用下作简谐振动 劲度系数 kg25 0 k 1 mN25 如果开始振动时具有势能和动能 求 J6 0J2 0 1 振幅多大 经过平衡位置的速度 2 位移为多大时 动能恰等于势能 解 1 简谐振动能量守恒 其总能等于任意时刻的动能与势能之和 即 所以振幅 m 2 1 0 8 2 kp EEEkA 0 253A 在平衡位置时 弹簧为原长 假设弹簧座水平方向谐振动 此时只有动能 即 J 所以速度 m s 2 1 0 8 2 k EEm 2 53 2 要使 J 即 J 则位移 m 1 0 4 2 kp EEE 2 1 0 4 2 p Ekx 0 179x 3 10 两个质点平行于同一直线并排作同频率 同振幅简谐振动 在振动过程中 每 当它们经过振幅一半的地方时相遇 而运动方向相反 求它们的位相差 并作旋转矢量图 表示之 解 设它们的振动方程为 0 cos xAt 当时 可得位相为 2 A x 3 由于它们在相遇时反相 可取 1 3 2 3 它们的相差为 21 2 3 同理当时 可得位相为 它们的相差为 2 A x 2 3 4 3 矢量图如图所示 3 11 已知两个同方向简谐振动如下 1 3 0 05cos 10 5 xt 2 1 0 06cos 10 5 xt 1 求它们合成振动的振幅和初位相 2 另有一同方向简谐振动 问为何值时 的振幅 3 0 07cos 10 xt 31 xx 为最大 为何值时 的振幅为最小 为何值时 的振幅 32 xx 123 xxx 最小 解 1 由同频率 同方向的简谐振动合成可知 其中m 1 22 212 2cosAAAA A 110220 0 110220 sinsin tan coscos AA AA 1 0 05A m 所以它们的合振动振幅为 2 0 06A 10 3 5 20 5 2 5 m 2 8 92 10A 它们合振动的初相位 0 0 68 13 2 由同频率 同方向的简谐振动合成可知 同相位振动 其合成振幅最大 反相位振动 其合成振幅最小 所以要使的振幅为最大 则 要使的 31 xx cos1 3 5 32 xx 振幅为最小 则时 要使的振幅最小 则cos1 6 5 123 xxx cos1 0 111 47 3 12 三个同方向 同频率的简谐振动为 6 314cos 08 0 1 tx 2 314cos 08 0 2 tx 6 5 314cos 08 0 3 tx O x A 求 1 合振动的圆频率 振幅 初相及振动表达式 2 合振动由初始位置运动 到所需最短时间 为合振动振幅 Ax 2 2 A 解 1 合振动的圆频率为 rad s 314100 m 根据公式得 123 0 08AAA 112233 coscoscos0 x AAAA m 112233 sinsinsin0 16 y AAAA 合振幅为 0 16 m 22 xy AAA 初位相为 arctan 2 yx AA 合振动的方程为 0 16cos 100 2 xt 2 当时 可得 2 2xA cos 100 2 2 2t 解得或100 2 4t 7 4 由于 所以只能取第二个解 可得所需最短时间为 t 0 0125 s 0t 3 13 将频率为的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成 测得拍频为 Hz384Hz0 3 在待测音叉的一端加上一小块物体 则拍频将减小 求待测音叉的固有频率 解 标准音叉的频率为 Hz 0 384 拍频为 Hz 3 待测音叉的固有频率可能是 Hz 10 381 也可能是 Hz 20 384 在待测音叉上加一小块物体时 相当于弹簧振子增加了质量 由于 可知其频率 k m 将减小 如果待测音叉的固有频率 加一小块物体后 其频率将更低 与标准音叉的 1 1 拍频将增加 实际上拍频是减小的 所以待测音叉的固有频率 即 387Hz 2 3 14 火车提速是社会发展的必然趋势 假如你是火车提速的决策者之一 试问 从物理 学角度 你会考虑哪些问题 答 铁轨的抗震能力 铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等 0 1 2 1 2 3 15 说明以下几组概念的区别和联系 1 振动和波动 2 振动曲线和波动曲线 3 振动速度和波动速度 解 1 振动是物体在平衡位置做往复运动 波动是振动在介质中的传播 2 振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系 用曲线表示 波动曲线xt 表示的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移 用曲线表示 yx 3 振动速度是描述物体运动的快慢 用表示 波动速度表示振动传播的的快慢 dx dt 与介质和波的类型有关 3 16 已知一波的波函数为 6 010sin 105 2 xty m 1 求波长 频率 波速及传播方向 2 说明时波函数的意义 并作图表示 0 x 解 1 与波函数的标准方程进行对比可知 0 2 cos yAtx 波长 m 2 10 5 0 6 频率 Hz 10 5 22 波速 m 52 5u 传播方向沿 X 轴的正方向 2 当时波动方程就成为该处质点的振动方程 0 x 22 5 10sin 100 5 10cos 100 2 ytt 振动曲线如图 3 17 已知波的波函数为 SI 24 cosxtAy 1 写出时各波峰位置的坐标表示式 并计算此时离原点最近的波峰的位置 s2 4 t 该波峰何时通过原点 2 画出时的波形曲线 s2 4 t 解 1 波峰位置时 则时 波峰位置的坐标为 cos 42 1tx s2 4 t 当时 为离原点最近的波峰位置 8 4 0 1 2 xk k 8k 0 4x 由波函数为可知波速为m s 则该波从坐标原点传播到 24 cosxtAy 2u 所用时间为 s 该波峰在s 时通过坐标原点 0 4x 0 4 0 2 2 t 4t t s y cm 5 0 0 1 0 2 0 3 2 该s2 4 t波动函数为 cos 16 82 yAx 3 18 一平面波在介质中以速度 m s 1沿负方向传播 已知在传播路径上的某点20 ux 的振动方程为 Aty 4cos3 1 如以点为坐标原点 写出波函数 A 2 如以距点 5 米处的点为坐标原点 写出波函数 AB 3 计算 B C 两点振动的相差 解 1 以 A 点为坐标原点 波动方程为 3cos4 3cos 4 5 xx ytt u 2 以 B 点为坐标原点 波动方程为 3cos4 3cos 4 5 A xxx ytt u 3 以 A 点为坐标原点 则m m 两点的振动方程分别为5 B x 13 C x BC 3cos4 3cos 4 B B x ytt u 13 3cos4 3cos 4 5 C C x ytt u 则 两点的振动的相差为 BC 8 5 3 19 一列简谐波沿轴正向传播 在 xs0 1 t 时刻的波形如图所示 试求 s25 0 2 t 1 点的振动表达式 P 2 波动表达式 3 画出点的振动曲线 0 A A u 0 15 5555 5555 5555 Ox m y m 解 1 设 P 点的振动方程为 0 cos p yAt 由题设可知 振幅m 波长m 0 2A 0 6 由 时刻的波形图 可知该波在s 内 波向右传播了s0 1 ts25 0 2 t0 25t 则可知该波的周期s 波速m s 波的圆频率rad s 4 1T 0 6u 2 当时 即 0t 0 p y 0 0cosA 由于波沿 x 轴正向传播 所以 P 点在此时向上运动 速度大于零 所以 0 2 P 点的振动表达式为 0 2cos 2 2 p yt 2 P 点的位置是m 所以波动方程为 0 3 p x 0 2cos 2 2 P xx yt u 10 0 2cos 2 32 tx 3 在 x 0 处的振动方程为 0 0 2cos 2 2 yt 曲线如图所示 3 20 一平面简谐波沿 X 轴正向传播 其振幅 圆频率分别为 A 和 波速为 U 设 t 0 时的波形曲线如图所示 1 写出波函数 求距 0 点分别为 8 和 3 8 两处质点在 t 0 时的振动速度 解 1 设该波的波函数为 0 cos x yAt u 由时刻的波形图可知 且向下振动 故 0t 0 0y 0 2 所以波函数为 cos 2 x yAt u 2 振动速度 sin 2 yx At tu 把 和 分别代入振动速度表达式 则有 0t 8 x 0t 3 8 x 0 8 2 sin 42 tx AA 0 3 8 2 sin 42 tx AA 3 21 一平面简谐波沿 X 轴正向传播 其振幅 A 10cm 波的圆频率 7 rad s 1 当 t s y m 0 2 O0 51 t 1 0s 时 x 10cm 处的 a 质点正通过其平衡位置向 Y 轴负方向运动 而 x 20cm 处的 B 质 点正通过 Y 5 0cm 点向 Y 轴正方向运动 设该波的波长 10cm 求该平面波的表达式 解 由题意和旋转矢量法可知在s 时 质点的相位为 质点相位为1 0t A 2 A B 两质点为相差为 3 B AB 5 6 所以该波的波长 即cm 2 x 24 设该平面波的的表达式为 0 2 cos x yAt 因为s 时 质点的相位为 所以 1 0t A 2 A 0 17 3 所以该平面波的的表达式为 17 0 1cos 7 0 123 x yt 3 22 一简谐波沿正向传播 波长 周期 已知处质点的振动xm4 s4 T0 x 曲线如图所示 1 写出处质点的振动方程 0 x 2 写出波的表达式 3 画出时刻的波形曲线 s1 t 解 1 设处的质点的振动方程为 0 x 其中 00 cos yAt 1mA 2 2T 由振动曲线图可知 当时 因此 0t 0 0 5y 0 1 cos 2 且时 处质点向下振动 即 所以0t 0 x 0 sin0 0 3 所以处的质点的振动方程为 0 x 0 cos 23 yt 2 波的表达式为 cos 2 tx yA T cos 23 tx 3 时刻的波形方程为 s1 t 5 cos 26 yx 波形曲线如图所示 3 23 比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征 若简谐波传播时某体积元的的动能 为 0 2J 则势能多少 总能量多少 答 简谐振动的能量守恒 即振动的动能与势能的代数和不变 而简谐波传播时某体积元 x m y m 1 O 1 0 5 u 2 3 的动能与势能总是相等 固当某质元的动能为时 其势能也为 其总能为动0 2J0 2J 能与势能的代数和 即 0 4J 3 24 一平面简谐声波在空气中传播 波速 频率为 到达人耳m s340 uHz500 时 振幅 试求人耳接收到声波的声强的大小 此时声强相当于多少分贝 cm10 4 A 已知空气密度 3 kg m29 1 解 质点的圆频率为 rad s 3 23 142 10 声波的平均能量密度为 J m3 226 1 6 37 10 2 wA 平均能流密度为 W m2 3 2 16 10Iwu 标准声强为 W m2 12 0 1 10I 此声强的分贝数为 dB 0 10lg93 4 I L I 3 25 与为两相干波源 光强均为 I0 相距波长 比的位相超前 问 1 S 2 S 4 1 1 S 2 S 2 1 S 连线上在外侧各点的合成波的光强如何 又在外侧各点的光强如何 2 S 1 S 2 S 解 合成波的光强正比于振幅的平方 即 2 IA 如图所示 设 S1在其左侧产生的波的波动方程为 1 cos 2 tx yA T 那么 S2在 S1左侧产生的波的波动方程为 2 4 cos 2 2 tx yA T cos 2 tx A T 由于两波源在任意点 x 产生振动反相 所以合振幅为零 所以合成波的光强为 0 S1在 S2右侧产生的波的波动方程为 1 cos 2 tx yA T 那么 S2在其右侧产生的波的波动方程为 2 4 cos 2 2 tx yA T cos 2 tx A T 由于两波源在任意点 x 产生振动同相 所以合振幅为单一振动的两倍 所以合成波的光强为 0 4I x S1 x S2 4x 3 26 简述驻波的形成条件和特点 提示 突出驻的含义 查找资料 探索驻波在本专业 的应用有哪些 答 在同一介质中两列振幅相同的相干波 沿同一直线相向传播时 产生特殊的干涉现象 叠加形成的波叫驻波 驻波没有波形和能量的传播 其实质为各质元做振幅不等的简谐振 动 振幅最大的质元位置为波腹 振幅最小的质元位置为波节 波腹只有动能 波节只有 势能 能量只在相邻波节与波腹间相互转化 3 27 一条琴弦上产生驻波 相邻节点间的距离为 65cm 弦的振动频率为 2 2 3 10 Hz 求波的传播速度和波长 解 相邻波节之间的距离为 所以波长 cm 2 2 65130 波速 m s 299u 3 28 两波在一很长的弦线上传播 设其表达式为 1 5 0cos 0 0416 4 yxt 2 5 0cos 0 0416 4 yxt 用厘米 克 秒 cm g s 制单位 求 1 各波的频率 波长 波速 2 节点的位置 3 在哪些位置上 振幅最大 解 1 对比波函数的标准形式 可知 0 2 cos x yAt 波的频率 Hz 波长 cm 波速 cm s 2 0 2 200 400u 2 驻波方程为 12 10cos0 01cos4yyyxt 波节位置为 则 cm 其中cos0 010 x 50 21 xk 0 1 2k 3 振幅最大