第一章特殊的平行四边形

1 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 菱形的性质与判定 第菱形的性质与判定 第 1 1 课时 课时 教材分析 教材分析 菱形的性质与判定 是继八年级下册 第三章图形的平移与旋转 和 第六章平行四边形 之后的一个学习内容 本课的具体学习任务 掌握菱形的定义 探索并掌握菱形是轴对称图 形 探索并证明菱形 四条边相等 对角线互相垂直 等性质 并能应用 这些性质计算线段的长度 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 经历从现实生活中抽象出图形的过程 了解菱形的概念 及其与平行四边形的关系 2 数学思考目标 通过探索 让学生经历 探索 发现 猜测 证明 的过程 体会合情推理与演绎推理的作用 进一步体会归纳 类比 转化的思想方法 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 教学重点 教学重点 掌握菱形的性质 教学难点 教学难点 运用菱形的性质解决与菱形有关的问题 教学方法教学方法 1 教法 2 学法 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 个性化设计 2 1 提问 什么是平行四边形 学生回顾交流 2 教师出示生活中菱形的例子 引出这类特殊的平行四边形 菱形 并得出菱形的概念 问 彩图中的平行四边形与相比较 有不同点吗 归纳 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 目的 通过这个环节 培养了学生的观察和对比分析能力 上课时 让学生观察图形 从直观上把握菱形的特点 从而给出菱形的定义 让学生明确菱形不但是平行四边形 而且有其特点 一组邻边相等 同时 要让学生体会数学来源于生活 让学生去发现生活中因为 有了数学而变得更精彩 从而提高学生学习数学的兴趣 二二 新课学习新课学习 1 想一想 教师 菱形是特殊的平行四边形 它具有一般平行四边形的 所有性质 你能列举一些这样的性质吗 学生 菱形的对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 教师 同学们 你认为菱形还具有哪些特殊的性质 请你与 同伴交流 学生活动 分小组讨论菱形的性质 组长组织组员讨论 让 尽可能多的组员发言 并汇总结果 三三 探究探究 2 做一做 教师 请同学们用菱形纸片折一折 回答下列问题 1 菱形是轴对称图形吗 如果是 它有几条对称轴 对称 轴之间有什么位置关系 3 2 菱形中有哪些相等的线段 学生活动 分小组折纸探索教师的问题答案 组长组织 并汇 总结果 师生结论 菱形是周对称图形 有两条对称轴 是菱形对角 线所在的直线 两条对角线互相垂直 菱形的四条边相等 3 证明菱形性质 教师 通过折纸活动 同学们已经对菱形的性质有了初步的理 解 下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明 教师活动 展示题目 已知 如图 1 1 在菱形 ABCD 中 AB AD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 求证 1 AB BC CD AD 2 AC BD 分析 菱形不仅对边相等 而且邻边相等 这样就可以证明菱形的四条边都相等了 因为菱形是平行四边形 所以点 O 是对角线 AC 与 BD 中点 又因 为在菱形中可以得到等腰三角形 这样就可以利用 三线合一 来 证明结论了 学生活动 写出证明过程 进行组内交流对比 优化证明方法 掌握相关定理 证明 1 四边形 ABCD 是菱形 AB CD AD BC 菱形的对边相等 又 AB AD AB BC CD AD 2 AB AD ABD 是等腰三角形 又 四边形 ABCD 是菱形 OB OD 菱形的对角线互相平分 在等腰三角形 ABD 中 OB OD AO BD 即 AC BD 目的 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质 教师在参与学生 的活动过程中 应该关注学生的口述论证过程 并根据学生的认知 水平加以引导 尽量减少学生推理论证过程中的困难 O D AC B 图 1 1 4 四 课堂小结四 课堂小结 本节课我们探讨了菱形的定义 性质 我们来共同总结一下 1 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 C DCD D A B C A B A B 2 菱形的性质 菱形是轴对称图形 对称轴是两条对角线 所在的直线 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直平 分 3 菱形具有平行四边形的所有 应用菱形的性质可以进行计 算和推理 目的 教师鼓励学生交流课堂实践的经历 感受和收获 培养学生 的归纳能力 使学生形成完整的知识结构 培养学生的自我评价能 力 反思意识及总结能力 五 作业五 作业 六六 教学反思 教学反思 5 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 菱形的性质与判定 第菱形的性质与判定 第 2 2 课时 课时 教材分析 教材分析 本节课 学生将探究菱形的判定定理 应该说 有了上节课的铺垫 本节 课可以更多地让学生自主探索 第一个定理的证明中 需要首先明确判定定理 与性质定理的关系 这样为后面一系列定理的证明打下基础 第二个定理教科 书中是通过设置一个尺规作图的问题引入的 在学生自行完成尺规作图并明确 了作法的可行性后 引导学生自主完成证明过程 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 理解菱形的判别条件及其证明 并能利用这两个定理解 决一些简单的问题 2 数学思考目标 通过探索 让学生经历 探索 发现 猜测 证明 的过程 体会合情推理与演绎推理的作用 进一步体会归纳 类比 转化的思想方法 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 教学重点 教学重点 菱形判定定理的证明 菱形判定定理的应用 教学难点 教学难点 学生独立完成证明的过程 增强学生对待科学的严谨治学态度 教学方法教学方法 2 教法 2 学法 6 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 1 1 制作菱形 1 在一张纸上用尺规作图做出边长为 10cm 的菱形 2 想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形 3 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法 目的 通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件 从 而为课堂上的探究 尤其是理论证明做铺垫 同时以这种比较有趣 的形式对这部分知识进行自主预习 激发学生对本节知识的学习兴 趣 激发学生的积极性和主动性 2 2 复习上节课探究过的菱形的性质 目的 通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理 从而为本节课课堂上的探究 尤其是理论证明做铺垫 同时以这种 比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习 激发学生对本节知识 的学习兴趣 激发学生的积极性和主动性 二二 新课学习新课学习 让学生说明自己制作的菱形的过程 教师从中抓住 对角线垂 直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是菱形 菱形的尺 规作图 和 利用长方形纸剪折菱形 等的实例资源 引导学生 认识到理论证明的必要性 并引导学生思考菱形的判定与菱形的性 质之间的关系 1 对角线垂直的平行四边形是棱形 2 四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路 3 菱形的尺规作图 4 利用长方形纸剪折菱形 目的 菱形的性质学生刚刚学完 也经过了严格的证明 学生对问 题证明的分析和格式要求有一定的认知 教师引导学生认识判定定 理与性质定理是互逆定理后 可以让学生独立思考 逐步锻炼学生 个性化设计 7 的推理论证能力 最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明 培养严谨的作风 通过小组合作 在合作中让学生相互帮助共同进 步 三三 探究探究 活动内容 组织学生以小组合作的方式独立完成 对角线垂直的平 行四边形是菱形 和 四条边相等的四边形是菱形 两个判定定理 的证明 并进行全班交流 一 对角线垂直的平行四边形是菱形 已知 如图 1 3 在 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O AC BD 求证 ABCD 是菱形 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 OA OC 又 AC BD BD 是线段 AC 的垂直平分线 BA BC 四边形 ABCD 是菱形 菱形定义 二 四条边相等的四边形是菱形 已知 如图 1 5 四边形 ABCD 中 AB BC CD DA 求证 四边形 ABCD 是菱形 证明 AB CD AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 又 AB BC 四边形 ABCD 是菱形 菱形定义 目的 菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判 定的关系有一定的认识 再对比性质定理的证明进行 同时 通过 教师引导和独立思考 培养学生遇到题目时冷静思考 找到解题思 路的良好习惯 四 课堂小结四 课堂小结 8 学生互相交流菱形的性质与判定定理 何时该选用性质定理 何时选择判定定理 菱形与平行四边形的关系 遇到菱形实际题目 时如何分析思路 以及遇到困难时如何克服等 目的 鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收 获 让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力 并且对于研究 科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识 五 作业五 作业 六六 教学反思 教学反思 9 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 菱形的性质与判定 第菱形的性质与判定 第 3 3 课时 课时 教材分析 教材分析 本节课是菱形的性质与判定的第三课时 教科书对于本部分的安排 是在 学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的 学生理解了菱形的 概念 探索并证明了菱形的性质定理及判别方法 本节课是对菱形性质及判定 的巩固 要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问 题 并掌握菱形面积的求法 2 数学思考目标 通过探索 让学生经历 探索 发现 猜测 证明 的过程 体会合情推理与演绎推理的作用 进一步体会归纳 类比 转化的思想方法 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 教学重点 教学重点 菱形 矩形 正方形的概念及其性质定理和判定定理 教学难点 教学难点 菱形 矩形 正方形的概念及其性质定理和判定定理的综合运用 及相关证明 教学方法教学方法 3 教法 2 学法 10 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 知识回顾一 知识回顾 内容 同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质 及判定 你能完成下面几个题目吗 1 如图 1 所示 在菱形 ABCD 中 AB 6 请回答下列问题 1 其余三条边 AD DC BC 的长度分别是多少 2 对角线 AC 与 BD 有什么位置关系 3 若 ADC 120 求 AC 的长 2 如图 2 所示 在 ABCD 中添加一个条件使其成为菱形 添加方式 1 添加方式 2 目的 通过一些简单题目的设计 帮助学生回顾菱形的相关性 质及判定方法 学生从题目入手 不会显得那么古板枯燥 不仅能 回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣 二二 知识运用知识运用 1 例题讲解 例 3 如图 3 四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形 其中对角线 BD 长为 10cm 求 1 对角线 AC 的长度 2 菱形 ABCD 的面积 解 1 四边形 ABCD 是菱形 个性化设计 E D C B A 图 1 E D C B A 图 2 E D C B A 图 3 11 AC BD 即 AED 90 DE BD 10 5 cm 1 2 在 Rt ADE 中 由勾股定理可得 2222 13512 AEADDEcm AC 2AE 2 12 24 cm 2 S菱形 ABCD S ABD S CBD 2 S ABD 2 BD AE 1 2 BD AE 10 12 120 cm2 目的 通过例 3 让学生对菱形的相关性质进行灵活应用 同时 学生对于具体的问题通过自主思考 小组交流 学生展讲 教师点 拨后基本能形成比较好的解题思路 2 变式训练 如上图 3 四边形 ABCD 是菱形 其中对角线 BD 长为 12cm AC 长为 16cm 求 1 菱形的边长 2 求菱形一条边上的高 目的 变式训练的设计 是想让学生更加深入地掌握菱形的相 关性质 同时对于第二问 学生必须灵活运用菱形的面积等于对角 线乘积的一半 这一结论求出面积进而求出一边上的高 效果 学生对于第一个问题解决比较顺畅 书写较例 3 规范多 了 但对于第二问仍然有疑问 教学时注意引导 3 方法启迪 同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟 或者经验 目的 学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题 思路的好办法 教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路 同时对 于学习还有困难的学生是一个好的学习机会 三三 拓展探究拓展探究 1 如图 4 两张等宽的纸条交叉重叠在一起 重叠部分 ABCD 是 菱形吗 为什么 图 4 图 5 A B C 12 2 如图 5 你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形 使 A 成为菱形一个内角吗 目的 很多学生在玩耍的时候经常玩纸条 学生非常熟悉这一 背景 但是他们很少发现其中的数学知识 这样也能引起学生的兴 趣 同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固 四 反馈练习四 反馈练习 1 如图 6 所示 菱形 ABCD 的周长为 40cm 它的一条对角线 BD 长 10cm 则 ABC AC cm 2 如图 7 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 和 BD 相交于点 O AC 4cm BD 8cm 则这个菱形的面积是 cm2 3 已知 如图 8 在四边形 ABCD 中 AD BC 点 E F G H 分别是 AB CD AC BD 的中点 四边形 EGFH 是 A 矩形 B 菱形 C 等腰梯形 D 正方形 4 已知 如图 9 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 AB 和 BC 上的 点 且 BE BF 求证 1 ADE CDF 2 DEF DFE E C D A B 图 6 O C D A B 图 7 H E G F BA D C 图 8 F A DC B E 图 9 D F B E A C 图 10 13 5 已知 如图 10 在 Rt ABC 90 BAC 60 BC 的垂 直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D E 点 F 在 DE 延长线上 且 AF CE 求证 四边形 ACEF 是菱形 五 课堂小结五 课堂小结 略 六 作业六 作业 七七 教学反思 教学反思 14 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 矩形的性质与判定 第矩形的性质与判定 第 1 1 课时 课时 教材分析 教材分析 本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上 在掌握了证 明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的 它既是 平行四边形的延伸 又为后面正方形的学习提供知识 方法的支持 为进一步 研究其他图形奠定基础 依据新课标要求 矩形的性质 不能只停留在知识 教学上 而是要把经历探索图形的基本性质的过程 发展学生的基本的推理技 能放在首要位置 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 掌握矩形的的定义 理解矩形与平行四边形的关系 理 解并掌握矩形的性质定理 会用矩形的性质定理进行推导证明 2 数学思考目标 通过探索 让学生经历 探索 发现 猜测 证明 的过程 体会合情推理与演绎推理的作用 从矩形与平行四边形的区 别与联系中 体会特殊与一般的关系 渗透集合的思想 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 培养严谨的推理 能力 以及自主合作精神 体会逻辑推理的思维价值 教学重点 教学重点 掌握矩形的性质 并学会应用 教学难点 教学难点 理解矩形的特殊性 教学方法教学方法 4 教法 15 2 学法 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 问题 1 平行四边形具有哪些性质 2 探究矩形的定义 利用一个活动的平行四边形教具演示 使平行四边形的一个内 角变化 让学生注意观察 在演示过程中让学生思考 1 在运动过程中四边形还是平行四边形吗 2 在运动过程中四边形不变的是什么 3 在运动过程中四边形改变的是什么 不变 对边仍保持相等 对边仍分别平行 所以仍然是平行四边形 变 角的大小 4 角的大小改变过程中有特殊值吗 这时的平行四边形是什么 图形 矩形 矩形的定义 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 A BC DA BC D 目的 从学生的已有的知识出发 通过教具演示 让学生经历了矩 形概念的探究过程 自然而然地形成矩形的概念 二二 新课学习新课学习 1 1 既然矩形是平行四边形 那么它具有平行四边形的哪些性质 在同学回答的基础上进行归纳 性质 边角对角线对称性 个性化设计 16 类别 矩形 对边平行对边平行 且相等且相等 对角相等对角相等 对角线互相平对角线互相平 分分 中心对中心对 称图形称图形 2 2 但矩形是特殊的平行四边形 它还具有一些特殊性质 下面 我们来进一步研究矩形的其他性质 1 请同学们以小组为单位 测量身边的矩形 如书本 课桌 铅笔盒等 的四条边长度 四个角度数和对角线的长度及夹角度数 并记录测量结果 2 根据测量的结果 猜想结论 当矩形的大小不断变化时 发 现的结论是否仍然成立 3 通过测量 观察和讨论 你能得到矩形的特殊性质吗 师生归纳 板书 矩形的性质定理矩形的性质定理 1 1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理矩形的性质定理 2 2 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 目的 让学生分组探索 教师可引导学生 根据研究平行四边形获 得的经验 分别从边 角 对角线三个方面探索矩形的特性 还可 提醒学生 这种探索的基础是矩形 有一个角是直角 学生通过 动手测量 动脑思考 动口讨论 自主发现矩形的性质 三三 探究探究 问题 1 已知 如图 四边形 ABCD 是矩形 ABC 90 对角线 AC 与 DB 相交于点 O 求证 1 ABC BCD CDA DAB 90 2 AC BD 分析 1 由平行四边形对边平行以及 ABC 为 90 可以得到 ABC 的补角也是 90 从而得到 矩形的四个角都是直角 2 可通过边角边证明 ABC DCB 得到 17 证明 略 目的 根据新课标的精神 不仅要发展学生的合情推理能力 还要 发展学生的演绎推理能力 在上一环节观察 测量 猜测的基础上 学生较易得出结论 但结论是否真的正确 必须经过严谨的证明 该环节旨在训练学生规范写出推理过程 问题 2 请同学们拿出准备好的矩形纸片 折一折 观察并思考 矩形是不是中心对称图形 如果是 那么对称中心是什么 矩形是不是轴对称图形 如果是 那么对称轴有几条 结论 矩形是轴对称图形 它有两条对称轴 问题 3 请你总结一下矩形有哪些性质 归纳概括矩形的性质 从边来说 矩形的对边平行且相等 从角来说 矩形的四个角都是直角 从对角线来说 矩形的对角线相等且互相平分 从对称性来说 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 问题 4 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A 对角相等 B 对边相等 C 对角线相等 D 对角线互相平分 目的 在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对 称性 在知道方法的条件下 学生完全可以通过自己的操作 观察 猜想 最终得到矩形的对称特征 这对学生来说是富有意义的活动 学生对此也很感兴趣 四 拓展新知四 拓展新知 1 问题 由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形 在直 角三角形 ABC 中 你能找到它的一条特 殊线段吗 你能发现它有什么特殊的性质 吗 你能借助于矩形加以证明吗 2 教师板书推论及推理语言 定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 18 3 练一练 已知 如图 ABC 是 Rt ABC 90 BD 是斜边 AC 上的中线 1 若 BD 3 则 AC 2 若 C 30 AB 5 则 AC BD 目的 先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质 达到 学数学 用数学 的目的 再通过习题 让学生掌握 在直角 三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 这一性质 达到学以致用 的目的 培养了学生的应用意识 五 课堂小结五 课堂小结 1 矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 矩形的性质 3 直角三角形的性质 4 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形 矩形 的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形 因此 有关矩形 的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决 六 作业六 作业 七七 教学反思 教学反思 19 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 矩形的性质与判定 第矩形的性质与判定 第 2 2 课时 课时 教材分析 教材分析 本节主要基于前面的知识 进一步发展推理论证能力 运用综合法证明矩 形的性质和判定定理 进一步体会证明的必要性和作用 体会归纳等数学思想 方法 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判 定定理以及其他相关结论 2 数学思考目标 学生通过对比前面所学知识 体会证明过程中所运用 的归纳 概括以及转化等数学思想方法 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 教学重点 教学重点 矩形的判定 教学难点 教学难点 矩形的判定及性质的综合应用 教学方法教学方法 5 教法 2 学法 20 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 1 什么叫做平行四边形 什么叫做矩形 2 矩形有哪些性质 3 矩形与平行四边形有什么共同之处 有什么不同之处 通过讨论得到矩形的判定方法 矩形判定方法矩形判定方法 1 1 对 对角钱相等的平行四边形是矩形 角钱相等的平行四边形是矩形 矩形判定方法矩形判定方法 2 2 有三个角是直角的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 注 判定一个四边形是矩形 知道三个角是直角 条件就够 了 因为由四边形内角和可知 这时第四个角一定是直角 二二 解决问题解决问题 1 问题 如果仅有一根足够长的绳子 如何判断一个四边形是平行四 边形 如果仅有一根足够长的绳子 如何判断一个四边形是菱形 如果仅有一根足够长的绳子 如何判断一个四边形是矩形 请说明如何操作 并说明这样做的原因 2 例 2 如图在 ABCD中 对角线AC和BD相较于点O ABO是 等边三角形 AB 4 求 ABCD的面积 O DA BC 解 略 目的 运用刚刚证明的两个定理解决实际问题 进一步发展学 生的推理能力 将课本中的问题拆分成三个问题 发散学生思维 从而能将平行四边形菱形和矩形联系起来 分析三者之间的区别和 联系 在活动 2 的证明中 通过让学生找寻不同的解题方法 培养 学生的分析能力 深刻体会数学思想的多样性和灵活性 在一题多 解的过程中 贯彻分层教学的理念 让学生在思维最活跃的时候 个性化设计 21 最大化地提高学生能力 三三 反馈练习反馈练习 1 已知 如图 M 为平行四边形 ABCD 边 AD 的中点 且 MB MC 求证 四边形 ABCD 是矩形 M D A B C 2 已知 如图 菱形ABCD中 对角线AC和BD相较于点 O CM BD DM AC 求证 四边形OCMD是矩形 MO AD C B 目的 通过 2 道练习题进一步巩固矩形的判定定理 提高学生 的逻辑推理能力 四 课堂小结四 课堂小结 略略 五 作业五 作业 六六 教学反思 教学反思 22 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 矩形的性质与判定 第矩形的性质与判定 第 3 3 课时 课时 教材分析 教材分析 本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题 利用这节课 来培养学生自主学习 合作学习 主动获取知识的能力 转变学生的学习方式 使学生经历实践 推理 交流等数学活动过程 亲身体验数学思想方法及数学 观念 培养学生能力 促进学生发展 在选题时 遵循学生 的认识规律 照顾 学生的接受能力 配置由浅入深 由易 到难的练习题 教学中 通过有效措施 让学生在对解决问题过程的反思中 获得解决问题的经验 进行富有个性的学 习 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判 定定理以及其他相关结论 提高实际动手操作能力 2 数学思考目标 经历探索 猜测 证明的过程 发展学生的推理论证 能力 培养学生找到解题思路的能力 使学生进一步体会证明的必要性以及 计算与证明在解决问题中的作用 3 问题解决目标 通过学生独立完成证明的过程 让学生体会数学是严谨 的科学 增强学生对待科学的严谨治学态度 从而养成良好的习惯 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 23 教学重点 教学重点 理解矩形判定定理的应用 教学难点 教学难点 矩形判定定理的应用 教学方法教学方法 6 教法 2 学法 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 1 如图 1 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O 已知 AOD 120 AB 2 5cm 则 DAO AC cm ABCD S 形形 2 如图 2 四边形 ABCD 是平行四边形 添加一个条件 可使它成为矩形 目的 通过两道题目复习矩形的性质和判定 复习旧知识为本节课 的进行热身 学生回答解题时使用的方法 进一步为本节课的开展 做铺垫 二二 新课学习新课学习 例 3 如图 3 在矩形 ABCD 中 AD 6 对角线 AC 与 BD 交于点 O AE BD 垂足为 E ED 3BE 求 AE 的长 解 四边形 ABCD 是矩形 AO BO DO BD 矩形的对角线相等且互相平分 2 1 BAD 90 矩形的四个都是直角 ED 3BE BE OE 个性化设计 图 1 O C A B D 图 2 O D B C A E O C A B D 图 3 24 又 AE BD AB AO AB AO BO 即 ABO 是等边三角形 ABO 60 ADB 90 ABO 30 在 Rt AED 中 ADB 30 AE AD 6 3 2 1 2 1 方法和目的 这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定 有更深刻的认知 同时 通过教师引导和独立思考 培养遇到题目 时冷静思考 找到解题思路的良好习惯 在分析思路时 逐步锻炼 学生的推理论证能力 最后通过互查的形式让每个学生都能严格的 证明 培养严谨的作风 通过小组合作 在合作中让学生相互帮助 共同进步 例 4 如图 3 在 ABC 中 AB AC AD 为 BAC 的平分线 AN 为 ABC 外角 CAM 的平分线 CE AN 垂足为 E 求证 四边形 ADCE 是矩形 证明 AD 平分 BAC AN 平分 CAM CAD BAC CAN CAM 2 1 2 1 DAE CAD CAN BAC CAM 2 1 180 90 2 1 在 ABC 中 AB AC AD 为 BAC 的平分线 AD BC ADC 90 又 CE AN CEA 90 四边形 ADCE 为矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 三三 探究探究 在例题 4 中 若连接 DE 交 AC 于点 F 如图 4 1 试判断四边形 ABDE 的形状 并证明你的结论 2 线段 DF 与 AB 有怎样的关系 请证明你的结论 四 课堂小结四 课堂小结 说说你的收获 困惑 方法 图 3 M N D E A C B M N F D E A C B 图 4 25 五 作业五 作业 六六 教学反思 教学反思 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 正方形的性质与判定 第正方形的性质与判定 第 1 1 课时 课时 教材分析 教材分析 本节学习是在对平行四边形 矩形 菱形的认识基础上探索正方形的性质 体验数学发现的过程 进一步了解平行四边形 矩形 菱形 正方形及梯形之 间的相互关系 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 了解正方形的有关概念 理解并掌握正方形的性质定 理 2 数学思考目标 在观察 操作 推理 归纳等探索过程中 发展合情 推理能力 进一步培养自己的说理习惯与能力 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 26 教学重点 教学重点 探索正方形的性质定理 教学难点 教学难点 掌握正方形的性质的应用方法 教学方法教学方法 7 教法 2 学法 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 展示生活中有关正方形的图片 师生共同准备 提出下面的问题 1 同学们观察显示的图片后 有什么联想 正方形四条边有 什么关系 四个角呢 2 正方形是矩形吗 是菱形吗 为什么 3 正方形具有哪些性质呢 学生活动 观察 联想到它是矩形 所以具有矩形的所有性质 它 又是菱形 所以它又具有菱形的一切性质 归纳如下 正方形定义 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形 正方形性质 1 边的性质 对边平行 四条边都相等 2 角的性质 四个角都是直角 3 对角线的性质 两条对角线互相垂直平分且相等 每条 对角线平分一组对角 4 对称性 是轴对称图形 有四条对称轴 目的 采用合作交流 发现 归纳的方式来解决重点问题 突 破难点 二二 新课学习新课学习 个性化设计 27 例 1 如图 1 已知四边形 ABCD 是正方形 对角线 AC 与 BD 相交于 O MN AB 且分别与 OA OB 相交于 M N 求证 1 BM CN 2 BM CN 分析 本题是证明 BM CN 根据正方形性质 可以证明 BM CN 所在 BOM 与 CON 是否全等 2 在 1 的基础上完成 欲证 BM CN 只需证 5 CMG 90 就可以了 证明 1 四边形 ABCD 是正方形 COB BOM 90 OC OB MN AB 1 2 ABO 3 又 1 ABO 45 2 3 OM ON CON BOM BM CN 2 由 1 知 BOM CON 4 5 4 BMO 90 5 BMC 90 CGM 90 BM CN 例 2 已知 如图 正方形 ABCD 中 点 E 在 AD 边上 且 AE AD F 为 AB 的中点 求证 CEF 是直角三角形 1 4 分析 本题要证 EFC 90 从已知条件 可以得到只要利用勾股逆定理 就可以解决 问题 这里应用到正方形性质 证明 设 AB 4a 在正方形 ABCD 中 DC BC 4a AF FB 2a AE a DE 3a B A D 90 由勾股定理得 EF2 CF2 AE2 AF2 CB2 BF2 a2 4a2 16a2 4a2 25a2 CE2 CD2 DE2 4a 2 3a 2 25a2 EF2 CF2 CE2 由勾股定理的逆定理可知 CEF 是直角三角形 目的 补充两道关于正方形性质应用的例题 提高学生的应用 能力 三三 反馈练习反馈练习 图 2 图 1 5 4 32 1 G N O D A C B M 28 1 如图 3 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 图中 有多少个等腰三角形 2 如图 4 在正方形 ABCD 中 点 F 为对角线 AC 上一点 连接 BF DF 你能找出图中的全等三角形吗 选择其中一对进行证明 目的 对本节知识进行巩固练习 四 课堂小结四 课堂小结 正方形 菱形 矩形 平行四边形四者之间有什么关系 与同学们 讨论 交流 并用列表和框图表示出来 1 平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质 投影显示 边角对角线 平行四边 形 矩形 菱形 正方形 2 平行四边形 矩形 菱形 正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 五 作业五 作业 O D AB C 图 3 D AB C F 图 4 29 六 教学反思 六 教学反思 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 1 1 1 正方形的性质与判定 第正方形的性质与判定 第 2 2 课时 课时 教材分析 教材分析 本节课是在上节学习了正方形的性质的基础上 对正方形的判定进行推理 证明 而前面的探索过程和方法为本节课的推理证明提供了铺垫 为学生提供 了相应的定理证明思路 教学目标 教学目标 1 知识技能目标 掌握正方形判定定理 理解中点四边形形状取决于原四 边形的对角线的位置和数量关系 2 数学思考目标 通过探索 让学生经历 探索 发现 猜测 证明 的过程 体会合情推理与演绎推理的作用 进一步体会归纳 类比 转化的思想方法 3 问题解决目标 在具体的情景中发现问题和提出问题 在合作交流中去 解决问题 进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法 拓展证明的 30 思路与方法 规范证明步骤 4 情感态度目标 通过对特殊平行四边形的探究 进一步激发学生对学习 四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心 教学重点 教学重点 掌握正方形的判定条件 教学难点 教学难点 合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算 教学方法教学方法 8 教法 2 学法 教学准备教学准备 教学环节设计 教学环节设计 一 情境引入一 情境引入 我们学习了平行四边形 矩形 菱形 正方形 那么思考一 下 它们之间有怎样的包含关系 请填入下图中 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形 也是特殊的 菱形 还是特殊的平行四边形 而正方形 矩形 菱形都是平行 四边形 矩形 菱形都是特殊的平行四边形 1 怎样判断一个四边形是矩形 2 怎样判断一个四边形是菱形 3 怎样判断一个四边形是平行四边形 4 怎样判断一个平行四边形是矩形 菱形 议一议 你有什么方法判定一个四边形是正方形 二二 新课学习新课学习 1 探索正方形的判定条件 学生活动 分组讨论 师生共同总结出判定一个四边形是正 个性化设计 31 方形的基本方法 1 直接用正方形的定义判定 即先判定一个四边形是平行四 边形 若这个平行四边形有一个角是直角 并且有一组邻边相等 那么就可以判定这个平行四边形是正方形 2 先判定一个四边形是矩形 再判定这个矩形是菱形 那么 这个四边形是正方形 3 先判定四边形是菱形 再判定这个菱形是矩形 那么这个 四边形是正方形 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理 矩形和菱形的判 定定理是判定正方形的基础 这三个方法还可写成 有一个角是直 角 且有一组邻边相等的四边形是正方形 有一组邻边相等的矩形 是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法 可当作 判定定理用 但由于判定平行四边形 矩形 菱形的方法各异 所 给出的条件各不相同 所以判定一个四边形是不是正方形的具体条 件也相应可作变化 在应用时要仔细辨别后才可以作出判断 三三 探究探究 问题 1 如图 1 在 ABC 中 EF 为 ABC 的中位线 若 BEF 30 则 A 若 EF 8cm 则 AC 2 如图 2 在 AC 的下方找一点 D 做 CD 和 AD 的中点 G H 问 EF 和 GH 有怎样的关系 EH 和 FG 呢 3 如图 3 四边形 EFGH 的形状有什么特征 目的 通过问题串 复习三角形中位线性质定理和命题 依次连接 任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形 问题 2 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形 中点四边形 EFGH 会 有怎样的变化呢 目的 在一个开放的情景中 引导学生体会由一般到特殊的归纳 类比 转化的思想方法 同时培养学生的积极探索 勇于创新的精 神 问题 3 在特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰 梯形 梯形和直角梯形 中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究 F E A B C H G F E C B A D H G F E D A B C 图 1图 2图 3 32 中点四边形 并验证结论的正确性 目的 由学生非常熟悉的 常见的特殊四边形得到结论 为后面的 知识形成作好铺垫 并把学习的主动权让给学生 目的在于激发学 生的学习兴趣 使学生真正成为学习的主人 同时让学生再一次体 会由一般到特殊的归纳思想 类比 转化的思想方法 进一步提高 学生的合作交流和数学表达能力 结论 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 问题 4 1 矩形和等腰梯形是形状不同的四边形 为什么中点四边形都 由平行四边形变化为菱形 2 平行四边形变化为菱形需要增加什么条件 3 你是从什么角度考虑的 4 你从哪儿得到的启发 5 你能用你的发现解释其它的图形变化吗 例如 原四边形为 菱形 其中点四边形为矩形 目的 以问题串的形式引导学