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文档简介

欧拉 欧拉公式 著名的数学家 瑞士人 大部分时间在俄国和法国度过 他16岁获得硕士学位 早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学 毕业后研究数学 是数学史上最高产的作家 在世发表论文700多篇 去世后还留下100多篇待发表 其论著几乎涉及所有数学分支 他首先使用f x 表示函数 首先用 表示连加 首先用i表示虚数单位 在立体几何中多面体研究中 首先发现并证明欧拉公式 学习目标 1了解直棱住及正棱锥的直观图画法 正多面体的概念 欧拉定理 2了解正多面体的棱数与每个面的边数 面数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的棱数 面数的关系 3了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途 4了解简单多面体各面的内角和 E F 3600 V 2 3600 新授课 问题1 数出下列四个多面体的顶点数V 面数F 棱数E并填表 规律 V F E 2 4 6 4 8 6 12 6 8 12 9 8 15 欧拉公式 充以气体 充以气体 1简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体 棱柱 棱锥 正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2欧拉定理 简单多面体的顶点数V 棱数E及面数间F有关系V F E 2 3欧拉公式 V F E 2 4欧拉示性数f P V F E 不同类型的多面体欧拉示性数不同带一个洞的多面体欧拉示性数等于0 5设正多面体的每个面的边数为n 每个顶点连的棱数为m则 1 E nF 2 2 E mV 2 6正多面体只有正四 六 八 十二 二十多面体五种 7简单多面体各面内角和 E F 3600 V 2 3600 例1 有没有棱数是7的简单多面体 解 假设有一个简单多面体的棱数E 7 根据欧拉公式得V F E 2 9 因为多面体的顶点数V 4 面数F 4 所以只有两种情形 V 4 F 5或V 5 F 4 但是 有4个顶点的多面体只有4个面 而四面体也只有四个顶点 所以假设不成立 没有棱数是7的简单多面体 问题2 欧拉公式的应用 问题3 欧拉公式的应用 例21996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家 C60是有60个C原子组成的分子 它结构为简单多面体形状 这个多面体有60个顶点 从每个顶点都引出3条棱 各面的形状分别为五边星或六边形两种 计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少 解 设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个 由题意有顶点数V 60 面数 x y 棱数E 3 60 根据欧拉公式 可得60 x y 3 60 2 另一方面 棱数也可由多边形的边数来表示 即 5x 6y 3 60 由以上两个方程可解出x 12 y 20 答 C60
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