二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题

二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题 2007 年绵阳中考 绵阳市 全国文明村 江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨 桃子 12 吨 现计划租用甲 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售 已知一辆甲种货 车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨 一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨 1 王灿如何安排甲 乙两种货车可一次性地运到销售地 有几种方案 2 若甲种货车每辆要付运输费 300 元 乙种货车每辆要付运输费 240 元 则果农王灿 应选择哪种方案 使运输费最少 最少运费是多少 解 1 设安排甲种货车 x 辆 则安排乙种货车 8 x 辆 依题意 得 解此不等式组 即 2 x 4 12 8 2 20 8 24 xx xx x 是正整数 x 可取的值为 2 3 4 因此安排甲 乙两种货车有三种方案 方案一 甲种货车 2 辆 乙种货车 6 辆 方案二 甲种货车 3 辆 乙种货车 5 辆 方案三 甲种货车 4 辆 乙种货车 4 辆 2 方案一所需运费 元 204062402300 方案二所需运费 元 210052043300 方案三所需运费 元 216042404300 所以王灿应选择方案一运费最少 最少运费是元 2040 2007 年济南 某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动 行李共有 100 件 学校计划 租用甲 乙两种型号的汽车共 8 辆 经了解 甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李 乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李 1 设租用甲种汽车辆 请你帮助学校设计所有可能的租车方案 x 2 如果甲 乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元 1800 元 请你选择最省钱的一 种租车方案 解 1 由租用甲种汽车辆 则租用乙种汽车辆x 8 x 由题意得 4030 8 290 1020 8 100 xx xx 解得 56x 即共有 2 种租车方案 第一种是租用甲种汽车 5 辆 乙种汽车 3 辆 第二种是租用甲种汽车 6 辆 乙种汽车 2 辆 2 第一种租车方案的费用为元 5 20003 180015400 第二种租车方案的费用为元6 20002 180015600 第一种租车方案更省费用 2007 资阳 年陈老师为学校购买运动会的奖品后 回学校向后勤处王老师交账说 我 买了两种书 共 105 本 单价分别为 8 元和 12 元 买书前我领了 1500 元 现在还余 418 元 王老师算了一下 说 你肯定搞错了 王老师为什么说他搞错了 试用方程的知识给予解释 陈老师连忙拿出购物发票 发现的确弄错了 因为他还买了一个笔记本 但笔记本 的单价已模糊不清 只能辨认出应为小于 10 元的整数 笔记本的单价可能为多少元 1 设单价为 8 0 元的课外书为 x 本 得 812 105 1500418xx 2 解之得 不符合题意 44 5x 3 所以王老师肯定搞错了 设单价为 8 0 元的课外书为 y 本 解法一 设笔记本的单价为 a 元 依题意得 812 105 1500418yya 解之得 178 a 4y a y 都是整数 且 178 a 应被 4 整除 a 为偶数 又 a 为小于 10 元的整数 a 可能为 2 4 6 8 当 a 2 时 4x 180 x 45 符合题意 当 a 4 时 4x 182 x 45 5 不符合题意 当 a 6 时 4x 184 x 46 符合题意 当 a 8 时 4x 186 x 46 5 不符合题意 笔记本的单价可能 2 元或 6 元 8 分 解法 2 设笔记本的单价为 b 元 依题意得 10418 105 1281500 418 105 12815000 xx xx 解得 47 5 44 x x 应为 45 本或 46 本 当 x 45 本时 b 1500 8 45 12 105 45 418 2 当 x 46 本时 b 1500 8 46 12 105 46 418 6 2012 四川泸州 6 分 某商店准备购进甲 乙两种商品 已知甲种商品每件进价 15 元 售价 20 元 乙种商品每件进价 35 元 售价 45 元 1 若该商品同时购进甲 乙两种商品共 100 件 恰好用去 2700 元 求购进的甲 乙两 种商品各多少件 2 若该商品准备用不超过 3100 元购进甲 乙两种商品共 100 件 且这两种商品全部售 出后获利不少于 890 元 问应该怎样进货 才能使总利润最大 最大利润为多少 利润 售价 进价 解 1 设购进甲种商品件 购进乙种商品件 根据题意 xy 27003515 100 yx yx 解这个方程组得 60 40 y x 答 商店购进甲种商品 40 件 则购进乙种商品 60 件 2 设商店购进甲种商品件 则购进乙种商品 件 根据题意 得xx 100 解之得 20 22 890100105 31001003515 xx xx x 方案一 甲种商品 20 件 乙种商品 80 件 方案二 甲种商品 21 件 乙种商品 79 件 方案三 甲种商品 22 件 乙种商品 78 件 方案一所得利润元 9008010205 方案二所得利润元8957910215 方案三所得利润元 8907810225 所以应选择方案一利润最大 为元 2040 2014 宜宾 在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有 20 道题 每一题答对得 5 分 答 错或不答都扣 3 分 1 小李考了 60 分 那么小李答对了多少道题 2 小王获得二等奖 75 85 分 请你算算小王答对了几道题 解 1 设小李答对了 x 道题 依题意得 5x 3 20 x 60 解得 x 15 答 小李答对了 16 道题 2 设小王答对了 y 道题 依题意得 解得 y 即 y 是正整数 y 17 或 18 答 小王答对了 17 道题或 18 道题 2009 年河南 某家电商场计划用 32400 元购进 家电下乡 指定产品中的电视机 冰箱 洗衣机共 l5 台 三种家电的进价和售价如下表所示 类别电视机冰 箱洗衣机 进价 元 台 200024001600 售价 元 台 210025001700 1 在不超出现有资金的前提下 若购进电视机的数量和冰箱的数量相同 洗衣机数量不大 于电视机数量的一半 商场有哪几种进货方案 2 国家规定 农民购买家电后 可根据商场售价的 13 领取补贴 在 1 的条件下 如果这 15 台家电全部销售给农民 国家财政最多需补贴农民多少元 设购进电视机 冰箱各x台 则洗衣机为 15 2x 台 依题意得 32400 215 160024002000 2 1 215 xxx xx 解这个不等式组 得 6 x 7 x为正整数 x 6 或 7 方案 1 购进电视机和冰箱各 6 台 洗衣机 3 台 方案 2 购进电视机和冰箱各 7 台 洗衣机 1 台 2 方案 1 需补贴 6 2100 6 2500 1 1700 13 4251 元 方案 2 需补贴 7 2100 7 2500 1 1700 13 4407 元 国家的财政收入最多需补贴农民 4407 元 2011 年达州 我市化工园区一化工厂 组织 20 辆汽车装运 A B C 三种化学物资共 200 吨到某地 按计划 20 辆汽车都要装运 每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满 请 结合表中提供的信息 解 物资种类ABC 每辆汽车运载量 吨 12108 每吨所需运费 元 吨 240320200 1 设装运 A 种物资的车辆数为x 装运 B 种物资的车辆数为y 求y与x的函数关系 式 2 如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆 装运 B 种物资的车辆数不少于 4 辆 那么 车辆的安排有几种方案 并写出每种安排方案 3 在 2 的条件下 若要求总运费最少 应采用哪种安排方案 请求出最少总运费 解 1 根据题意 得 200 20 81012 yxyx 200881601012 yxyx 202 yx 2 分xy220 2 根据题意 得 解之得 4220 5 x x 85 x 取正整数 5 6 7 8 4 分x x 共有 4 种方案 即 ABC 方案一5105 方案二686 方案三767 方案四848 5 分 3 设总运费为 M 元 则 M 20220 2008 220 3201024012 xxxx 即 M 640001920 x M 是的一次函数 且 M 随增大而减小 xx 当 8 时 M 最小 最少为 48640 元 7 分x 2011 年广元 某童装店到厂家选购 A B 两种服装 若购进 A 种服装 12 件 B 种服装 8 件 需要资金 1880 元 若购进 A 种服装 9 件 B 种服装 10 件 需要资金 1810 元 1 求 A B 两种服装的进价分别为多少元 2 销售一件 A 服装可获利 18 元 销售一件 B 服装可获利 30 元 根据市场需求 服 装店决定 购进 A 种服装的数量要比购进 B 种服装的数量的 2 倍还多 4 件 且 A 种服装购进数量不超过 28 件 并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于 699 元 设购进 B 种服装 x 件 那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案 哪种 方案获利最多 解 1 设 A 种型号服装每件 x 元 B 种型号服装每件 y 元 依题意可得 解得 1880812 1810109 yx yx 100 90 y x 答 A 种型号服装每件 90 元 B 种型号服装每件 100 元 2 设购进 B 种服装 x 件 则购进 A 种服装的数量是 2x 4 y 30 x 2x 4 18 66x 72 设 B 型服装购进 m 件 则 A 型服装购进件 42 m 根据题意得 解不等式得 2842 69930 42 18 m mm 12 2 1 9 m 因为 m 这是正整数 所以 m 10 11 12 则 2m 4 24 26 28 有三种进货方案 方案一 B 型服装购进 10 件 A 型服装购进 24 件 方案二 B 型服装购进 11 件 A 型服装购进 26 件 方案三 B 型服装购进 12 件 A 型服装购进 28 件 方案一所得利润元 90024301018 方案二所得利润元97826301118 方案三所得利润元 105628301218 所以应选择方案一利润最大 为 1056 元 2011 雅安 某部门为了给员工普及电脑知识 决定购买 A B 两种电脑 A 型电脑单价 为 4800 元 B 型电脑单价为 3200 元 若用不超过 160000 元去购买 A B 型电脑共 36 台 要求购买 A 型电脑多于 25 台 有哪几种购买方案 解 设购买 A 种电脑 x 台 则购买 B 种电脑 36 x 台 由题意得 解得 25 x 28 25 160000 36 32004800 x xx x 必须求整数 x 26 27 28 购买 B 种电脑 10 9 8 可以有 3 种购买方案 购买 A 种电脑 26 台 则购买 B 种电脑 10 台 购买 A 种电脑 27 台 则购买 B 种电脑 9 台 购买 A 种电脑 28 台 则购买 B 种电脑 8 台 2012 哈尔滨 同庆中学为丰富学生的校园生活 准备从军跃体育用品商店一次性购买若 干个足球和篮球 每个足球的价格相同 每个篮球的价格相同 若购买 3 个足球和 2 个篮 球共需 310 元 购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元 1 购买一个足球 一个篮球各需多少元 2 根据同庆中学的实际情况 需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96 个 要求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元 这所中学最多可以购买多少个篮球 解 设购买一个足球需要 x 元 购买一个篮球需要 y 元 根据题意得 解得 购买一个足球需要 50 元 购买一个篮球需要 80 元 解 设购买 n 个足球 则购买 96 n 个篮球 50n 80 96 n 5720 n 65 n 为整数 n 最少是 66 96 66 30 个 这所学校最多可以购买 30 个篮球 2014 攀枝花 为了打造区域中心城市 实现攀枝花跨越式发展 我市花城新区建设正按 投资计划有序推进 花城新区建设工程部 因道路建设需要开挖土石方 计划每小时挖掘 土石方 540m3 现决定向某大型机械租赁公司租用甲 乙两种型号的挖掘机来完成这项工 作 租赁公司提供的挖掘机有关信息如表 租金 单位 元 台 时 挖掘土石方量 单位 m3 台 时 甲型挖掘机10060 乙型挖掘机12080 1 若租用甲 乙两种型号的挖掘机共 8 台 恰好完成每小时的挖掘量 则甲 乙两种型 号的挖掘机各需多少台 2 如果每小时支付的租金不超过 850 元 又恰好完成每小时的挖掘量 那么共有几种不 同的租用方案 解 1 设甲 乙两种型号的挖掘机各需 x 台 y 台 依题意得 解得 答 甲 乙两种型号的挖掘机各需 5 台 3 台 2 设租用 m 辆甲型挖掘机 n 辆乙型挖掘机 依题意得 60m 80n 540 化简得 3m 4n 27 m 9 n 方程的解为 当 m 5 n 3 时 支付租金 100 5 120 3 860 元 850 元 超出限额 当 m 1 n 6 时 支付租金 100 1 120 6 820 元 符合要求 答 有一种租车方案 即租用 1 辆甲型挖掘机和 3 辆乙型挖掘机 2012 四川广安 某学校为了改善办学条件 计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑 经投标 购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元 购买 4 块电子白板和 5 台笔记 本电脑共需 80000 元 1 求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元 2 根据该校实际情况 需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396 要求购买的总费用 不超过 2700000 元 并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍 该校有哪 几种购买方案 3 上面的哪种购买方案最省钱 按最省钱方案购买需要多少钱 解 1 设购买 1 块电子白板需要 x 元 一台笔记本电脑需要 y 元 由题意得 解得 x 3y 3000 4x 5y 80000 x 15000 y 4000 答 购买 1 块电子白板需要 15000 元 一台笔记本电脑需要 4000 元 2 设购买购买电子白板 a 块 则购买笔记本电脑 396 a 台 由题意得 解得 396a3a 2700000 15000a 4000 396a 5 99a10111 a 为整数 a 99 100 101 则电脑依次买 297 296 295 该校有三种购买方案 方案一 购买笔记本电脑 295 台 则购买电子白板 101 块 方案二 购买笔记本电脑 296 台 则购买电子白板 100 块 方案三 购买笔记本电脑 297 台 则购买电子白板 99 块 2012 年河南 某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套 经招标 购买一套 A 型课 桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元 且购 4 套 A 型和 6 套 B 型课桌凳共需 1820 元 1 求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元 解析 1 设 A 型每套x元 B 型每套 40 x 元 45 40 1820 xx 180 40220 xx 即购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需 180 元和 220 元 2 学校根据实际情况 要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元 并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳的 2 3 求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有几种 方案 哪种方案的总费用最低 2 设 A 型课桌凳a套 则购买 B 型课桌凳 200a 套 2 200 3 180220 200 40880 aa aa 解得7880a a为整数 所以a 78 79 80 所以共有 3 种方案 2011 眉山 在眉山市开展城乡综合治理的活动中 需要将 A B C 三地的垃圾 50 立方 米 40 立方米 50 立方米全部运往垃圾处理场 D E 两地进行处理 已知运往 D 地的数 量比运往 E 地的数量的 2 倍少 10 立方米 1 求运往两地的数量各是多少立方米 2 若 A 地运往 D 地 a 立方米 a 为整数 B 地运往 D 地 30 立方米 C 地运往 D 地的 数量小于 A 地运往 D 地的 2 倍 其余全部运往 E 地 且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米 则 A C 两地运往 D E 两地哪几种方案 3 已知从 A B C 三地把垃圾运往 D E 两地处理所需费用如下表 A 地B 地C 地 运往 D 地 元 立方米 222020 运往 E 地 元 立方米 202221 解答 解 1 设运往 E 地 x 立方米 由题意得 x 2x 10 140 解得 x 50 2x 10 90 答 共运往 D 地 90 立方米 运往 E 地 50 立方米 2 由题意可得 90 30 2 50 90 30 12 解得 20 a 22 a 是整数 a 21 或 22 有如下两种方案 第一种 A 地运往 D 地 21 立方米 运往 E 地 29 立方米 C 地运往 D 地 39 立方米 运往 E 地 11 立方米 第二种 A 地运往 D 地 22 立方米 运往 E 地 28 立方米 C 地运往 D 地 38 立方米 运往 E 地 12 立方米 3 第一种方案共需费用 22 21 20 29 39 20 11 21 2053 元 第二种方案共需费用 22 22 28 20 38 20 12 21 2056 元 所以 第一种方案的总费用最少 2014 德阳 为落实国家 三农 政策 某地政府组织 40 辆汽车装运 A B C 三种农产 品共 200 吨到外地销售 按计划 40 辆车都要装运 每辆车只能装运同一种农产品 且必 须装满 根据下表提供的信息 解答下列问题 农产品种类 ABC 每辆汽车的装载量 吨 4 56 1 如果装运 C 种农产品需 13 辆汽车 那么装运 A B 两种农产品各需多少辆汽车 2 如果装运每种农产品至少需要 11 辆汽车 那么车辆的装运方案有几种 写出每种装 运方案 解 1 设装运 A B 两种农产品各需 x y 辆汽车 则 解得 答 装运 A B 两种农产品各需 13 14 辆汽车 2 设装运 A B 两种农产品各需 x y 辆汽车 则 4x 5y 6 40 x y 200 解得 y 2x 40 由题意可得如下不等式组 即 解得 11 x 14 5 因为 x 是正整数 所以 x 的值可为 11 12 13 14 共 4 个值 因而有四种安排方案 方案一 11 车装运 A 18 车装运 B 11 车装运 C 方案二 12 车装运 A 16 车装运 B 12 车装运 C 方案三 13 车装运 A 14 车装运 B 13 车装运 C 方案四 14 车装运 A 12 车装运 B 14 车装运 C 2011 内江 某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器 若购电脑机箱 10 台和 液液晶显示器 8 台 共需要资金 7000 元 若购进电脑机箱 2 台和液示器 5 台 共需要资金 4120 元 1 每台电脑机箱 液晶显示器的进价各是多少元 2 该经销商购进这两种商品共 50 台 而可用于购买这两种商品的资金不超过 22240 元 根据市场行情 销售电脑机箱 液晶显示器一台分别可获利 10 元和 160 元 该经销商 希望销售完这两种商品 所获利润不少于 4100 元 试问 该经销商有哪几种进货方案 哪 种方案获利最大 最大利润是多少 解 1 设每台电脑机箱 液晶显示器的进价各是 x y 元 根据题意得 解得 412052 7000810 yx yx 800 60 y x 答 每台电脑机箱 液晶显示器的进价各是 60 元 800 元 2 设该经销商购进电脑机箱 m 台 购进液晶显示器 50 m 台 根据题意得 解得 24 m 26 4100 50 16010 22240 50 80060 mm mm 因为 m 要为整数 所以 m 可以取 24 25 26 从而得出有三种进货方式 电脑箱 24 台 液晶显示器 26 台 电脑箱 25 台 液晶显示器 25 台 电脑箱 26 台 液晶显示器 24 台 方案一的利润 24 10 26 160 4400 方案二的利润 25 10 25 160 4250 方案三的利润 26 10 24 160 4100 方案一的利润最大为 4400 元 2013 自贡 某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间 据统计该校高一年级男生 740 人 使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室 正好住满 女生 730 人 使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间 也正好住满 1 求该校的大小寝室每间各住多少人 2 预测该校今年招收的高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间 问该校有多 少种安排住宿的方案 解 答 解 1 设该校的大寝室每间住 x 人 小寝室每间住 y 人 由题意得 解得 答 该校的大寝室每间住 8 人 小寝室每间住 6 人 2 设大寝室 a 间 则小寝室 80 a 间 由题意得 解得 80 a 75 a 75 时 80 75 5 a 76 时 80 a 4 a 77 时 80 a 3 a 78 时 80 a 2 a 79 时 80 a 1 a 80 时 80 a 0 故共有 6 种安排住宿的方案 2012 浙江温州 12 分 温州享有 中国笔都 之称 其产品畅销全球 某制笔企业欲将 n件产品运往A B C三地销售 要求运往C地的件数是运往A地件数的 2 倍 各地的运费 如图所示 设安排x件产品运往A地 1 当n200 时 根据信息填表 A地B地C地合计 产品件数 件 x2x 200 运费 元 30 x 若运往B地的件数不多于运往C地的件数 总运费不超过 4000 元 则有哪几种运输方案 2 若总运费为 5800 元 求n的最小值 答案 解 1 根据信息填表 A地B地C地合计 产品件数 件 x2003x 2x 200 运费 元 30 x160024x 50 x56x 1600 由题意 得 2003x2x 160056x4000 解得 40 x 6 42 7 x为整数 x 40 或 41 或 42 有三种方案 分别是 i A地 40 件 B地 80 件 C地 80 件 ii A地 41 件 B地 77 件 C地 82 件 iii A地 42 件 B地 74 件 C地 84 件 2 由题意 得 30 x 8 n 3x 50 x 5800 整理 得n 725 7x n 3x 0 x 72 5 又 x 0 0 x 72 5 且x为整数 n随x的增大而减少 当x 72 时 n有最小值为 221 2007 年南充 某商店需要购进一批电视机和洗衣机 根据市场调查 决定电视机进货量 不少于洗衣机的进货量的一半 电视机与洗衣机的进价和售价如下表 类 别电视机 洗衣机 进价 元 台 18001500 售价 元 台 20001600 计划购进电视机和洗衣机共 100 台 商店最多可筹集资金 160 600 元 1 请你帮助商店算一算有多少种进货方案 不考虑除进价之外的其它费用 2 哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多 并求出最 多利润 利润 售价 进价 9 解 1 设商店购进电视机 x 台 则购进洗衣机 100 x 台 根据题意 得 解不等式组 得 x 160600 100 15001800 100 2 1 xx xx1 33 33 1 35 即购进电视机最少 34 台 最多 35 台 商店有 2 种进货方案 方案一 电视机 34 台 洗衣机 66 台 利润为元134006610034200 方案二 电视机 35 台 洗衣机 65 台 利润为元135006510035200 商店为了获得最大利润应选方案二 最大利润为 13500 元 2008 年南充 某乒乓球训练馆准备购买 10 副某种品牌的乒乓球拍 每副球拍配 个乒乓球 已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售 且每副 3 x x AB 球拍的标价都为 20 元 每个乒乓球的标价都为 1 元 现两家超市正在促销 超市所有 A 商品均打九折 按原价的 90 付费 销售 而超市买 1 副乒乓球拍送 3 个乒乓球 若仅 B 考虑购买球拍和乒乓球的费用 请解答下列问题 1 如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球 那么去超市还是超市买更合算