高考数学曲线方程讲义

高三第一轮复习数学 曲线方程 一 教学目标 一 教学目标 了解解析几何的基本思想 了解坐标法研究几何问题的方法 掌握用定 义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤 二 教学重点 二 教学重点 注意动点应满足的某些隐含条件 2 注意方程化简时的等价性 主要是 在去分母和两边平方时的变形 3 注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论 三 教学过程 三 教学过程 一 主要知识 1 曲线方程的意义 正如一个关于的一元二次方程一定表示一条直yx 0 cByAx 线 一条直线必定可以用个关于的一元二次方程表示一样 直角yx 0 cByAx 坐标系内的曲线可以用一个关于的二元方程来表示 一个关于的yx 0 yxfyx 二元方程表示着坐标平面内的一条曲线 而函数亦为方程 0 yxf xfy 是的特殊形式 0 yxf 0 yxf 2 方程恰为曲线 C 的方程即曲线 C 恰为方程的曲线的充要条件为 0 yxf 0 yxf 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程的解 否则曲线 C 比比方程 0 yxf 所表示的曲线多点 纯粹性 0 yxf 且 2 以方程的解为坐标的点都在曲线 C 上 否则曲线 C 比方程 0 yxf 所表示的曲线少点 完备性 0 yxf 即曲线 C 0 yxfyx 3 已知曲线求方程 求动点的轨迹方程 文字语言的几何条件 数学符号语言的 等式 数学符号语言中含动点坐标 的代数方程 简化 了的 的代数方程 最后除掉多余的点 加上遗漏的点 4 已知曲线方程求曲线 要做到不多不少刚刚好 5 曲线与曲线的交点坐标为 方程组 0 1 yxfC 0 2 yxgC 的解 特别注意大括号的意义为交点坐标 0 0 yxg yxf 二 例题分析 一 一 曲线方程的意义 例例1 1 1 1 如果命题 坐标满足方程 的点都在曲线 上 不正确 那么以下正 确的命题是 A 曲线 上的点的坐标都满足方程 B 坐标满足方程 的点有些在 上 有些不在 上 C 坐标满足方程 的点都不在曲线 上 D 一定有不在曲线 上的点 其坐标满足方程 分析 举例 若方程为 曲线为第一 三象限角平分线 易知答案为D 2 求曲线 分别关于 直线 点 2 x3 y 直线 对称的曲线方程 3 2 03 yx 解 08210 22 yxyx048122 22 yxyx 0561210 22 yxyx0624 22 yxyx 二 二 已知曲线方程求曲线 例例 2 1 表示什么曲线 011 2 yxx 2 方程表示什么曲线 011 xyx 解 1 原方程等价于 当时为x 当时为 011yxx1 x2 y1 x 当时为 画图 xy2 11 x2 y 2 原方程等价于 或即 或 01 01 yx x 01 01 x x 101 xyx1 x 所以表示直线和射线 画图 01 x 101 xyx 点评 这多条图形为曲线 C 思考 表示什么曲线 曲线 C 为圆 和直线 041 22 yxyx4 22 yx 在此圆外面部份 1 yx 三 已知曲线求方程 求动点的轨迹方程 例例 3 过定点任作互相垂直的两直线与 且与轴交于点 M 与轴交于 baA 1 l 2 l 1 lx 2 ly 点 N 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程 解 法一 直译法 由 21 ll 222 22 2 4422yxbaxbya 化简得 022 22 babyax 法二 代入法 设 则 11 0 0 yNxM yxP yy xx y y x x 2 2 2 2 1 1 1 1 因为 所以 21 ll 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 yxbaxbya 由 代入 可得 222 22 2 4422yxbaxbya 例例 4 2000 年春季高考 已知抛物线O 为顶点 A B 为抛物线上的 04 2 ppxy 两动点 且满足 如果于点 M 求点 M 的轨迹方程 OBOA ABOM 解 参数法 设的方程为 点 M 的坐标为 则 OB 的OA 0 kkxy yx 0 x 方程为 1 x k y 由得由得则 kxy pxy4 2 4 4 2 k p k p A x k y pxy 1 4 2 4 4 2 pkpkB 2 1k k kAB k k kOM 2 1 X X A N MO 所以 消去参数得轨迹方程为x k k yl k kp x k k yl OMAB 2 22 1 1 4 1 042 22 2 xpypx 即所求轨迹是以点为圆心 长为半径的圆除去原点 0 2pp2 0 0O 点评 直译法 代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法 四 曲线的交点 例例 5 已知曲线 点 曲线 1 C 0 yxF 1 CbaP 2 C 求的交点个数 00 baFyxF 21 C C 解 0 个 设点是上的点 则 而若 00y xP 1 C 0 00 yxF 这与矛盾 00 00 baFyxF 0 baF 1 CbaP 例例 6 求过点的直线与曲线有两个不同的交点 且这两个交点的纵坐标之和 2 1M x a y 为 求的取值范围 aa 解 设直线方程为 由方程组消去得 012 kxky x a y xky12 x 设其两个根为 02 2 kayky 21 y y 则 akakayykyy 22 2 2121 042 2 kak 024 2 aaa 得 3 8 0 a2 020 aak 的取值范围是a 3 8 22 0 三 巩固练习 1 1 和 y 轴相切并且和曲线 x2 y2 4 0 x 2 相内切的动圆圆心的轨迹方程为 A y2 4 x 1 x 0 B y2 2 x 1 0 x 1 C y2 4 x 1 0 x 1 D y2 2 x 1 00 设其半径为 r 则由相切条件 MO 2 x 即 又 4 x 1 y2 0 所求方程为 y2 4 x 1 00 求动点 M 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 解 解 设 MN 切圆 C 于 N 则 MN 2 MO 2 ON 2 设点 M x y 则 化简 得 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 1 当 1 时 方程为 表示一条直线 2 当 1 时 方程化为表示一个圆 小结 小结 本题是典型的直接 列方程化简 法 四 小结