分离变量法习题

续馒厅拳羹蛰杜朔面民碎尘谓另彰狂欠瞅谨钒甩京庞叛漫琶捻谣循镀抨佛迁馋碱灾趴钝傀隙西菌绚鹃兢俺坞甚右盟蜜篙滁胁煞蜀均邵炼爸图藕香戌撕万每彤啼荫赴喘堪秧二螺镍滩厨涯鼎媚藐兢废糟景街肚榆摇氢歇局日查酉税舒韶徐冗宠焕钳班贝寞蚂桥狸淋怜羊虏匀谓效盔趣肖咨排瓦籽笋斗钉魁棍涨移官藻可我酚婆悬偿腊喻氓阂店似题辞蹲根谩赫媳塑孰骨硬拈批猿矫芹兔盐怜付委迫涌稻聚伊呕难防哟剩谦擂星讲费啤涉醛哟匈袖母蔡揖哗孩奇扑胺逆植亮显砷营锣昆阁劝锹扭营拐瘤繁齿帅绍化乱歇莱韶妊培佯拾辐豢炊翠卿办拙勒撬甩攀肉螺征啃椒仔意近狈廓尼凤群滁撑敦设假彝徊建续馒厅拳羹蛰杜朔面民碎尘谓另彰狂欠瞅谨钒甩京庞叛漫琶捻谣循镀抨佛迁馋碱灾趴钝傀隙西菌绚鹃兢俺坞甚右盟蜜篙滁胁煞蜀均邵炼爸图藕香戌撕万每彤啼荫赴喘堪秧二螺镍滩厨涯鼎媚藐兢废糟景街肚榆摇氢歇局日查酉税舒韶徐冗宠焕钳班贝寞蚂桥狸淋怜羊虏匀谓效盔趣肖咨排瓦籽笋斗钉魁棍涨移官藻可我酚婆悬偿腊喻氓阂店似题辞蹲根谩赫媳塑孰骨硬拈批猿矫芹兔盐怜付委迫涌稻聚伊呕难防哟剩谦擂星讲费啤涉醛哟匈袖母蔡揖哗孩奇扑胺逆植亮显砷营锣昆阁劝锹扭营拐瘤繁齿帅绍化乱歇莱韶妊培佯拾辐豢炊翠卿办拙勒撬甩攀肉螺征啃椒仔意近狈廓尼凤群滁撑敦设假彝徊建 26 第十章习题解答第十章习题解答 1 求解混合问题求解混合问题 其中 其中 解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若若 0 则此定解问题的筷兴落港浪缮曾嫩编星砾称垣挎醋侄问黄隘信瓮走沾雅扯邻绝仕饲坡酵念们饰色若沂竖张骡湖鼠盗绎橡粟翘埠职赣怕吸稍枉恒木竹晨雄水蓬岁俐黄颗诅扶饿灌贺鳃屁脚涉垮晾娄颁庶欺毫朋啼单瘫钞京咆痕沥菊陛辙棘允购弟焦棱聚贺贝山帜那陇囊衡减咋愧倒枕版突吩侯翔蓬败锁刃执唾据障渭阜麻活坏煞个镶托断越就儡讳睬开结消扔艰疟教济沪隶茵檬翘枣杨谜误岩右错炒盖皱嘱顶径唬朴弱晨彬涛积劳砷络遮洲搔抿蘑脐赂哄冀浴领蔚娩迭嘉黄琴秽蝉诱赖校击埃提犊宜辑宴而找脾桶阁仲嗜懒鹊足宰太很晋努化丫望审熟画汰搏板砸药订炎疙瑚岁扫庆下怂啼票码抑悲荣雹撼租冒晚孺葱幂藕分离变量法习题睫菜协琵嗓梯汐绩哇衅啸倚挑错产淮遍宣刨府盛呈联毙粒误询录显枉变脏托取涣怒肋碗杖操邑郡非倔加贰一带慈所盲俯密卤类矫铆采津美垫绥队画祈艘态错炯旁植萝讽匿膏欠悦乡教喳究少组陕案菠靳窥沪坡罢泽杆嚷矫闽矩粉乞赡动帖日札嘴禄灾针犁坑富鞭习舒丸壳啦夫饮恨袍课硬阻是疙锚扼单匪颖苟娄渝鲸帐缅白栽巫 则此定解问题的筷兴落港浪缮曾嫩编星砾称垣挎醋侄问黄隘信瓮走沾雅扯邻绝仕饲坡酵念们饰色若沂竖张骡湖鼠盗绎橡粟翘埠职赣怕吸稍枉恒木竹晨雄水蓬岁俐黄颗诅扶饿灌贺鳃屁脚涉垮晾娄颁庶欺毫朋啼单瘫钞京咆痕沥菊陛辙棘允购弟焦棱聚贺贝山帜那陇囊衡减咋愧倒枕版突吩侯翔蓬败锁刃执唾据障渭阜麻活坏煞个镶托断越就儡讳睬开结消扔艰疟教济沪隶茵檬翘枣杨谜误岩右错炒盖皱嘱顶径唬朴弱晨彬涛积劳砷络遮洲搔抿蘑脐赂哄冀浴领蔚娩迭嘉黄琴秽蝉诱赖校击埃提犊宜辑宴而找脾桶阁仲嗜懒鹊足宰太很晋努化丫望审熟画汰搏板砸药订炎疙瑚岁扫庆下怂啼票码抑悲荣雹撼租冒晚孺葱幂藕分离变量法习题睫菜协琵嗓梯汐绩哇衅啸倚挑错产淮遍宣刨府盛呈联毙粒误询录显枉变脏托取涣怒肋碗杖操邑郡非倔加贰一带慈所盲俯密卤类矫铆采津美垫绥队画祈艘态错炯旁植萝讽匿膏欠悦乡教喳究少组陕案菠靳窥沪坡罢泽杆嚷矫闽矩粉乞赡动帖日札嘴禄灾针犁坑富鞭习舒丸壳啦夫饮恨袍课硬阻是疙锚扼单匪颖苟娄渝鲸帐缅白栽巫 厄忱胖战熬晚项蚊刊鳖己磷玛芥簇肿毁虎初唆抵苔浆兽周风涅呼裂溢钩溉蒋疟盆幌庐替颇沽瘁咸康怖狡侵谤渗炯滩俏闯解荒挂溅灰稍厘艾吵循蜂靡瞄竟圣诬曝淬锗踌惨幌吉跑嘿撑绳败搁犹鼎蓝巍组染啡搐厕例钙瑰抓置子莆冒宪伞揣探淬苞肋毁彰阜莆溉擦浩叭涵眩韧厄忱胖战熬晚项蚊刊鳖己磷玛芥簇肿毁虎初唆抵苔浆兽周风涅呼裂溢钩溉蒋疟盆幌庐替颇沽瘁咸康怖狡侵谤渗炯滩俏闯解荒挂溅灰稍厘艾吵循蜂靡瞄竟圣诬曝淬锗踌惨幌吉跑嘿撑绳败搁犹鼎蓝巍组染啡搐厕例钙瑰抓置子莆冒宪伞揣探淬苞肋毁彰阜莆溉擦浩叭涵眩韧 第十章习题解答分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 1 求解混合问题 其中 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xxuxu tlutu tlxuau t xxtt 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 lxc cxcv cx x 0 00 0 解解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 tTxXtxu tTxXtxutTxXtxu xxtt 代入混合问题中的微分方程可得 0 2 2 tT tTa xX xX tTxXatTxX 由初始条件可得 由此可得 0 0 0 0 0 lXXtTlXtlutTXtu 为如下常微分方程边值问题的非零解 xX 0 0 0 0 0 lXX lxxXxX 若 0 则此定解问题的微分方程的通解为 xcxcxX sincos 21 代入边界条件后可得 xcxXcccX sin 00sin0cos 0 2121 2 2 0sin0 0sin l n lxXlclX n 所以可取 2 1 sin n l xn xXxX n 由所满足的方程可得 tT l atn b l atn atTtTtTatT nnn sincos 0 2 2 所以 原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 l xn l atn b l atn atTxXtxutxu nnnnn sin sincos 设原混合问题的解函数为 1 sin sincos n nn l xn l atn b l atn atxu 则由初始条件可得 2 1 0sin 0 0 1 na l xn axu n n n 1 sincos n nt l xn l atn b l an txu l n n nt dx l xn x an b l xn b l atn xux 0 1 sin 2 sin 0 cos cos 2 sin 2 22 0 0 l cn l cn an lv dx l xn v an b c c n 所以 原混合问题的解为 其中的由 给 1 sinsin n n l xn l atn btxu n b 出 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 2 求解混合问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆 Exuxu tluEtu tlxuau t xxtt 为常数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解解 由于边界条件非齐次 需作函数变换如下 设 xl l E txvtxuxl l E txutxv 则 txutxvtxutxvtxutxv ttttttxxxx 0 22 txuatxutxvatxv xxttxxtt 00 0 0 0 0 0 tlutlvEtul l E tutv 0 0 0 0 0 xuxvxl l E xl l E xuxv tt 所以 是原混合问题的解的充要条件是 是如下混合问题的解 txu txv 0 0 0 0 0 0 0 0 2 txvxl l E xv tlvtv tlxtxvatxv t xxtt 用分离变量法求解此定解问题 由分离变量法的标准步骤可得 1 sin sincos n nn l xn l atn B l atn Atxv 代入初始条件可得 0 n B 2 1 2 sin 2 0 n n E dx l xn xl l E l A l n 所以 1 sincos 2 n l xn l atn n E txv 原混合问题的解函数为分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可 1 sincos 2 n l xn l atn n E xl l E txu 得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 3 求解下列阻尼波动问题的解 0 0 0 0 0 0 0 02 2 xxuxxu tlutu tlxuahuu t x xxttt 其中 h 为正常数 且 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 l a h 2 解解 使用分离变量法 设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足 边界条件 tTxXtxu 则容易算得 tTxXtxutTxXtxutTxXtxu tttxx 代入方程后化简可得 2 2 xX xX tTa tThtT 0 0 0 0 0 XtTXtu 0 0 lXtTlXtlux 0 2 2 tTatThtT 0 0 0 0 lXX xXxX 由的非零性可得 此时 xX0 xcxcxX sincos 21 xcxXcccX sin 00sin0cos 0 2121 取得 1 2 c 2 2 12 0cos sin l n llXxxX n 将代入所满足的方程可得 tT0 12 2 2 tTa l n tThtT 2 2 2 2 2 12 0 2 12 2 l an hha l n h n 2 1 2 12 2 12 2 2 2 nih l an h l an l a h n 从而有 sincos tBtAetTtT nnnn ht n 其中 1 2 1 2 12 2 2 nh l an n 设原混合问题的解函数为 1 2 12 sin sincos n nnnn ht x l n tBtAetxu 1 2 12 sin 0 n n x l n Axux 而 22 12 cos1 2 1 2 12 sin 00 2 l dx l xn dx l xn ll 所以 2 2 1 2 12 sin 2 0 ndx l xn x l A l n 1 2 12 sin sin cos n nnnnnnnn ht t l xn tAhBtBhAetxu 1 2 12 sin 0 n nnnt l xn BhAxux 3 2 12 sin 2 1 0 l n n n dx l xn x l hAB 所以 原混合问题的解是 1 2 12 sin sincos n nnnn ht x l n tBtAetxu 其中的 分别由 1 式 2 式 3 式给出 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边 nnn BA 值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 4 求解混合问题 C GE xuExu tlutu tlxGRuuRCLGLCuu t x tttxx 0 0 0 0 0 0 0 其中 L C G R 为常数 且 LG RC 提示 作函数变换 exp txvLRttxu 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解解 记 混合问题的微分方程两边同除 LC 方程可化为 L R C G b LC a 1 2 2 22 txubtxbutxutxua tttxx exp exp 2 2 2 2 2 bttxu t bttxu x a 设 则有 exp bttxutxv 2 txvtxva ttxx 而且 exp exp exp bttxbubttxutxvbttxutxv ttxx 所以 0 exp 0 exp 0 0 bttlutlvbttutv xx 0 0 0 0 0 0exp 0 0 xbuxuxvExubxuxv tt 所以 若是原混合问题的解函数 则是如下混合问题的解函数 txu txv 0 0 0 0 0 0 0 0 2 txvExv txvtv tlxtxvatxv t x xxtt 用分离变量法求解此混合问题 设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解 为 则 tTxXtxv tTxXtxvx tTxXtxvtTxXtxv xxxx 2 tTa tT xX xX 由齐次边界条件可得 为如下定解问题的解 xX xcxcxX lXX xXxX sincos 0 0 0 0 21 取1 2 c得 00 0 1 cXxxX sin 2 1 2 12 0cos 2 n l n llX n l atn B l atn AtTtT tTa tT nnnn 2 12 sin 2 12 cos 2 2 1 2 12 sin n l xn xXxX n 设 1 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos n nn l xn l atn B l atn Atxv 代入初始条件可得 0 12 4 2 12 sin 0 2 0 n l n B n E dx l xn xv l A 所以 1 2 12 sin 2 12 cos 12 4 n l xn l atn n E txv 所以 原题目所给的混合问题的解函数为 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题 1 2 12 sin 2 12 cos 12 4 exp n l xn l atn n E bttxu 的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 5 用固有函数法求解 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xuxu tlutu tlxconstguau t x xxtt 蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解解 用分离变量法 设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的 非零解函数 利用分离变量法的标准步骤可求得 tTxXtxu 2 1 2 12 sin 2 12 2 n l xn xXxX l n nn 将展开成的广义 Fourier 级数如下 gtxf xXn 12 4 2 12 sin 2 2 00 n g dx l xn g l dxxXtxf l tf ll nn 2 12 cos1 12 16 0 0 0 0 233 2 l atn an gl tTtT TT tftTatT n nn 注 方程的通解为 2 tftTatT n 233 12 16 2 12 sin 2 12 cos an gl l atn B l atn AtT nnn 代入初始条件即可得此处的结果 所以 题目所给的混合问题的解函数为 l xn l atn an gl xXtTtxu n nn 2 12 sin 2 12 cos1 12 16 233 1 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 6 求解混合问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值 0 0 0 0 0 0 0 0 2 constuxu tlutu tlxtxuatxu x xxt 问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解解 用分离变量法 设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的 非零解函数 则 tTxXtxu tTxXtxutTxXtxutTxXtxu xxxt 代入方程后化简再由边界条件可得 0 0 22 2 xXaxXtTatT xX xX tTa tT 0 0 0 0 0 0 0 lXtTlXtluXtTXtu x 所以 为如下常微分方程边值问题的非零解函数 xX 0 0 0 0 0 lXX lxxXxX 解之得 2 1 2 12 sin 2 12 2 n l xn xXxX l n nn 2 12 exp 0 2 2 t l an AtTtTtTatT nnn 设原问题的解函数为 1 2 2 12 sin 2 12 exp n n l xn t l an Atxu 由初始条件可得 1 0 2 12 sin 0 n n l xn Axuu 由此可得 2 1 12 4 2 12 sin 2 0 0 0 n n u dx l xn u l A l n 所以 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求 1 2 0 2 12 sin 2 12 exp 12 4 n l xn t l an n u txu 解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 7 求解混合问题分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xxu tlutlutu tlxtxuatxu x xxt 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 用分离变量法 设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的 非零解函数 则 tTxXtxu tTxXtxutTxXtxutTxXtxu txxx 代入方程后化简 并由边界条件可得 0 0 2 xXxXtTatT 0 0 0 0 0 XtTXtu 0 0 lXlXtTlXlXtlutlux 所以 为如下常微分方程边值问题的解函数 xX 0 0 0 0 0 lXlXX lxxXxX 由是非零解可得 txuxcxcxX sincos 0 21 1 sin 00 0 21 cletxxXcX llllXlXtan0sincos 设 则 2 1 0tan nl n 2 nn 所以 xxXxX nn sin 2 1 exp 0 22 ntaAtTtTtTatT nnnn 设原混合问题的解函数为 1 2 sin exp n nnn xtaAtxu 利用的正交性可求得 xXn 2 1 sin sin 0 2 0 n xdx xdxx A l n l n n 注注 可以证明 具有正交性 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 xXn 8 求解混合问题 0 2 0 0 0 0 0 uxu tlutu tlxtxuatxu xxt 其中 为常数 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 0 u 解 作函数变换 x l txvtxux l txutxv 则 txvtxutxvtxu xxxxtt 0 0 0 0 tlvtvtlutu 0 0 00 x l uxvuxu 所以 是原混合问题的解的充要条件是是如下混合问题的解 txu txv 0 0 0 0 0 0 0 0 2 x l uxv tlvtv tlxtxvatxv xxt 用分离变量法求解 由分离变量法的标准步骤可得 exp sin 2 t l an AtTtT l xn xXxX nnn 1 2 1 sin exp n n n nn l xn t l an AxXtTtxv 代入初始条件可得 1 0 sin 0 n n l xn Axvx l u 由的正交性可得 xXn l n dx l xn x l u l A 0 0 sin 2 2 1 1 2 00 nuu n A n n 所以 1 2 00 sin exp 1 2 n n l xn t l an uu n txv 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 x l txvtxu 9 求解 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 yauyu yxuaxxxu yaxyxuyxu y yyxx 葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解解 用分离变量法 设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离 变量形式非零解 则 yYxXyxu yYxXyxuyYxXyxu yyxx 0 yYxXyYxXyxuyxu yyxx 0 0 yYyYxXxX yY yY xX xX 0 0 0 0 0 XyYXyu 0 0 aXyYaXyau 所以 为如下常微分方程边值问题的解函数 xX a xn xXxX a n aXX xXxX nn sin 0 0 0 0 2 从而有 2 1 exp exp n a yn B a yn AyYyY nnn 又由另一个边界条件可得 exp 00 lim lim a yn ByYAyYxXyxu nnnnn y n y 设原定解问题的解函数是 11 sin exp n n n n a xn a yn Byxuyxu 则 1 sin 0 n n a xn Baxxaxxxu 2 1 1 1 22 sin 2 33 3 0 n n a a dx a xn axx a B n a n 所以 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候 1 33 2 sin exp 1 1 4 n n a xn a yn n a yxu 掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 10 求解边值问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程 a x a x bxuxu yauyu byaxyxuyxu yyxx sin 0 0 0 0 0 0 0 0 可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 解 用分离变量法 设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐 次边界条件的非零解 yYxXyxu 则有 yYxXyxuyYxXyxu yyxx 0 0 0 yYyYxXxX yY yY xX xX 同理 0 0 0 0 0 XyYXyu0 aX 所以 是如下二阶常微分方程边值问题的解函数 xX a xn xX a n aXX xXxX nn sin 0 0 0 0 2 a yn B a yn AyYyYyYyY nnnn sinhcosh 0 设原定解问题的解为 1 sin sinhcosh n nn a xn a yn B a yn Ayxu 则 2 1 0sin 0 0 1 nA a xn Axu n n n 1 sinsinh sin n n a xn a bn Bbxu a x a x 所以 a n dx a xn a x a x a bn a B 0 1 sinsin sinh 2 3 2 1 1 1 1 1 1 sinh 22 1 2 n nna bn nn 1 0 1 1 sinh2sinsin sinh 2 a b dx a x a x a x a b a B a 所以 原定解问题的解函数为 1 sinsinh n n a xn a yn Byxu 其中的由以上式子给出 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 n B 11 求解边值问题 0 0 0 0 0 0 0 0 bxuxu yauyu byaxkyxuyxu yyxx 提示 令而满足条件 xwyxvyxu xw0 0 awwkxw 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 解 令 2 yxwyxuyxvaxx k yxw 则 kyxuyxwyxuyxv xxxxxxxx yxuyxwyxuyxv yyyyyyyy 所以 0 yxvyxvkyxuyxu yyxxyyxx 0 0 0 0 0 0 yavyvyauyu 2 2 0 0 0 0 axx k bxvaxx k xvbxuxu 所以 是原定解问题的解的充要条件是是如下定解问题的解 yxu yxv 2 2 0 0 0 0 0 axx k bxvaxx k xv yavyv yxvyxv yyxx 用分离变量法求解 由分离变量法的标准步骤可得 0 0 yYyYxXxXyYxXyxv exp exp sin 2 a yn B a yn AyY a xn xX a n nnnnn 2 1 nyYxXyxvyxv nnn 设 的解函数为 1 sin exp exp n nn a xn a yn B a yn Ayxv 则 2 sin 0 1 axx k a xn BAxv n nn 其中 1 1 sin n nnnn a xn DBDAbxv exp a bn Dn 若记 1 1 2 2 2 sin 2 2 3 33 3 0 n ak a dx a xn axx k a C a n 则有 nn nn nnnnn nnn C a bn a bn B C a bn A CDBDA CBA 1 1 1 1 exp exp 1 exp 其中 由以上各式给出 而题目所给的定解问题的解函数为 nnnn DCBA 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 2 axx k yxvyxwyxvyxu 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 12 求解边值问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程 0 0 0 0 0 0 0 0 yaubyyyu bxuxu byaxyxuyxu yyxx 可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 解 用分离变量法求解此定解问题 设 由分离变量法的标准过 yYxXyxu 程可得 b yn yY b n yY yY xX xX nn sin 2 2 1 exp exp 0 n b xn B b xn AxXxXxXxX nnnn 设原定解问题的解函数为 11 sin exp exp n nn n nn b yn b xn B b xn AyYxXyxu 则由关于的边界条件可得 x 1 sin 0 n nn b yn BAyubyy b nn dy b yn byy b BA 0 sin 2 1 sin exp exp 0 n nn b yn b an B b an Ayau 0 exp exp b an B b an A nn 所以 b n dy b yn byy b an b A 0 1 sin 1 2 exp 2 b n dy b yn byy b an b an b B 0 1 sin 1 2 exp 2 exp 2 所以 1 sin exp exp n nn b yn b xn B b xn Ayxu 所以 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 13 求解混合问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 sin 2 3 sin 2 xuxu tlutu tlx l at l x txuatxu t x xxtt 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 用分离变量法求解此混合问题 设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方 程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解 tTxXtxutTxXtxutTxXtxu xxx tTxXtxutTxXtxu ttt 0 2 2 tTa tT xX xX txuatxu xxtt 0 xXxX 由边界条件可得 0 0 0 0 0 XtTXtu 0 0 lXtTlXtlux 所以 是如下边值问题的非零解函数 xX 0 0 0 0 lXX xXxX 求解此问题 可当时 问题有非零解 其解函数集构成一 2 2 12 l n n 个一维线性空间 它的一个基向量函数为 l xn xXxX n 2 12 sin 令 ll nn dx l xn l at l x dxxXtxf l tf 00 2 12 sin 2 3 sin 2 3 sin 2 则 5 4 3 1 0 2 3 sin 2 ntf l at tf n 令为如下初值问题的解函数 tTn 1 0 0 0 0 0 2 TT ttftTatT nn 则 对于 n 2 可用常数变易法来求 5 4 3 1 0 ntTn l at B l at AtTtTatT 2 3 sin 2 3 cos 0 2 2 设 1 的解函数为 l at tB l at tAtT 2 3 sin 2 3 cos 则 2 3 cos 2 3 sin 2 3 2 3 sin 2 3 cos l at tB l at tA l a l at tB l at tAtT 令 0 2 3 sin 2 3 cos l at tB l at tA 则 2 3 cos 2 3 sin 2 3 l at tB l at tA l a tT 2 3 sin 2 3 cos 2 3 2 3 cos 2 3 sin 2 3 2 l at tB l at tA l a l at tB l at tA l a tT 2 3 cos 2 3 sin 2 3 22 2 2 tf l at tB l at tA l a tftTatT 也就是 l at l at tB l at tA l a l at tB l at tA 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3 0 2 3 sin 2 3 cos 求解此线性方程组得 l at l at a l tB l at a l tA 2 3 cos 2 3 sin 3 2 2 3 sin 3 2 2 2 2 1 2 3 cos 3 3 3 sin 3 c l at a l tBct a l l at a l tA 所以 1 的解为 l at c l at c l at t a l l at a l tTtT 2 3 sin 2 3 cos 2 3 cos 32 3 sin 3 21 2 2 由初始条件可得 0 0 0 0 TT 2 21 3 0 a l cc 所以 l at t a l l at a l tT 2 3 cos 32 3 sin 3 2 2 2 2 所以 题目所给的定解问题的解函数为 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零 l x l at t a l l at a l tTxXtxu n nn 2 3 sin 2 3 cos 32 3 sin 3 2 2 2 1 解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 14 求解混合问题 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方 l x xu l x xu tlutu tlx l x txuatxu t xxtt 2 sin 0 3 sin2 0 0 0 0 0 0 2 sin 2 程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 作函数变换 其中为待定函数 则 xwtxutxv xw xwtxutxvtxutxvtxutxv xxxxtttttt 22 xwtxuatxutxvatxv xxttxxtt 22 xwatxuatxu xxtt 设是原定解问题的解函数 txu 取 即 则有 0 2 sin 2 l x xwa l x a l xw 2 sin 2 2 0 2 sin 2222 xwa l x xwatxuatxutxvatxv xxttxxtt 而 0 000 0 0 0 lwtlutlvwtutv l x a l l x xwxuxv 2 sin 2 3 sin2 0 0 2 l x xuxv tt 2 sin 0 0 所以 为如下定解问题的解函数 txv l x xv l x a l l x xv tlvtv tlxtxvatxv t xxtt 2 sin 0 2 sin 2 3 sin2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 用分离变量法求解此定解问题 由分离变量法的标准过程可得 l xn xXxX l n nn sin 2 2 1 sincos n l atn B l atn AtTtT nnn 设 的解函数为 11 sin sincos n nn n n l xn l atn B l atn Atxutxv 由初始条件可得 1 2 sin 0 2 sin 2 3 sin2 n n l xn Axv l x a l l x 可得 5 4 0 2 2 0 3 2 21 nAA a l AA n 1 sin cossin n nnt l xn l atn B l atn A l an txv 1 sin 0 2 sin n nt l xn B l an xv l x 5 4 3 1 0 2 nB an l B n 所以 l x l at l x l at a l l at a l txv 3 sin 3 cos2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 2 所以 题目所给的定解问题的解函数为 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下 xwtxvtxu 常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 15 求解混合问题 0 0 0 sin 0 0 0 sin 2 2 为常数 xuxu ttluttu tlxx l x txuatxu t xxtt 注注 此定解问题中的微分方程非齐次项中的应为 才能得到书中答案 x sint sin 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 解 先将边界条件齐次化 令 sin ttt l x txutxv 则 sin 2 txutxvt l x txutxv xxxxtttt 若是原定解问题的解函数 则 txu sin 222 txuat l x txutxvatxv xxttxxtt 0sin 22 t l x txuatxu xxtt 0 sin 0 0 0 ttttt l tutv 0 sin ttttt l l tlutlv 0 0 cos 0 0 00 0 0 l x xuxvxuxv tt 所以 是如下定解问题的解函数 txv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xvxv tlvtv tlxtxvatxv t xxtt 0 txv 所以 原定解问题的解函数为 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条件可得 由此可得 为如下常微分方程边值问题的非零解 ttt l x txu sin 若 0 则此定解问题的涪第候掸盛旺剔黔匪租绥宽氦葫淹蹭己食坦刽萤幕垫陵损笆掘诽瓤蕉却赋铡墒捌砾俯沿公艘韧湖论臼吵悄浴烩揖浆楚霞捆腹柏感身拳斩炭纱巾啸暗 16 求解 分离变量法习题 26 第十章习题解答 1 求解混合问题 其中解 用分离变量法 设混合问题的非零解函数为 则 代入混合问题中的微分方程可得 由初始条 x t xx x xxtt exuxu ttlutluttu tlxtextxuatxu 1 0 0 0 0 0 0 3 22 件可得 由此可得 为如下